2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 基本不等式（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第04练基本不等式（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

9

1.（2023・全国•高三专题练习）函数y=4无2+=的最小值是（）

X

A.7B.9C.12D.-9

【答案】C

Q

【分析】已知函数y=4f+马，且Y>。，符合基本不等式的条件，根据基本不等式即可求和的最小值.

【详解】因为y=4Y+2,所以{x|x*0},所以Y>o,

所以丁=4/+黑2、"2=12,

xVx

当且仅当©2=3,即工=±逅时取等号，

X22

所以Xnin=12,

故选：C.

4

2.（2023・陕西渭南•统考一模）已知%>1,则y=%+—；取得最小值时冗的值为（）

x-1

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.

【详解】无>1,,无一1>0,贝!]>=X+±=%—1+4+122）（尤一1八4+1=5,当且仅当尤一1=±,即x=3时

x-1x-1Vx-1X-1

等号成立.

故选：A

3.（2023•全国-IWJ二专题练习）已知x<0,贝!|XH----2有（）

x

A.最大值0B.最小值0C.最大值一4D.最小值一4

【答案】C

【分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为x<0,

当且仅当=即时等号成立,

所以—X>0,-x-1>2x=_l

所以尤+』V-2,尤+!一2W-4,即尤+!一2有最大值T,

XXX

故选：C

4.（2023•全国•高三专题练习）己知｛可｝是各项均为正数的等差数列，且。6+2%+«io=20,则%•%的最大值为（）

A.10B.20C.25D.50

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到%+4=1。，用基本不等式求最值.

【详解】:4+2%+4o=（4+40）+2%=2%+2%=2。，.•.07+〃8=1。，

由已知，得%>°，。8>。

••.%.44[生要]=[?]=25,当且仅当%=4=5时等号成立.

故选：C.

丫2+3

5.（2023・全国•高三专题练习）已知x>l,则^~^的最小值为（）

X—1

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】将原式整理为"—x-1+2H-------，然后利用基本不等式求最值即可.

x-1x-1

【详解】因为1>1,所以％—1>0,

口=（1）2+2（1）+4=1+2+二22+岛）二=6,当且仅的》_1=4，即x=3时等号成立.

x-1x-1x-1rX-1x-1

故选：A.

6.（2023・全国•高三专题练习）已知x>0,y>0,2"8>,=2,则一+丁的最小值是（）

x3y

A.2B.2A/2C.4D.26

【答案】C

【分析】首先根据已知条件得到“+3y=l,再利用基本不等式的性质求解即可.

【详解】因为2'8=2'-23>'=2'+3》=2,所以尤+3y=l,

因为x>0,y>0,

所以,+；=（尤+3打区型=4.

=2+—+—>2+2

x3y3yx'3yx

当且仅当即无=1,>=）时等号成立.

3yx26

故选：C

7.（2023秋・湖北十堰•高三统考阶段练习）己知b>\,且2。+。=2,则7二+的最小值是（）

424。—12b—1

45

A.1B.—C.2D.一

32

【答案】c

【分析】由2a+6=2得（4a-1）+（26-1）=2,巧用常数的关系即可求解.

【详解】因为2〃+6=2,所以（4°-1）+（2》-1）=2,则

11=；［（4aT）+（26T）］（6+

------------1------------>2,

4〃-12b-l

2Z?-14a-}1

当且仅当不=亦？即皿时’等号成立•

故选：c.

二、多选题

8.（2023春・江苏扬州・高三扬州市新华中学校考开学考试）已知第一象限内的点尸（a,切在直线x+y-l=0上，则（）

A.-+->3+272B.<z2+Z?2<-

ab2

C.lntz+lnZ?>-21n2D.2a-b>-

2

【答案】AD

【分析】首先根据题意得到a+b=l,且。>0,b>0,再利用基本不等式和二次函数的性质依次判断选项即可.

【详解】依题意，有a+b=l,且a>0,人>0.

对选项A,因此工+3=（。+力[,+£]=3+2+字23+20,

ab\abJab

当且仅当a=0-1,6=2-0时，等号成立.故选项A正确;

对选项B,a2+b2=a2+（l-a）2=2a2-2a+l=2^a-^+g.

因为0<a<l,所以2（“-工［+!2工，故选项5错误；

12）22

对选项C,因为+=1,所以Ina+ln6=ln（a6）41n'=-21n2,

444

故选项C错误，

对选项D,2。3=2"-（〜）=221>27=,，故选项。正确.

