2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 同步练习

2023-2024学年高中数学人教A版必修二6.3平面向量基本定理及坐标表示同步练习一、选择题1．已知|a|=1，|b|=2，|2aA．－1 B．−12 C．02．已知向量a、b，“|a|=|b|”是“a在b方向上的数量投影与A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．已知向量a=(3，1)，bA．−32 B．32 C．−4．已知向量a=(2，3)，bA．(3，5) B．(−5，−7) C．5．已知向量a=(1，m)，b=(2，A．-2 B．−12 C．16．已知向量a=(2，2)A．a=−2b B．a=2b C．7．已知a，b是单位向量，|2a+b|=3A．π6 B．π3 C．2π38．在▱ABCD中，G为△ABC的重心，满足AG=xAB+yA．43 B．53 C．09．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，∠AOB=150°，点E，F分别在AB，CD上，且FE=2OF，则A．[−6，152C．[−32，10．已知点P在△ABC所在平面内，满足PA+PB+PC=A．23 B．1 C．4311．如图，在△AOD中，|OA|>|OD|，B，C分别在AD上，且OP⋅OA B．OP⋅OB C．二、多项选择题12．已知单位向量a，b满足|2aA．a⋅b=C．向量a，b的夹角为30° D．b在a上的投影向量为113．在平面直角坐标系中，已知a=(cosα，sinα)A．|b|B．当b≠0时，a在bC．|2a−D．若c=xa+yb，且14．下列说法正确的是（）A．对任意向量a，b，都有|B．对任意非零向量a，b，都有|C．若向量a，b满足(a+D．若非零向量a，b满足a⊥b15．下列说法正确的是（）A．若a//b，bB．|(C．若a⊥(bD．(16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=2AB=2，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A．当点E是AD的中点时，BDB．存在点E，使得(C．EB⋅ECD．若CE=xCB+yCD，x三、填空题17．如果平面向量a=(1，−2)，b=(−6，18．已知平面向量a=(3，1)，b=(−1，1)，c=(x19．已知a=(2，−3)，b=(020．已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，a21．已知平面向量a，b，|a|=1，b=(1，−1)，a22．已知向量a，b的夹角为π3，a=(2，0)四、解答题23．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M、N分别是边BC、CD的中点，设向量AB=a（1）试用a、b表示向量AM与（2）求AM⋅24．已知a=(m，2)，b（1）若a∥(b+2（2）若(a−b25．如图，已知ABCD为平行四边形．（1）若|AB|=5，|AD|=4，|BD（2）记平行四边形ABCD的面积为S，设AB=(x1，26．已知平面向量a，b，|（1）求a与b的夹角θ的值；（2）当|b−λa27．已知a，b是非零向量，①|a|=3|b|；（1）从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）（2）在①②的条件下，(a+b28．记a、b、c为平面单位向量，且|a（1）求⟨a（2）若a⋅c=29．已知e1，e2是夹角为（1）若a+λb与b垂直，求实数（2）若c=xa+yb(30．设平面向量a、b的夹角为θ，a⊗b=|a|⋅|b|（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)g(x)=−cos2x﹐证明：不等式ef(x)

答案解析部分1．答案：A解析：解：由题意得2a→−b→2=4a→故答案为：A.

分析：对|2a−b|=4两边平方结合a→2．答案：A解析：解：设a→与b→的夹角为则a→在b→方向上的数量投影为a→cosθ，b若|a|=|b若a→cosθ=例如θ=π2，满足a→cosθ=故“|a|=|b|”是“a→在b故答案为：A.分析：设a→与b→的夹角为3．答案：C解析：因为a//b，则3×m=1×−2，解得m=−23.4．答案：C解析：解：2a→−b→=2(2，3)−(−1，−2)＝＝(5，8)5．答案：B解析：因为a∥b，则1×−1=2×m，解得m=−126．答案：D解析：解：A.∵a→=2，2，1b→=1，−1

∴−2b→=−2，2，a→≠−2b→，故A错误；

B.∵2b→=2，−2，∴a→≠b→，故B错误；

C.7．答案：C解析：根据题意，设a→与b→的夹角为θ，

将|2a+b|=3两边平方得到4a→2+b→2+48．答案：A解析：解：因为G为△ABC的重心，则AG→=13AB→+13AC→

又因为在▱ABCD中，AC故答案为：A.分析：根据重心的性质可知AG→9．答案：D解析：解：设∠AOE=θ，由∠AOB=150°，可得0°≤θ≤150°，因为AF→所以AF→⋅OE→=(13OE→−OA→)·OE→=−

分析：先利用向量的运算用向量OF→，OA→表示AF→10．答案：D解析：因为PA+PB+PC=0，则点P为△ABC的重心，

取BC的中点D，

则AP→=23AD→=23×12AB11．答案：D解析：由题意可得：OP→=12OA→+12OD→，

OB→=OA→+AB→=OA→+13AD→=OA→+13OD→−OA→=23OA→+13OD→，

OC→=OA→+AC→=OA→+23AD→=OA12．答案：A,D解析：解：根据单位向量a，b满足|2a−b|=3，将其两边平方得(2a→−b→)2=4a→2−4a→·b→+b→2=4−4a→故答案为：AD.

