函数y=(x+1)2(x+2)3的主要性质及图像示意图的画法步骤

解析函数y=(x+1)2(x+2)3的主要性质主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(x+1)2(x+2)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(x+1)2(x+2)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(x+1)2(x+2)3，∴y'=2(x+1)(x+2)3+(x+1)2*3*(x+2)2，=(x+1)(x+2)2(2x+4+3x+3),=(x+1)(x+2)2(5x+7)※.取对数求导法。∵y=(x+1)2(x+2)3，取导数有：∴lny=ln(x+1)2(x+2)3,即：lny=2ln(x+1)+3ln(x+2),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(2,x+1)+eq\f(3,x+2),y'=y(eq\f(2,x+1)+eq\f(3,x+2)),y'=(x+1)2(x+2)3(eq\f(2,x+1)+eq\f(3,x+2)),y'=(x+1)(x+2)2[2(x+2)+3(x+1)],y'=(x+1)(x+2)2(5x+7).令y'=0，有x+1=0，5x+7=0，即：x1=-1，x2=-eq\f(7,5).(1)当x∈(-∞，-eq\f(7,5))，(-1,+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(7,5)，-1]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(x+1)(x+2)2(5x+7)∴y''=(x+2)2(5x+7)+(x+1)[2(x+2)(5x+7)+5(x+2)2]=(x+2)2(5x+7)+(x+1)(x+2)[2(5x+7)+5(x+2)]=(x+2)[(x+2)(5x+7)+2(x+1)(5x+7)+5(x+1)(x+2)]=(x+2){(5x+7)[(x+2)+2(x+1)]+5(x+1)(x+2)}=(x+2)(20x2+56x+38)=2(x+2)(10x2+28x+19).令y''=0，则x+2=0，或10x2+28x+19=0，即：x3=-2,x4=eq\f(-14-\r(6),10)≈-1.64,x5=eq\f(-14+\r(6),10)≈-1.15,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-2),(-1.64,-1.155)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-2,-1.64],[-1.155,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(x+1)2(x+2)3=-∞；lim(x→+∞)(x+1)2(x+2)3=+∞；lim(x→0)(x+1)2(x+2)3=12*23。.函数的五点图x-3-2-1.64-1.4-1.16-1-0.5(x+1)2410.420.160.0200.25(x+2)3-100.040.220.6013.38y-400.020.030.0100.84※.函数的示意图 y(-1.4,0.03)(-1.64,0.02)(-1.155,0.01)