2

故选：AD

9.（2023春•云南昆明•高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》

一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，并逐步被数学界接受，不等号的

引入对不等式的发展影响深远，若。>0力>0,则下面结论正确的是（）

A.若a>b,则上<\

ab

149

B.若一+；=4,则a+b有最小值］

ab4

C.若而+）2=2,则a+Z?>4

D.若。+匕=2,则仍有最大值1

【答案】ABD

【分析】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出范围作答；利用均值

不等式计算判断D作答.

【详解】对于A,a>b>0,则:>=，即工<），A正确；

ababab

141141774/71lh4/7Q

对于B,a>0,b>09-+-=4,则〃+人=_1（_!_+3）（〃+加=_!_（5+^+丝）>_l（5+22.空）=_,

ab4ab4abAVab4

b4/73

当且仅当一=丁，即。=2。=7时取等号，B正确；

ab2

22

对于C,a>0,b>0由而+廿=2得：a=——b>0,有0<。<^/5\贝！|〃+6,C不正确；

9bb

对于D,。>0力>0,a+b=2,贝!（小『=1,当且仅当。=6=1时取等号，D正确.

2

故选：ABD

10.（2023春•江苏镇江•高三校考开学考试）若。力€（0,收），则下列选项中成立的是（）

A.a（6-a）<9B.^ab=a+b+3,则必29

C.1+二的最小值为1D.若a+b=2,则1+?的最小值为2应

a+3ab

【答案】AB

【分析】根据基本不等式，求解判断各个选项即可.

【详解】由基本不等式可得，当0<a<6时，有妆6-小广+丁[=9,当且仅当q=6-a,即〃=3时，等号成立;

当时，a（6-a）<0,所以A项正确;

因为a,be（0,"）,贝！+当且仅当。=6时等号成立,

贝！）ab=a+6+3N2A/^K+3,即-2y/ab—3>0>

令/=而>0,贝！|/-2,-320,解得723或rW—1（舍去）,

所以，石23,所以B项正确；

因为a,be（0,+oo）,所以。2+7：3+3+^A^-32^（a2-3=b

4

当且仅当"+3==三，。无解，所以该式取不到1,C项错误；

a+3

E、，,,八、,121/12、\（b2a\\（\b2a，式3

因为a,be（0,+oo）,所以一+7=7（a+b）|一+1|=彳〔一+丁+32j—+3=72+-,

ab2\ab）21〃bJ2\^\abJ2

当且仅当2=学，且a+b=2,即a=2应-2,。=4-20时，等号成立，D项错误.

ab

故选：AB.

三、填空题（共0分

11.（2023・全国•高三专题练习）如图，在长方体ABCD-A4GA中，点E，尸分别在棱，BB1上，且所工人瓦若

A3=2,AD=1,M=3,则3/的最小值为

【答案】2

【分析】建立空间直角坐标系，设E（2,0,，〃），F（0,l,»）,m>0,“20,表示出AE,战，根据垂直得到AE•历=0,

即可得到“〃=1+相2,再分机=0和机W0两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得.

【详解】解:以点G为坐标原点，m,C,B,,cc所在直线分别为无，y,，轴建立如图所示的空间直角坐标系G-盯z,

则4(2,1,0),设E(2,0,m),F(0,l,n),3>m>0,3>n>Q,则A2=(0,-1,〃z),EF=(-2,1,n-m).

因为EF-L\E,所以AEE/U。，即-1+加)=0,化简得=1+.

当"7=0时，显然不符合题意

当机>0时〃=1+机N■•利=2,当且仅当工=〃?’

即相=1时等号成立.

mNmm

故与尸的最小值为2.

故答案为：2

3r-3

⑵（2。23・全国•高三专题练习）函数抬尸一石在上的最大值为---------------

【答案】|3

【分析】令=贝！k>o,则］⑺二…2，利用基本不等式计算可得.

t

3r-3

【详解】解：因为/（龙）=「；」%£（i,+8）,令1—1=，，贝!k>o,

2x-x+l

„/\3z3/3,33

则八12«+1）2-（/+1）+12»+%+22+3+2-2^3+37,

2

当且仅当力=-,，=1即x=2时，等号成立.

t

3

故f（x）的最大值为£.

