2022-2023学年上海市青浦区实验中学九年级上学期期中考数学试卷含详解

青浦区实验中学2022学年第一学期期中考试

九年级数学试卷

（测试时间100分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）

1.在下列函数中，属于二次函数的是（）

121।

A.y--XB.y=x+—+1c.y=2x2-1D.+3

2X

2.在放AABC中，ZC=90°,那么cotA等于（)

ACACBCBC

A.---DB.c.D.

BCABACAB

3.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴

C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的

4.已知..ABC中，D、E分别是边A3、AC上的点,下列各式中，不能判断的是（)

CEBDcDEAECEBD

B.----=-----C生=空

~EA~~DABCACABAD~CA~~BA

5.下列判断不正确的是（）

A.a-a=0B.如果同=问，那么。=力

C.如果弓=幼（左H0）,那么a〃0D.a+h-b+a

6.如图，在四边形ABC。中，如果NAZ）C=N」BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和-84c相似的是

B.C4是N3C0的平分线

AD_DC

D.2

~AB~~ACAC=BC-CD

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

x2x+y

7.已知一=三，那么一-的值是___.

>5>

8.两个相似三角形的相似比为1：3,则它们周长的比为

9.已知点尸是线段A3的黄金分割点，B.AP>BP,AB=4,那么AP=.

10.已知二次函数丁=仕+3)/+兀+公-9的图象经过原点，则人的值为.

11.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P(-3,1)位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是

12.抛物线产(“T)/-2x+3在对称轴左侧，)，随x的增大而增大，则a的取值范围是.

13.如图，已知4£)〃BE〃C下，它们依次交直线4、4于点A、B、C和。、E、F，如果£>£:£>尸=2:5,

AT>=9,6=14,则BE的长是

14.已知一斜坡的坡度i=1:2.4,高度为5米，那么这一斜坡的坡长为米.

15.如图，在平行四边形ABC。中，点E是边C。的中点，联结交于点F，若8C=a,氏4=b,用表

示DF=_________

16.如图，四边形EPGH是一A5C内接正方形，BC=16cm,高AD=8cm,则内接正方形边长所=

17.如图，在AABC中，。、E分别为边A3、AC的中点，CD与BE交于点F,BELCD,如果NCBF=3()°，

BC=4,那么AC=.

18.已知在AABC中，AB=AC=S,N8AC=30.将八钻。绕点A旋转，使点8落在原zVLBC的点。处,

此时点。落在点。处.延长线段AD，交原AABC的边8C的延长线于点E，那么线段。石的长等于

三、解答题(本大题共7题，19~22题每题10分，23~24题每题12分，25题14分，满分78分)

19.计算：3tan30°+cos60°-A/3+2sin245°.

20.在直角坐标平面内，抛物线，丁=依2+法经过点4(—2,-2)与点3。,—5).求：

(1)求抛物线表达式；

(2)写出该抛物线的顶点坐标.

4

21.已知：如图在△ABC中，A力是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14,AO=12,sinB=-.求：

(2)tan/EDC的值.

22.如图，小明想测量河对岸的一幢高楼A8的高度，小明在河边。处测得楼顶A的仰角是60°.距。处60米的E

处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的。处测得楼顶A的仰角是30°(点8、c、E在同一直线上，且A3、

OE均与地面3E垂直).求楼A8的高度.

23.如图，一ABC中，点。、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点居AE?=EF-EB，

ZADB=NEBC+ZEAF.

(1)求证：AB=AD；

(2)若A£>=DC,求证：AFAD=ACEF.

24.如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线）=以2+乐（。＞0）经过点4_],6）和才轴正半轴上的

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM,求/AQW的度数；

（3）联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P,使NOAP=NABM,求点P坐标.

25.己知：如图，在Rt_A5C中，NC=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上一个动点，PDLAB交

边BC于点、D（点。与点A、C都不重合），£是射线OC上一点，且N£~D=NA,设A、P两点的距离为

x，△6EP的面积为九

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于*的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与.ABC相似时，求△班尸的面积.

