2023-2024学年重庆市永川高一年级上册期末联考数学试题

2023-2024学年重庆市永J11高一上册期末联考数学试题

一、单选题

1.设集合｛/=凡4=｛即。＜3｝,3=｛上＜2｝,则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x∣x≥2}B.{x∣x≤2}C.{x∣l<x≤2}D.{x∣2≤x<3}

【正确答案】D

【分析】根据韦恩图求出A∩(q⑻即可.

【详解】解:由题知图中阴影部分为A∩(q∕),

.∙.q,3={x∣x≥2},

.∙.AC(jB)={x∣2≤x<3}.

故选:D

2.命题“心6(0,”),七＞1"的否定是()

x

A.Vx∈(0,+∞),e'≤1B.3x0i(0,+∞),e°≤1

vjb

C.∀xg(0,+∞),e＞lD.3JC0∈(0,+∞),e≤1

【正确答案】D

【分析】根据对全程量词的否定用存在量词，直接写出其否定.

【详解】因为对全程量词的否定用存在量词，

所以命题“Vxe(0,+∞),e*＞1”的否定是FXoe(0,+oo),e“41”.

故选：D

3.若一扇形的圆心角为72。，半径为20cm,则扇形的面积为().

A.40πcm2B.80πcm2C.40cm2D.80cm2

【正确答案】B

【分析】根据弧度制与角度制的互化，得到72=手，再利用扇形的面积公式，即可求解.

【详解】扇形的圆心角为72。=个9JT，

：半径等于20cm,

12元

∙∙.⅛^W≡^-×y×400=80πcm2,

故选：B.

本题主要考查了扇形的面积公式的应用，其中熟记弧度制与角度制互化公式和扇形的面积公

式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

1L,,

4Y—γ<1

4.设函数/（X）=2,，若/ʃhʌ=8,贝IJa=（）

√,x≥ιL⑼」

A.ɪB.-C.1D.2

24

【正确答案】D

【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.

【详解】解：f|T|=4x：-4=3,

∖o7oZ

则小（［>"3）=心得/=8,解得α=2.

故选：D

5.2021年10月16日O时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭

在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后.神舟十三号载人飞船与火箭

成功分离，进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状

态良好，发射取得圆满成功.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在

东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的

起点.已知火箭的最大速度V（单位：版∕s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量机（单

位：kg）的函数关系为v=21n（l+［）,若火箭的质量为3000依，最大速度为9kw∕s,则

加注的燃料的质量约为（）（参考数据：In90≈4.5）

A.243tB.244tC.267tD.273t

【正确答案】C

【分析】根据题意得9=21n（l+是］即ln（l+蒜）=4.5=ln90,再分析求解即可.

【详解】由题意知9=21n(l+急)，所以In11+盛^∣=4.5=ln90,

M

BP^^+l≈90,解得^^267000Ag=267t.

故选：C.

6.若e∈(Qτr),tan。+—-—=6,则Sine+cos6=()

tan9

A.空B.一亚c∙+亚D.2

3333

【正确答案】A

［分析］利用切化弦化简技巧结合tan0+」=6可得出sinOcos。,再由6e(O,π)可得

tan<96

出Sine>0,cos0>0,再由(5由6+8$6)2=1+2$皿。。05。可计算出sin，+CoSe的值.

【详角军】因为tang+—!—=也+包=Si^'+cos?"=6,所以SineCoSe=■,

tanCOSeSineSineCOSe6

Q8∈(0,"),则sin9>0,CoSe〉0,.,.sin^+cos^>0.

所以(SinO+cos。)？=1+2SinoCoSo=；,所以Sine+cos8=^^,

故选：A.

本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用

(sin，+COSe)2=l+2sin，CoSe计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

41tn

7.已知a>0,⅛>0,若不等式2+;≥Tr恒成立，则，"的最大值为()

aba+4〃

A.9B.12C.16D.IO

【正确答案】C

利用参变分离的方法将不等式变形为(§+")(a+4b)≥m恒成立，再由基本不等式得出代数

式的最值，可得选项.