故答案为：!3

14

13.（2023•全国•IWJ三专题练习）已知0<々<3,则—F-的最小值是_____.

a3-a

【答案】3

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于0v〃v3,-3<-tz<0,所以。<3-。<3,

，+工工一耳匕+雇工JIE~a

3

当且仅当土卫=¥，3-4=2aM=1时等号成立.

故答案为：3

14.（2023・上海•统考模拟预测）已知正实数人6满足a+46=l,则他的最大值为

【答案】4

lo

【分析】由话=」/464工，竺竺［,代入即可得出答案.

4412J

2

1471。+4b111

【详解】ab=—a-4b<—=-X—=-----f

4424416

当且仅当“a=46”，即a==：时取等,

28

所以他的最大值为1.

10

故答案为：Y-

lo

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知尤>0,y>0,且个+2无+y=6,则2x+y的最小值为

（）.

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.

【详解】解：已知x>0,y>0,且xy+2x+y=6,

6-2x

y=----

）x+l

6_,YR8

2x+y=2x+----=2（x+l）H----------4>4,当且仅当2（x+l）=------,%=1时取等号,

'x+lx+lx+l

故2x+y的最小值为4.

故选:A

2.（2023春・浙江宁波•高三校联考阶段练习）非零实数。涉,c满足如，手，或成等差数列，则土式的最小值为（）

abcb

A.2A/2B.|+V2C.3D.3+2夜

【答案】B

hr（icnh

【分析】根据外，牛，丝成等差数列，可将6用a，c表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.

abc

【详解】因为生，华，或成等差数列，

abc

所以2欧二防Jcjl+c）

bcaac

所以〃=与三，

cr+c

22222222422

a+2c=a+2c=（a+2c）（a+c）=^+2c+3ac

则=京5=—27?

a2+c2

=-+^+4^-+2AEX=-+V2,

22c2a-2飞2c2a22

22

当且仅当4=:，即/=岳2时，取等号，

2c-a~

所以的最小值为1+0.

b2

故选:B.

3.（2023春•河北唐山•高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆(x-iy+(y-l)2=4关于直线

10

依+勿_4=0（°>0/>0）对称，贝1]7；-+不的最/J、值为（)

2ab

A.二B.-C.-D.2

【答案】B

【分析】求出圆心坐标，进而求出a,b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【详解】圆（x-iy+（y-l）2=4的圆心为（1,1）,依题意，点（L1）在直线方+办一4=0（°>0力>0）上,

因此一4=0,即a+6=4(a>0,6>0),

2ab42a

当且仅当，=乡，即。=2力=”时等号成立,

2ab33

所以1的最9小值为93

2ab8

故选:B.

4.（2023・全国•模拟预测）已知正数x,>满足lg（2y—x）=lg（2y）-lgx,则y的最小值为（）

A.；B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】先根据对数的运算得了=产不，再利用基本不等式求解.

2（1）

【详解】由正数无，>满足lg（2y-x）=lg（2y）-lg尤，得lg（2y-x）=1g三,

所以2y-x=红，］\，结合x>0,y>0,得x-l>0,

x2（x-l）

------------\

x21c1

所以y=寸（1）+-----+2>——+2=2,

2(1)2(1)x-\2x-lJ

当且仅当尤-1=，时，即x=2时取等号,

x-1

故选：c

5.（2023・全国•高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直

的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女婿手执规矩的记载（如

图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边

3

形木板的一个内角a满足cosa=（,则这块四边形木板周长的最大值为（）

图⑴图⑵

A.20cmB.200cmC.20gcmD.30cm

【答案】D

【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.

【详解】由题图(2)得，圆形木板的直径为JlO、5?=5若(cm).

设截得的四边形木板为ABC。，设NA=a,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m,如下图所示.

由cosa=1且0<cz<7i可得sina=71-cos2a=—,

在△ABO中，由正弦定理得」一=5如，解得〃=40.

sma

在△ABD中，由余弦定理，得〃之=〃+°2_2Z?ccosa,

所以，80=^+C2-|z>C=(/7+C)2-yte>(/>+C)2-yxfci=-^i，

即(6+C)24400,可得0<b+c420,当且仅当6=c=10时等号成立.

在△BCD中，ABCD=Tt-a,

由余弦定理可得8。=/=-23cos(…)=疗+/+刎

,、24zX24(m+n\4(m+nY

=[m+n)--mn>[m+nj--x-~4=------------—>

即(利+〃)~4100,即0<〃7+〃W10,当且仅当〃z=〃=5时等号成立，

因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.