青浦区实验中学2022学年第一学期期中考试

九年级数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）

1.在下列函数中，属于二次函数的是（

B.y-x+—+1C.y=2x-1D.y=yjx2+3

X

【答案】C

【详解】A.是一次函数，故选项错误；

B.等号右边不是整式，因而不是二次函数，故选项错误；

C.是二次函数，故选项正确；

D.等号右边不是整式，因而不是二次函数，故选项错误.

故选C.

2.在RaABC中，ZC=90°,那么cotA等于（）

ACACBCBC

A.-----B.-----C.----D.-----

BCABACAB

【答案】A

【分析】根据锐角A的邻边a与对边6的比叫做NA的余切，记作co/A.

【详解】解：：/C=90。，

•—AC

・・cotA=-----,

BC

故选：A.

【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义.

3.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是（）

A.开口向下B.对称轴是y轴

C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的

【答案】C

【详解】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.

【详解】A、•.飞=1>0,.•.抛物线开口向上，选项A不正确；

B、•••-:,.•.抛物线的对称轴为直线x=；,选项B不正确；

2〃22

C、当x=0时，y=x2-x=0,.•.抛物线经过原点，选项C正确;

D、；a>0,抛物线对称轴为直线x=5,

・•・当时，y随x值的增大而增大，选项D不正确,

故选C.

b

【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a和)，对称轴直线x=—,当a>0时，

2a

抛物线y=ax2+bx+c(a/0)的开口向上，当a<0时，抛物线y=ax?+bx+c(a加)的开口向下，c=0时抛物

线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4.已知一ABC中，。、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断£>£〃6C的是()

CEBDDEAECEBD

A.------------B.C任=空D.------------

EADA拓一就ABADCABA

【答案】B

【分析】根据题意作出图形,根据相似三角形的判定与性质逐项判断即可.

【详解】解：如图,

CEBDCE_BDAC_AE

对于A,C,D选项,

'~EA~~DA'~CA~~BAf耘一茄

AC_AB

~AE~~AD

又ZA=NA,

△ADESAABC

:.ZADE=ZABC

DE//BC

B.如图，

ZA=ZA，ZADE=ZC

ADES：.ACB

.DEAE

"BC-AC

不能得到与8c平行

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意作出图形是解题的关键.

5.下列判断不正确的是（）

A.a—a=OB.如果同=网，那么〃=匕

C.如果”=必（左H。），那么a〃〃D.a+b-b+a

【答案】B

【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可.

【详解】解：a—a=O,故A选项正确，不合题意；

|a|=W，表示两个向量的模相等，a=b不一定成立，故B选项判断不正确，符合题意;

如果。=幼（左。0）,那么“〃0，故C选项正确，不合题意；

a+b=b+a＞故D选项正确，不合题意；

故选B.

【点睛】本题考查平面向量、模、数乘向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

6.如图，在四边形ABCD中，如果那么下列条件中不能判定AADC和_BAC相似的是

B.G4是ZB8的平分线

C四=生D.AC2=BC-CD

ABAC

【答案】D

【分析】按照相似三角形的判定方法逐一判断即可.

【详解】解：在cAOC和中，ZADC=ZBAC,

如果_4DCs_B4c，需满足的条件有：①NTMI/ABC或AC是ZBCD的平分线；②2=£

A8AC

故选：D.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

x2x+y

7.已知一二：,那么一-的值是____.

>5y

7

【答案】j

x2

【分析】直接根据一二『用同一未知数表示出各数，进而得出答案.

y5

x2

【详解】解:•・・一二》,

y5

...设x=2a,则y=5a,

7

故答案为:

【点睛】此题主要考查了比例的性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的

两项叫做比例的内项.正确表示出x.y的值是解题关键.

8.两个相似三角形的相似比为1：3,则它们周长的比为.

【答案】1：3.

【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3,根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案.

【详解】•••两个相似三角形的相似比为1：3,

.•.它们的周长比为：1：3.

故答案为1：3.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是

解此题的关键.

9.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,AB=4,那么AP=.

【答案】275-2##-2+2^

【分析】根据黄金分割点的定义，知A尸是较长线段；则AP=屿二!■AB，代入数据即可得出”的长.