41m

【详解】因为心。，X,所以“+6。，所以不等式L产国益恒成立,

即可转化为(；+：)(〃+4力巨机恒成立，即

因为)(〃+4份=8+产+合8+2秒^

%=16,当且仅当α=4b时取等号,

所以16≥"i,即〃7的最大值为16.

故选：C.

本题考查基本不等式的应用，运用参变分离的方法解决不等式的恒成立中求参数的范围，属

于中档题.

8.函数/(x)在［0,+向上单调递增，且/(x)为奇函数.当x>0时，/(2x)=2∕(x)-l,且

/(2)=3,则满足-5<f(2，-7)<2的X的取值范围是()

A.(Iog23,3)B.(l,log23)C.(Iog23,Iog27)D.(1,3)

【正确答案】A

【分析】计算"Y)=-/(4)=-5,/(1)=2,判断函数”x)在(γo,y)上单调递增，将不

等式变换为T<2'-7<l,计算得到答案.

【详解】/(2)=3,所以/(2)=2/⑴-1=3,则〃1)=2.

/(4)=2∕(2)-l=5,所以"y)T(4)=-5

-5<∕(2*-7)<2o"Y)<∕(2*-7)<"l)∙

f(x)在［0,+8)上单调递增，且/(x)为奇函数，所以f(x)在(e，M)上单调递增.

所以f(-4)<f(2,-7)<〃l)=T<2，-7<lo3<2*<8olog23<x<3.

故选：A

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

二、多选题

9.下列选项中正确的是()

A.sin(α-3;T)=SinaB.CoS[α-]4J=-Sina

.(5A

C.tan(-6r-^-)=-tanαrDγa.sin-π-a=coscr

【正确答案】BCD

【分析】利用诱导公式一一验证即可;

【详解】解：sin(ez-3τr)=sin(α-Æ)=-sin(^--a)=-sina,故A不正确；

故正确;

I2)I2)8

tan(-«-π)=tan(-□r)=-taneɛ,故C正确;

Sinf，一小sin∣‰一小c°sα,

故。正确.

故选：BCD

ιγ>χ4-M'

10.已知函数F(X)=除T是定义域为R的奇函数，且/⑴=：,贝IJ()

X+32

A.〃=0B.函数/(x)在(0,1)上单调递增

C./(x)>g的解集是{邓<x<3}D./(x)的最大值是G

【正确答案】ABC

【分析】函数是奇函数且f⑴=g,求出函数解析式，再讨论单调区间、最大值，解不等式.

n

/(0)=y=0

【详解】函数是R上的奇函数且〃1)=(,依题意有<

rn+n1

/d)=-Γ=T

9r

解得帆=2,H=O,，X)=Jc,故A选项正确；

X2+3

任取。力气<I,则/U1)-/⑷=舄一善T2器；1能3)'

22即

(X,+3)(X2+3)>O,(X2-ΛI)>0,(XIX,-3)<0,Λ/(x1)-∕(x2)<0,f(%)vf(x2),

函数/(x)在(0,1)上单调递增，B选项正确；

2x1

/U)=~~,即f一4x+3C0，解得l<x<3,C选项正确；

%+32

ʌf(∖=2x=2ɔ

f(x)=R,/O)取最大值时x>O,7W^√T3^-J.由基本不等式x+±Z2石，

X+3x+-X

X

322-√3

当且仅当x=±,即》=行时等号成立，.∙.—3即当x=6时/S)的最大值

Xx+-乙

X

为且，D选项错误.

3

故选：ABC

11.若c"<c'><c,0<c<l,则()

cccc

A.a<bB.ab>ba

22

C.In(a+l)>ln(/?+1)D.Ioguc<logftc

【正确答案】BC

【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，结合比较法、对数的换底公式进行判

断即可.

【详解】因为c"vc&vc=d,O<c<l,所以α>b>l.

