2-1直线的倾斜角与斜率（精讲）（解析版）

2.1直线的倾斜角与斜率（精讲）考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022·贵州）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为直线的倾斜角正切值为1，所以倾斜角为.故选：A.【例1-2】（2022·重庆南开中学）过，两点的直线的倾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【答案】D【解析】由已知直线的斜率为，，所以倾斜角．故选：D【例1-3】（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C【例1-4】（2022·安徽省亳州市第一中学）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则

故新直线的斜率是.故选：B.【一隅三反】1．（2022·四川·成都七中高一期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设倾斜角为，则，则.故选：C.2．（2022·吉林·四平市第一高级中学）已知直线l：的倾斜角为，则（

）A． B．1 C． D．－1【答案】A【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.故选：A3．（2022·辽宁葫芦岛）已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，则直线的斜率为（

）A．－1 B． C． D．1【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，所以，因为，所以，因为直线的倾斜角比直线的倾斜角小15°，所以直线的倾斜角为，则直线的斜率为.故选：C.4．（2022·江苏·高二专题练习）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；(2)存在，斜率为，倾斜角为；(3)存在，斜率为，倾斜角为；(4)不存在.【解析】(1)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为(2)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.(3)解：因为，所以经过的直线斜率存在，所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.(4)解：因为，所以经过的直线斜率不存在，考点二直线的斜率或倾斜角的取值范围【例2-1】（2022·江苏·高二专题练习）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，则当时，，即，当时，，即，所以直线的斜率k的取值范围是.故选：D【例2-2】（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，解得.故选：A.【例2-3】（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵直线过定点，且，，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中高一期末）直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，可得，所以的取值范围为故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由直线的方程为，所以，即直线的斜率，由.所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.故选：B4．（2022·江苏·高二专题练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．故选：A．5．（2022·全国·高二）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（）A．或 B．C． D．以上都不对【答案】A【解析】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，结合图形可知或故选：A考点三斜率比较大小【例3】（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率的定义知，.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由斜率的定义可知，.故选：A．2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：，所以，即，故选：A．考点四直线的位置关系【例4-1】（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【解析】(1)，，，不共线，因此与平行．(2)，，又两直线不重合，直线与平行，(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；(4),，直线与不平行，【例4-2】．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析(3)垂直，理由见解析【解析】(1)解：设两条直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以；(2)设两条直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以；(3)解：由两个方程，可知轴，轴，所以．【一隅三反】1．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)平行，理由见解析；(2)平行，理由见解析；(3)不平行，理由见解析；(4)平行，理由见解析；【解析】(1)由题意得，两直线斜率，所以两直线平行，又两直线在y轴上截距分别为1和3，所以两直线不重合，所以直线平行.(2)直线变形可得，直线变形可得，所以两直线斜率，所以两直线平行，又两直线在y轴上截距分别为和，所以两直线不重合，所以直线平行.(3)直线变形可得，直线变形可得，两直线斜率，所以两直线不平行.(4)直线变形可得，为横线，斜率，直线变形可得，为横线，斜率，所以两直线平行，因为，所以不重合，所以直线平行.2．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)垂直(2)垂直(3)不垂直(4)垂直【解析】(1)，两直线垂直．(2)，两直线垂直；(3)，不垂直；(4)斜率为0，斜率不存在，两直线垂直．考点五已知直线位置关系求参数【例5-1】（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线与直线平行，则（

）A．或0 B． C．1或0 D．1【答案】D【解析】当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，当时，因为直线与直线平行，所以，解得，综上，，故选：D【例5-2】（2022·四川资阳）已知直线与互相垂直，则（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因为直线与互相垂直，所以，解得.故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·专题练习）已知，，则满足的的值是（

）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【解析】由可得，得或,当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；故满足的的值为0或．故选：C.2．（2022·四川·成都七中）已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（

）A．0 B． C．0或 D．0或2【答案】D【解析】由题意得，，解得或2.故选：D.3．（2022·河北保定·高一阶段练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故选：A考点六直线斜率的运用【例6-1】（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为___________.【答案】或5【解析】因为，所以该直线斜率存在，又，根据题意得，解得或.故答案为：或.【例6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.【答案】矩形【解析】，且不在直线上，.又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.故答案为：矩形.【一隅三反】1．（2021·全国·高二课前预习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．【答案】直角梯形【解析】由斜率公式，得，，，,所以，又因为,说明与不重合，所以．因为，所以与不平行．又因为，所以．故四边形为直角梯形．2．（2022·全国·高二专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【答案】或或.【解析】由题，，所以kAC=2，，kBC=－3，设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐标为或或.3．（2022·全国·高二专题练习）已知，，.（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.【解析】（1）