2

【详解】解：为线段A6的黄金分割点，且针是较长线段；

二AP=避二!■48=2石-2.

2

故答案为：26一2.

【点睛】本题考查了黄金分割的概念.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的上&5,较长的线段=原

2

线段的避二L

2

10.已知二次函数y=(Z+3)f+x+42-9的图象经过原点，则攵的值为.

【答案】3

【分析】根据二次函数定义可得％+3。0,再将点(0,0)代入二次函数的解析式即可得.

【详解】解：•••函数y=(%+3)/+》+%2-9是二次函数，

・,・％+3w0,

解得Z。-3,

•.•二次函数〉=(攵+3)X2+》+42-9的图象经过原点，

•••女2_9=0，

解得a=3或左=一3(舍去)，

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题关键.

11.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P(-3,1)的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是.

【答案】y=2(x+3)2+1

【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式.

【详解】抛物线y=2x2平移，使顶点移到点P(-3,1)的位置，所得新抛物线的表达式为y=2(x+3)2+l.

故答案为y=2(x+3)2+1

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物

线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是

只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

12.抛物线y=3T)x2-2x+3在对称轴左侧，)，随x的增大而增大，则a的取值范围是.

【答案】a<l

【分析】根据题意列出不等式并解答即可.

【详解】解：•••抛物线产(aT)N-2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

1<0,

解得a<\,

故答案为：a<\.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性.

13.如图，已知AO〃跖〃C产，它们依次交直线4、4于点A、B、C和。、E、F，如果。£:£)尸=2:5,

仞=9,CF=14,则BE的长是.

【答案】11

【分析】过点。作。G〃AC,交BE于点、H,交CF于点G,根据相似三角形性质求解即可.

【详解】解：过点。作。G〃AC,交BE于点H,交CF于点G,如下图

又,：BE〃CF

：.四边形A3HD和四边形为平行四边形

CG=BH=AD=9

:.GF=CF—CG=5

'：BE//CF

.DEHE2

"~DF~~GF~~5

：.HE=-GF=2

5

BE=BH+HE=11

故答案为：11

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，涉及了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的性

质.

14.已知一斜坡的坡度i=1:2.4,高度为5米，那么这一斜坡的坡长为米.

【答案】13

【分析】设斜坡的水平宽度为x米，根据坡度的定义可求出x,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：设斜坡的水平宽度为x米，则5：x=l：2.4,解得：x=12,

这一斜坡的坡长为J52+122=13（米）・

故答案为：13.

【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据.

15.如图，在平行四边形ABC。中，点E是边C。的中点，联结AE,8£>交于点F,若8c=a,BA=b,用表

示DF=________

【答案】—a—b

33

【分析】根据班"=DE+fiT7，求出OE，EFBPM.

【详解】解：•••四边形ABCO是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

'•CD=BA=b，AD=BC=a>

'：DE=DC,

11-

:.DE=——CD=——b,

22

,CDE//AB,

：.EF:AF=DE:AB=1:2,

：.EF=-AE,

3

EF=--AE=--a+-b,

336

11111

DF=DE+EF=——b——a+-b=——a——b,

23633

故答案为：—a—b.

33

【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

16.如图，四边形是一A8C内接正方形，BC=16cm,高A。=8cm,则内接正方形边长所=

cm.

【分析】先设正方形的边长等于x,利用正方形性质得出G”〃8C,再利用平行线分线段成比例得出

△AGHs_ACB,aAGI^ACD,之后根据相似三角形对应线段成比例进一步计算即可.

【详解】解：解：如图所示，设A£>,"G交于点/,

设正方形的边长等于x,

•.•四边形EFG/7是正方形，

GH//BC,

:.：AGHs,ACB,.AGIsACD,

.GHAGAGAI

•GHAI

V5C=16cm,高AD=8cm,则A/=8-x,

.x_8-x

••记一^^'

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质和正方形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

17.如图，在△ABC中，。、E分别为边AB、4c的中点，CD与BE交于点F,BELCD,如果NC8F=30°，

BC=4,那么AC=.