A：因为α>h>l,所以9>1,又因为0<c<l,所以(与、>1=>幺>ln相>//,因此本选

bbbt

项不成立；

B：因为OeC<1,所以0<l-c<l,因为α>b>l,所以*=(,。>1=>卅>府，因此本

选项成立；

22

C：因为“>"l,所以q2>^>ι,∏Γ^α+ι>⅛+ι>2,所以ln(∕+l)>ln(从+1),因此

本选项成立;

IgClgc=lgc(lg〃-lga)

D：log,,c-logftc=

IgaIg⅛IgaIg人

因为α>Z>>l,()<c<l,所以怆。>0,怆0>0,怆6<怆。,怆。<0,

即写浮>。-叱―幅%因此本选项不成立.

故选：BC

12.高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三

大数学家用其名字命名的“高斯函数''为：设XeR,用⑶表示不超过X的最大整数(例如:

[-3.8]=T,fl∙51=l),则y=[x]称为高斯函数.已知函数/(x)=SinkI+卜inX,φ{x)=[f[x)],

下列结论中不正确的是()

A.函数夕(X)是周期函数

B.函数以X)的图象关于直线X=]对称

C.函数*(x)的值域是{0,1,2}

TT

D.函数g(x)=5夕(X)-X只有一个零点

【正确答案】AB

【分析】由题可知函数/(©=SinN+卜in^为偶函数，结合条件可得

2,x=-+2kπ

2

Ji5乃

8(x)="(%)]=,0,2ATr<%<—+2kπ,2kπ+2—<x≤2π+2kπ,k∈Z然后逐项判断即得.

66

tTTɪ,_.54Tcʌ,

1,—F2k兀≤X≤2k7iH----,X≠—F2k71

662

【详解】V/(x)=sin∣x∣+∣sinx∣,x∈R,

f(-x)=sin∣-JC∣+∣sin(-Λr)∣=sin∣Λ∣+∣sinx∖=f(x),

・・・函数/(x)=SiHX+忖间为偶函数，y=sin∣x∣不是周期函数，丁=忖刊是周期函数,

对于X>O,当2kπ<x<2kπ+肛女∈Z时，f(x)=2sinx,当2kπ+π≤x≤2kπ+2巴攵∈Z时,

∕ω=θ,

2,x=-+2kπ

2

Tr5TT

:∙φ(x)="(初=’0,2kπ<X<—+2kπ,2kπ+——<x<2π+2kπk∈Z,

669

,Tcʌ.ʌ.5TF7Tʌ.

I,—F2k7Γ≤X≤2kττH-----,x≠—F2k兀

662

由函数/(x)=sinW+binx∣为偶函数,函数数幻是偶函数,%>0时函数/(χ)成周期性,但起

点为X=0,所以函数*(x)不是周期函数，故选项A不正确；

由函数S(X)是偶函数，函数C(无)的图象关于X=O对称，由*(-∣∙)=2,^y)=0,故函数

S(X)的图象不关于X=I对称，故B不正确；

由上可知函数S(X)的值域是{0，1，2},故C正确；

由g(x)=工S(X)-X=O可得，φ{x)=-x,当一x=0时，χ=0,O(O)=0,当一X=I时，X=

2πππ2

22

φ(π-)=2当一χ=2时，X=4，以])=0,故直线y=—X与y=9(χ)的图象只有一个交点，

21ππ

即函数g(x)=]*(x)-x只有一个零点，故D正确.

故选：AB.

关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数/(x)的图象和性质，进而利用高斯

函数的定义可得函数S(X)的性质即得.

三、填空题

2

ln2

13.e+Iog25√5+(-0.125)3=--------------------------

【正确答案】1

【分析】根据指数和对数的运算公式直接计算可得.

ln2ii3

[详解]e^+Iog25√5+(-0.125)5=e"'+Iog525+Γ(-2^仃

=1÷1÷1=1.

244

故1

jr4

14.已知，0<4<av-,cos(α-/7)=—,且sin(α+/)=一，则sin2o的值为_________.

4135

【正确答案】ft

65

τrTT

【分析】根据已知得出0<α-∕<?,O<α+y0<∣,即可根据同角三角函数关系得出

sin(ɑ-/f)ɪʌ,cos(α+∕7)=∣,令sin2α=sin[(α-Q)+(α+砌，即可根据两角和差的正

弦公式展开，代入求值即可得出答案.