故选：D.

二、多选题

6.(2023春•河北石家庄•高三校联考开学考试)下列说法正确的是()

A.若则函数y=2x+/一；■的最小值为一］

41

B.若实数。，人满足且a+b+c=2,贝lj--+--的最小值是3

〃+1b+c

C.若实数。，/?满足〃>0,b>0,且2a+b+"=6,贝!J2a+Z?的最大值是4

n2h2

D.若实数“，/?满足〃>0,b>0,且a+Z?=2,贝U-----+------的最小值是1

。+1b+1

【答案】BD

【分析】结合均值不等式求解.

对A,2苫+丁二=-+调整式子；

2x-lIl-2xy

j41\(4…IE

对B,--+--=---+--(a+l+6+c),“1”的妙用；

a+1b+c3(Q+1b+cJ

对C,6-（2〃+6）=岫4口与女］,组成不等式求解;

〃/71I4

对D,令a+l=m,b+\=n,贝!|----+----=m+n+一+——4=——・

a+1b+1mnmn

【详解】对A,x<1,函数y=2x+—'―=Jl-2x+—1—]+14-2」(1-2彳)•一—+1=-1,

22x-lIl-2xjVl-2x

当且仅当l-2x=」i，即x=0时取等号，即函数y=2尤+，的最大值为T,A错；

l-2x2x-l

对B,<7>0,Z?>0,c>0,且a+Z;+c=2,贝!|

5+2[^mnL3)

4当4+，V+1+"C)』5+3+

a+1b+c3(a+lb+c)3a+1b+c3\a+1b+c

当且仅当如0=£±1,即。=1,b+c=1时取等号，则工+4的最小值是3,B对;

。+1b+ca+1b+c

对C,〃>0,b>Q9日.2a+b+ab=6,.•.6—(2a+6)=a64；p^],即6-(2°+匕)式?"。)，解得2a+Z?24,

212yz8

当且仅当2〃=b=2时取等号，C错;

对D,a>0,b>0,且〃+Z?=2,令。+1=机>1,b+\=n>\,贝!|根+〃=4,

2222

ab(m-1)(n-1)114m+n4、4,

匚uI-------'-------=------------'----------=m+"H-----1------4=-------=N------------——1

所以〃+1Z?+1mnmnmnmn(m+n\，当且仅当根=〃=2,即々=〃=1

时取等号，D对.

故选：BD

7.（2023•全国•高三专题练习）已知实数"。满足2"=3"=18。＜1,则下列说法正确的有（）

A.3a>2bB.b<2c

121a+b

C.—=—I—D.>3+2正

cab

【答案】BD

【分析】设2"=3〃=18。=/<1,可得与，之间的等式关系，再用换底公式进行变形，可得。，仇c分子相同，通

121

过化简3a-2"判断正负，即可判断A；同理可判断“2c大小，即可判断B；分别化简-,一+7，即可判断C；对

cab

竺^进行化简，用对数运算法则，展开后，再用基本不等式即可判断D.

C

【详解】解：取2。=3'=18，=，，所以有，<1,则ln%vO,

iIn/7iInr_,Int_

贝nr(lI。=log?，=7^7,A=1。83，=<°，。=logi8%=777<。，

In2In3In18

因为3〃2b~31221n%_In《31n3—21n2)_In/(ln27-ln4)

In2In3In21n3In21n3

因为In27—In4>0,In/v0,In2In3>0,

所以3々-2/?<0,即3a<2Z?,故选项A错误；

因为2cb-21nZIni_In/(21n3-lnl8)_Inr(ln9-lnl8)

—"h718-h?3-Inl81n3-Inl81n3

0^/ln9—lnl8<0,ln^<0,lnl81n3>0,

所以2c—Z?>0,即人v2c,故选项B正确；

1In18In2+In9In2+21n3In22In312

因y/j-=------=------------=--------------=------1-----=--1--f

c\nt\ntInrkitInfab

故选项c错误；

In/In/

〃+组布+而

cIn%

lnl8

2In3In2

•(In2+21n3)=3H-----1---

In2In3

*2揽33+2区

当且仅当普==时取等，显然等号不成立,

m2m3

故巴2>3+2夜，故选项D正确.