【答案】2币

【详解】解：连接ED•.♦£>、E分别为边43、AC的中

点，J.ED//BC,2ED=BC,'JED//BC,：.BF=2EF,CF=2FD.在RtABCF中，

VZCBF=30°,BC=4,：.CE=2,BF=273>:.EF=0.在国△EFC中，EC=7EF2+FC2=J(V3)2+22=

币,：.AC=2EC=2>f7-

4

点睛：本题考查了三角形中位线定理和相似三角形判定与性质，通过连接。E,由三角形中位线定理得出ED和

C8的关系，进而得出EF的长.

18.已知在小钻。中，AB=AC=8,NB4C=30.将AABC绕点A旋转，使点8落在原AABC的点。处，

此时点。落在点。处.延长线段A。，交原AA3C的边8C的延长线于点E，那么线段。E的长等于

【答案】473-4##-4+473

【详解】解：如图，由旋转的性质知，AD=AC=S,ZCAD^ZBAC=30°,

过C作CELAE交AE于F，

CF」AC=4,

2

AF=VAC2-CF2=473，

•••DF=8-4y/3.

在MBC中，ABRACS,ABAC=30°,

：.ZB=ZACB=75°,

ZE=ZACB-ADAC=45°,

；•ACE/7为等腰直角三角形，

,EF=CF^4,

：.DE=£F-£)F=4-(8-4^)=4V3-4,

故答案为：473-4.

三、解答题（本大题共7题，19~22题每题10分，23~24题每题12分，25题14分，满分78分）

19.计算：3tan30°+cos60°-+2sin2450.

3

【答案】-

2

［分析】直接利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案.

【详解】解：3tan300+cos60°-豆+2sin245。，

=3邛+M+2x图，

_3

-2,

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.在直角坐标平面内，抛物线，y=o?+法经过点a(_2,_2)与点3(1,-5).求:

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出该抛物线的顶点坐标.

【答案】(1)y=-2x2-3x

39

(2)4,8

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;

(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标.

【小问1详解】

解：•••y=o?+以经过点A(-2,-2)与点B(l,-5)

4a—2b=—2

a+b=-5

a=-2

解得：《

b=-3

；•抛物线的表达式为：y=-2x2-3x

【小问2详解】

、29

y=-2x2-3x=-2=斗+:+-

278

39

.•.该抛物线的顶点坐标为

4(8

【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法

设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方

程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点

时，可选择设其解析式为交点式来求解.

4

21.已知：如图在AABC中，是边BC上的高，E为边AC的中点，8c=14,40=12,sinB=-.求:

(2)tan/EDC的值.

【答案】⑴5；(2)y.

4

【分析】(1)根据sin3=1，求出AB,再求出B。即可解答；

(2)在R/AAQC中，E是AC的中点，推出NECC=/C,则tanNEOC=tanNC,即可求解.

【小问1详解】

解：在AA8C中，是边BC上的高，

：.ADLBC.

•八AO4

sinB=---=—・

AB5

VAD=12,

AB=*AO=15.

4

在Rt44B。中，---BD=-JAB2-AD2=V152-122=9,

.*.CD=BC-80=14-9=5.

【小问2详解】

解：在距AAOC中，E是AC的中点，

：.DE=EC,

：.NEDC=NC.

AD12

tanZ.EDC=tanZC==—.

CD5

【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质.

22.如图，小明想测量河对岸的一幢高楼A8的高度，小明在河边。处测得楼顶A的仰角是60°.距。处6()米的£

处有幢楼房，小明从该楼房中距地面20米的。处测得楼顶A的仰角是30°(点8、C、E在同一直线上，且48、

OE均与地面破垂直）.求楼AB的高度.

【答案】楼AB的高度为（30g+30）米

【分析】过点。作OE_LAB于点/，设45的长度为x米，则A尸=x—20米，在RjABC和@二AOF中分别

求出8。和OR的长度，然后根据CE=BE—C3,代入数值求出x的值.