【详解】0<?<α<(,cos(α-∕7)=γ∣,sin(α+∕7)=[,

O<6Z—y0<—,O<6Z+∕?<ɪ,

__________________q__________________ɔ

.,.sin(α-y?)=^l-cos2(α-^)=言,cos(α+^)=ψ-sin2(α+/?)=—,

.∙.sin2cr=Sin[(α—+(2+/7)]

=sin(α-∕J)cos(a+∕7)+cos(a-∕7)sin(cr+/?)

5312463

=——X-H----X—=——

13513565

“63

故77.

63

x÷l

15.函数y的值域为.

—X+2

ɪ

【正确答案】

7

x+l

【详解】由y得至IJy(χ2-χ÷2)=x÷ι

X2-x+2'

即yx2-(l+y)x+2y-l=O

当y=o时，4一1,适合题意;

当yHO时，方程有解需满足，∆>().

即(l+y)2-4y(2yT)>0,

7y2-6y-l<0,解得：y∈--A

故函数y=r±二的值域为二1

x^-x+2L7J

四、双空题

16.已知函数/(x)=[,+[ɪ'ʌɪɑ.g(x)=Ax,函数尸(x)=∕(x)-g(x)

(1)当实数左=一1时，y=尸(X)有个不同零点；

(2)若y=F(x)图象经过4个象限，则实数Z的取值范围是.

【正确答案】2(-1,；)

【分析】⑴令尸(X)=0,直接求解即可；

(2)画出f(x),数形结合确定g(x),从而可求实数女的取值范围.

【详解】⑴由F(X)=O得/(x)=f；当x≥0时，X2-3X+1=-X,即

X2-2x+l=0,解得χ=l；

当XVO时，∣x+2∣—1ɪ—X,

⑴若x≥-2,贝IJX+l=r解得*=-；；

(ii)若Xe-2,则-χ=3=-x,方程无实数解.

综上：不同零点有2个.

F(X)经过4个象限，则x>0时，尸(x)可正可负，x<0时，∕7(x)可正可负

即x>0时,f(χ)图象有时在g(χ)图象上方，有时在g(χ)图象下方,

χ<O的情况同理，数形结合，直线y=匕恒过定点(0,0)

如图所示，临界情况是直线>=去过点A,此时％=ɪ;直线y=%∙过点8,此时直线与抛物

线相切，可得％=-1,则实数改的取值范围是(-ι.g).

故2;(-1,；).

五、解答题

17.已知非空集合P={x∣α+l≤x≤24+l},Q={x∣-2≤x≤5}.

(1)若α=3,求&尸)cQ；

(2)若“xwP”是“xeQ”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【正确答案】(I)(QP)-Q=「2,4)

⑵。2]

【分析】(1)由交集，补集的概念求解，

(2)转化为集合间关系后列式求解，

【详解】(1)当。=3时，P=[4,7],Q={x∖-2<x<5},则

QP=(-ŋo,4)(7,+∞),(⅝P)lQ=[-2,4),

(2)由题意得P是Q的真子集，而P是非空集合，

a+l<2a+l

则，"+l≥-2且α+l=—2与2α+l=5不同时成立，解得0≤α≤2,

2α+l≤5

故a的取值范围是[0,2]

18.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x

(1)求f(l)J(-2)的值;

(2)求/(x)的解析式;

(3)画出y=f(χ)简图；写出y=∕(χ)的单调递增区间(只需写出结果，不要解答过程).

X2-2x,xe[0,+∞)

*

【正确答案】(1)/(1)=-1,/(-2)=/(2)=Oi(2)/(x)=<

X2+2X,X∈(-∞,0),

(3)(-1,0),(1,+8)

【详解】解：(1)当x20时，f(x)=x2-2x,/(-x)=f(ɪ),

Λ/(1)=-1,/(-2)=f(2)=0；

(2)Vy=/(x)是定义在R上的偶函数，

2

当Xeo时，f(x)=x-2χt

当XVO时，-χ>0,

2

/(-x)=(-X)2-2(-X)=X+2X,

2

:・f(x)=f(-x)=x+2χf

2

、[x-2χfx≥0

Λ/(x)=↑7.

k+2χfx<0

x2-2x,x≥0

(2)V/(x)

x2+2第x<0

・・・当x20时，y=x2-2x,抛物线开口向上，对称轴方程为x=l,顶点坐标(1,-1),

z

当y=0时，x∣=0f尤2=2；当X=O时∙，y=0.