C

故选：BD

三、填空题

8.(2023•山东日照•山东省日照实验高级中学校考模拟预测)已知正实数羽，满足e2T'+3-3x=ei+>,贝武+工的

xy

最小值为.

【答案】I7

【分析】构造函数/(x)=e*+x,利用单调性可得2-3x=y-l,再利用均值不等式即可求解.

【详解】由e2-3，+3-3x=e〉T+y,得e?.+2-3x=e1+y-l,

令/(x)=e*+x,则/(x)在R上单调递增，所以2-3x=y-1,即3x+y=3,

又因为x，Y是正实数，

所以』+L2+宇=4.叁2、庠+!=)

xyx3yxy3\xy33

yx3

当且仅当2,即％=y=9时等号成立，

xy4

7

故答案为：—

9.(2023•江西鹰潭・统考一模)ABC的内角4民。的对边分别为〃也。，若助cosC+3ccos5=5asinA,且A为锐

2

角，则当幺取得最小值时，7To的值为___________.

be2b+c

【答案】叵

15

【分析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得sinA,结合同角三角函数关系式求得cosA,

2

代入余弦定理表示出代入幺中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时反。关系，进而求得的

be2b+c

值.

【详解】由正弦定理将防cosC+3ccosB=5asinA变形可得

3sinBcosC+3sinCcosB=5sin2A,

即3sin(B+C)=5sin2A,

3

由sin(5+C)=sinA>0可得sinA=—,

一4

而A是锐角，所以cosA=《，

Q

贝!J由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2--bc,

Q

则//+i-丁Cb2+c28三亚H=2,

元=­L=F-蓝bc55

29

当且仅当6=c时，幺取得最小值三,

be5

故/J/，故“=坐6，

所以+=嘤.

2b+c15

故答案为：眄

15

10.(2023•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测)平面四边形ABCD中，AB//CD,AB=4,

DC=\,AD=2,ZZMB=60。，点E在直线8。上，点/在直线AC上，S.BE=ABD,CF=(彳>0,〃>0),

AEDF=4>则2+〃的最小值为.

［答案］4、+11

3

【分析】过点。作。回于。点，以点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知得出点以及向量的坐标,

o3

根据ADD尸=4,得出了+―=3,然后根据基本不等式“1”的代换，即可得出答案.

【详解】过点。作于。点.

因为AD=2,ZDAB=60°,

所以OA=1,OD=乖）,OB=AB—OA=3.

如图，以点。为坐标原点，分别以AB,OD所在的直线为轴，建立平面直角坐标系,

则0（0,0）,A（-l,0）,5（3,0）,D（0,A/3）,C（1,V3）,

所以，C4=卜2,-括），BD=（-3,A/3）,罚=（4,0）,DC=（1,0）,

所以，BE=2BD=（-34,收1,0尸=〃。4=卜2〃,一也〃），

所以，AE=AB+BE=（4-32,扇），=℃+仃=（1-2〃,一瓦）.

因为A£.£>k=4,

所以有（4一3/1）（1_2〃）+⑨*卜右〃）=4_8〃_32+3几〃=4,

Q3

所以8〃+3几=3勿，所以7+―=3,

Z〃

+H11』2厘+3^±11

所以,

3NX〃33

当且仅当华=2,即彳=迈过,〃=也炉时等号成立.

几〃33

故答案为：勺&1U.

3

四、解答题

11.（2023春咛夏银川•高三银川一中校考阶段练习）设a,b,c均为正数，且a+b+c=l,证明:

（I）ab+bc+ac<-；

/b2c2

（II）——十——+—>1.

bca

【答案】（I）证明见解析；（H）证明见解析.

【详解】（I）由〃之+〃之？々/?,c2+b2>2bc9a2+c2>2ac^t

a1+1）1+C1>ab+bc+ca9

由题设得》错才二】L

即a2+/+<?+2Q/?+2/?C+2C〃=1,

所以3（ab+bc+ca）41,艮［Jab+bc+ca<^.