【详解】解：过点。作于点/，

A

则四边形3田£为矩形，

设A3的长度为x米，贝iJAF=x-20米,

在Rt_ABC中，

ZACB=60。，

AQL

/.tanZACB=—=V3

BC

x

即5C=国,

在/中，

乙4£＞尸=30°,

DF=V3(x-20),

EB=DF，CE=60米，

6(x—20)一定=60,

解得：x=3073+30.

答：楼AB高度为（306+30）米.

【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求

解.

23.如图，在一ABC中，点E分别在边BC、AC上，A。与8E相交于点凡AE2=EF-EB>

ZADB=NEBC+NEAF.

（2）若AO=OC,求证：AFAD^ACEF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）先证明i.EFA^-.EAB，可得ZEAF^ZABF，结合ZADB=ZEBC+ZEAF可证ZABD^ZADB，

从而可证AB=AZ）成立；

（2）先证明NAM=N48C,然后通过证明乙可证结论成立.

【小问1详解】

证明：：4£2=斯・七8，

.AEEF

:.---=----,

BEAE

,/ZAEF=ZBEA，

uEFA^EAB，

；•ZEAF^ZABF,

ZADB=ZEBC+ZEAF，

：.ZADB=NEBC+ZABF=ABD,

：.AB^AD；

【小问2详解】

,:AD=DC,

：.ZCAD=ZC.

•：ZAEF^ZEBC+ZC,

：.ZAEF=NEBC+ZC4D,

由（1）知NC4D=NABf,

ZAEF=NEBC+ZABE,

■:ZABC=NEBC+ZABE,

ZAEFZABC,

二AEF,jr>_CBA，

.AFEF

"AC-AB

由(1)知AB=AD，

.AFEF

'~AC~~AD

AFAD=ACEF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公

共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.

24.如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线卜=依2+法(。>0)经过点4一1,6)和X轴正半轴上的

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)联结OM,求ZAOM的度数；

(3)联结AM、BM、AB,若在坐标轴上存在一点P,使NQ4P=NABM,求点P的坐标.

【答案】(1)>=且％2一空》

33

(2)ZAOM=\50°

(3)P(0,何或产(-2,0)

【分析】(1)根据已知条件求出点8的坐标，将A,8的坐标代入y=o?+bx,即可求得。、b,从而求得抛物

线的表达式.

(2)应用二次函数的性质，求出点〃的坐标，从而求得NEPM=30°,进而求得NAOM的大小.

(3)根据(2)的结论得出NQ4P=NABN=60°,进而分类讨论，即可求解.

【小问1详解】

解：；4(-1,6)

：•0A—J1+3=2，

,e•AO=OB

：.OB=2,则3(2,0)

将4(—1,6)，3(2,0)代入y=a?+公

砥\a-b=y[?>

得：\,

4。+2〃=0

[CI——6

解得《3广，

,2V3

b=-------

I3

这条抛物线的表达式为y=走龙2一豆18；

33

【小问2详解】

过点M作ME_Lx轴于点£1,过点人作AO_Lx轴于点。,

VA(-1,V3)

/•AD=I,OD=6

i巧

tanZAOD=-==—,则ZAO。=30°

g73

622662百

——v-----x=^-(x-l)+-^-

OE=\,EM^—

3

•一•tan//E小O彳M=_-E--M--=—>

OE3

/.ZEOM=30°.

ZAOM=ZAOB+ZEOM=150°.

【小问3详解】

解：VZEOS=30°,MO^MB

，ZMBO=30°

'：ZAOB=12Q°,OA=OB

：.NABO=30°,

ZABM=60°,

•；ZOAP=ZABM

：.AP_Ly轴或

当AP_Ly轴时，P（0,V3）,

当AP_LAB时，ZA0P=NQ4尸=60°,则.AOP是等边三角形，

；•OP=AO=2,

：.P（-2,0）,

综上所述,网0,⑹或尸（-2,0）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判

定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

25.已知：如图，在RtABC中，ZC=90°,BC=2,4c=4,P是斜边A6上的一个动点，PDLAB交

边BC于点。（点。与点A、C都不重合），E是射线0c上一点，且N£PZ）=NA,设A、P两点的距离为

x,ZXBEP的面积为＞.

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与,ABC相似时，求△BEP的面积.

【答案】（1）