当XVO时，y=x2+2x,抛物线开口向上，对称轴方程为x=-l,顶点坐标(-1,-1),

当y=0时，X=-2.

由此能作出函数/(x)的图象如下:

0),(1,+o0).

19.设函数F(X)=等CoSX+；SinX+1.

(1)求函数/(χ)的值域和单调递增区间；

(2)当/(α)=g,且B<α<g时，求sin)α+的值.

563∖Jj

【正确答案】(1)值域是［0,2］;单调递增区间为T+2kπ(+2E,k€Z

【分析】(1)利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解；

(2)利用函数值的定义及同角三角函数的平方关系注意角的范围，结合正弦的二倍角公式

即可求解.

且OSX+■SinX+1=SinjX+工)

【详解】(1)/(X)=+1

22I3j

易知函数/(x)的值域是［0,2］；

JrTTTTɔjrJT

令——+2⅛π≤X+—≤—+2kπ,⅛eZ,解得---+2Λπ≤x≤-+2Λπ,ZeZ,

23266

所以函数“X)的单调递增区间为-£+2E，F+2E,keZ；

(2)由〃a)=sin(a+^K，得sin[ɑ+])=*,

因为1<α<?,所以S<α+m<7t,

6323

.olπ3

所以CoSl1-sιn^a+—

5

24

25

20.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产

品需投入年固定成本为3万元，每生产X万件，需另投入流动成本为W(X)万元.在年产量

不足8万件时，W(X)=gd+χ万元；在年产量不小于8万件时，W(X)=6x+--38万元,

每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

(1)写出年利润“X)万元关于年产量X万件的函数解析式.注：年利润=年销售收入-固定成

本-流动成本

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

-12

—X+4x-3,0<x<8

3

【正确答案】(I)MX)=zimA

35-(x+-—),x≥8

(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元

【分析】(1)根据题意分0<x<8和尤≥8求出利润，得利润的分段函数；

(2)分别利用二次函数及均值不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.

【详解】(1)因为每件产品售价为5元，则X(万件)商品销售收入为5x万元，依题意得:

当0<x<8时，zʃ(ɪ)=5x—^—X2+x)—3=—+4x—3,

当x≥8时，L(X)=5x—(6XH--------38)-3=35—(KH------}

—x2^÷4x—3,0<%<8

τz`3

(2)当0<x<8时，L(X)=-∣(X-6)2+9,此时，当％=6时，La)取得最大值9；

x≥8时，L(x)=35-^x+-^≤35-2^x∙-=15,

此时，当％=?即X=IO时，L(X)取得最大值15；

V9≤15,

，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.

21.设/(X)=优(α>0,且αwl),其图象经过点∣j,SθJ,又g(x)的图象与/㈤的图象

关于直线y=χ对称.

(I)若/(2m)=4J(")=25,求2加+〃的值；

(2)若g(x)在区间［√I6,c］上的值域为卜〃,〃］,且〃-机=；,求C的值.

【正确答案】(1)2机+〃=2；(2)C=Ioo.

(1)由图象经过点可得解析式，代入/(2m),∕(")再做指数运算可得答案；

(2)根据已知求出g(x),由单调性及定义域可得值域，再利用值域相等可得答案.

【详解】(1)因为f(x)=a'(">0,且αwl)的图象经过点

所以Jid=/，所以"10,所以/(x)=10',

因为f(2ni)=4,/(π)=25,所以102ra=4,1On=25,

所以IO?"，.io"=ιoo,所以io?E=I02,

所以+〃=2；

(2)因为g(x)的图象与f(χ)的图象关于直线y=x对称，所以g(x)=lgx(x>0),且为增函

数，

所以g(x)在区间［M,c］上的值域为［lg√