，方22

（II）因为\-b>2a\-c>2b,\-a>2c

bc9a9

〃2h2r2a2h2c2a2h2r2

所以---1------1-----\-（a+b+c）>2（a+b+c）BP-----1------1>a+b+c所以1------1>1.

bca9bca9bca

本题第（I）（II）两问，都可以由均值不等式，相加即得到.在应用均值不等式时，注意等号成立的条件:“一正二定三

相等

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

【C组在创新中考查思维】

一、单选题

1.（2023秋•河北邢台•高三统考期末）若。>0力>1,且片仅+4从+2/）=8一%3,则（）

A.8a2+4"+3匕的最小值为8若B.8/+4尸+36的最小值为8夜

C.8a2+4"+36的最小值为16D.8/+4〃+36没有最小值

【答案】A

【分析】先将题意整理成（"+2户）（2片+6）=8,然后利用基本不等式可得到8a2+4b2+3b>2,6（/+2⑹（2/+6）,

最后检验2（"+2bz）=3（2a2+b）是否成立即可

【详解1由标仅+4/+2"）=8-2",得2/+4a2b?+a2b+2Z?3=（a2+2b1）（2a2+Z?）=8.

因为a>0,b>l,所以。2+2〃>0,2。2+6>0.

所以8/+4/+3匕=2（/+2b2）+3（2/+6”2眄/+2%（2a?+b）=2748=8后,

,、,、’4b2-3b=4a2

当且仅当2（a"»3（2f）,即，2+2用（2"38时’等号成立。

'4/-3匕=4",、，、

由/22、/2,得（12〃—36）（4〃一同=64,

（/+2灯（2/+6）=8、八'

设函数/修）=（12。2-36）（462-4-64,6>1,

则由/⑴<0,/（2）>0,得”6）在（1,2）上至少一个零点，

此时/=匕2_7>0,故存在a>0,b>l,使得不等式8a2+4/+3628石中的等号成立，

故8a2+4b2+3b的最小值为8栏.

故选：A

【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验2(6+2")=3(2〃+6)是否成立，需要构造

“3=(12"-36)(4/-6)-64,6>1,并结合零点存在定理进行验证

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/■(x)=ln(J77T-q+l,正实数。力满足“20+f(6-4)=2,则

4ba

-------1-----------------7-的最小值为(

alab+b

65

A.1B.2C.4D.

y

【答案】B

【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.

【详解】=ln(J%2+1一％)+1+1n(+i+*+]=2

故函数/(%)关于(0,1)对称，又/(%)在R上严格递减;

/(2a)+/S—4)=2,「.2〃+。一4=0即2a+〃=4.

4ba4ba4ba4ba

alab+b1ab(2a+b)a4b\a4b

当且仅当a=16=14时取得.

故选：B.

二、多选题

3.(2023•浙江•校联考三模)已知x>0,y>0,且V+y3=x_y,贝|()

D.x2+y2>-

2

【答案】BC

【分析】对于A、B选项，利用条件构造(x+y)2,比值换元将问题转化为单变量函数

求值域问题;

对于C、D选项，构造函数/⑺=婷+/+丁一x,〃y)=0,通过分析单调性判断即可.

【详解】••,尤3+;/=%->,/.(x+y)(x2-xy+y2)=x-y,x+y=

x2-xy+y2

令]=f,因为V+J?=尤-%羽>>0,所以x-y>0,

即看>1，则。+4=7^=1+;^”1）

'I-r十1i—r十I

当，=2时，（x+y）2=l；

当，>1且％w2时，令〃=.一2,4£（-1,。）1」（。,+8）,

/

贝!1（龙+"=1+77,一7727=1+11-e（O,l）j[l,

综上（x+ype■，竿，则档即B正确;

又因为三+y3=x-y,所以y3+y+x3-x=0

令/⑺=/+/+/-x,/（y）=O,

显然了⑺在(0,+8)上单调递增，/⑺)的零点y满足y>0

f（0）=x3-x<0,解得x<l.

所以要证V+y2<l,即证y<"T，

因为了⑺在（。,+8）上单调递增，所以即证/G/I二系）>0

____/____、3_________fx+2（Jl-x2）

jfQ/（Vl-X2）=pl-X2j+y/l-X2-X-（1-X2）=y/1-X2—J^=~>0

y1-x2+x

\7

所以成立，即炉+V<1成立，c正确

222

因为Ovyvx,所以当x.0时，x+y<2x^09x+y<2x^0,AD错误.

故选：B、C.

4.（2023・全国•高三专题练习）设正数满足〃+人=1,则有（）

A.ab<—

4

731

B.a33+b3<-

4

C.--[&+-|>8+4^

aybJ

「“2/

D.+---->-

b+1Q+24

【答案】ACD

【分析】对于A,由基本不等式推论可判断选项；对于B,利用分解因式结合A