分析：先将|2a−b13．答案：A,C,D解析：解：对于A：因为b→=cos2β+(2所以|b|的取值范围是对于B：由题意可得：a→·b→=cosαcosβ+2sinαcosβ=cosβ2sinα+cosα=5cosβsinα+φ，其中tanφ=12，φ∈0，对于C：因为a→=cos2α+sin2α=1，

则∣2a→−b对于D：因为c=xa+yb，则∣c→∣=故答案为：ACD.

分析：对于A：根据向量模长的坐标运算结合三角函数的性质分析判断；对于B：根据向量的投影数量公式结合三角函数分析判断；对于C、D：根据向量模长的三角不等式以及基本不等式分析判断14．答案：A,C解析：对A：设θ=⟨a→，b→对B：当向量a，b同向时，|a→+对C：若(a+b)⊥(a对D：若非零向量a，b满足a⊥b，则a→·b→=0因为|a→||b→故答案为：AC.分析：对A：根据数量积定义和三角函数有界性判断；对B：由向量三角不等式等号成立条件判断；对C：根据向量垂直的充要条件推导判断；对D：根据已知分别计算|a15．答案：B,C解析：A、当b→=0→时，有a//b，b//c，但a→不一定与c→平行，A错误；

B、∵(a→⋅b→)⋅c→=a→b→cosa→，b→c→16．答案：A,C,D解析：对A：当点E是AD的中点时，BD→=BE→+ED→=BE→+12BC→，故A正确；

对D：因为CE→=CD→+DE→=xCB→+yCD→，则DE→=xCB→，y=1，可得x∈0，1，

所以x+2y=x+2∈2，3，故D正确；

可得CE→=xCB→+CD→，x∈0，1，17．答案：(−解析：解：∵a→+b→=−5，1，a→=1+−22故答案为：(−7

分析：先求出a→+b→=−5，1，a→18．答案：−2解析：解：根据向量的坐标运算得：a→+2b→=1，3，因为故答案为：-2.

分析：根据向量坐标运算以及向量共线的充要条件列出方程，求解即可.19．答案：0解析：解：∵2a→+b→=22，−3+0，k故答案为：0.

分析：先求2a20．答案：13解析：解：由已知条件可得2故答案为：13分析：利用平面向量的模和数量积的定义即可求解.21．答案：3解析：解：设a→=(x，y)，

∵a⊥(a−b)

∴a→×(a→−b→)=0，

∴x2−x+y2+y=0，

∵|a|=1，

∴x2+y222．答案：1解析：解：由题意得a→=2，b→≠0，a→·b→=故答案为：1.

分析：先求出a→=2，a→·b23．答案：（1）解：如图，因为点M是边BC的中点，所以BM=则AM=同理，AN=（2）解：由（1）可知，AM=a+又因为ABCD为矩形，所以a·则AM·【解析】分析：(1)根据中点和矩形的性质利用向量的加法运算求解；

(2)结合(1)根据向量数量积的运算法则，进行计算求解.24．答案：（1）解：由已知得，b+2∵a∥(b+2c∴m=8（2）解：由已知得，a−b=(m+2∵(a−b)⊥(∴m=−5.【解析】分析：(1)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的平行的坐标运算求解；

(2)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的垂直的坐标运算求解.25．答案：（1）解：在平行四边形ABCD中BD=所以|=|即42−2AB所以|=（2）证明：因为SABCD=|AB又cosA=所以S2整理得S2又|AB|2=x所以S2所以S=|x【解析】分析：(1)根据BD=AD−AB，结合数量积的运算律可得AB⋅AD=1026．答案：（1）解：由b⋅(a−b)=0又|a|=2，所以cosθ=a⋅（2）解：因为a⋅b=所以|b所以|b−λa|的最小值为【解析】分析：(1)根据数量积的运算律结合夹角公式运算求解；

(2)根据数量积的运算律结合二次函数运算求解.27．答案：（1）解：选①②：若|a|=3|=3|b选①③：由|a−b|=|b|，得即cos〈a，b〉=32选②③：由|a−b|=|b|，得整理得|a|2−3|a（2）解：由(a+b)⊥(a而|a|=3|b|，所以λ=9【解析】分析：(1)根据数量积的定义以及运算律分析证明；

(2)根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.28．答案：（1）解：由已知|a|=|b所以，|a−b所以，cos⟨因为0≤⟨a，b（2）解：由已知可得|a|=|c所以，|2c【解析】分析：（1）首先利用平面向量数量积的运算求出cos⟨a→，b→⟩，再根据0≤⟨29．答案：（1）因为e1，e2是夹角为所以(=(2+λ)=13λ+∴λ=−（2）因为a=2所以a⋅|a|b|=(∴|∴|当xy=−12时，【解析】分析：(1)由向量垂直的性质列方程，结合数量积的运算性质化简方程，可求出实数λ的值；

(2)由数量积的运算和模的性质求出a→·b→，30．答案：（1）解：因为a=(sinx，1)所以|a|=sin2所以cosθ=则sin===|所以f(x)=a因为0≤x<3π4，当0≤x≤π4时cosx≥所以f(x)=（2）解：当x∈[π2，又f(x)g(x)=−cos所以g(x)=sin令t=f