2023-2024学年新疆生产建设兵团第六师高二年级下册开学考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年新疆生产建设兵团第六师高二下册开学考试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知直线/过点A(a,0)且斜率为1,若圆f+V=4上恰有3个点到/的距离为1,则〃的

值为()

A.±3B.±3&C.+2D.±72

【正确答案】D

【分析】根据直线/过点同(。,0)且斜率为1,写出直线方程，再根据圆/+丁=4上恰有3

个点到/的距离为1,结合半径，则由圆心到直线的距离为1求解.

【详解】因为直线/过点A(a,0)且斜率为1,

所以直线方程为y=x-a,

即x-y-Q=0,

因为圆Y+V=4上恰有3个点到/的距离为1,

所以圆心到直线的距离为1,

即即，

解得a=+y/2-

故选：D

2.已知点(1,1)在圆(x-2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-co,-1)U(1,+oo)D.{1,-1)

【正确答案】A

【分析】直接利用两点间的距离与圆的半径的关系的应用求出结果.

【详解】由于(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，

所以点(1,1)到圆心(a,-a)的距离“<2,

即：J(l-a)?+(1+4<2,整理得：-l<a<l.

故选：A.

本题考查了根据点和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.

3.已知平面a的一个法向量"=（2,1,2）,点A（—2,3,0）在a内，则P（l,l,4）到a的距离为（）

IQQ

A.—B.-C.4D.10

33

【正确答案】C

\AP-n\

【分析】由向量的坐标运算得4P，再由尸平面。的距离1即可求解.

【详解】由题意，得"=（3,-2,4）,又知平面。的一个法向量〃=（2,1,2）,

%尸川|6-2+8|

贝IjP到平面a的距离"=1=4,

|n|V22+l2+22

故选：C.

4.已知点A（0,2）,8（1,1）,且点尸在圆C:（x-2>+y2=4上,C为圆心，则下列说法错误的

是（）

A.|PA|+|PB|的最小值为及B.当最大时，△AP8的面积为2

C.|PA|-|PC|的最大值为2及D.||/训-I冏|的最大值为近

【正确答案】B

【分析】根据题意，可知当尸为线段A3与圆C的交点时，可求出|P4|+|P8|取得最小值，可

判断A选项；当AP与圆C相切时，/P45最大，此时尸与。重合，可求出△4P8的面积，

即可判断B选项；由于|PC|=r=2,当1PAi最大时，|PA|-|PC|也最大，可知当A,C,P三

点共线，且C在A,尸之间时，求出1PAl-|尸1的最大值，即可判断C选项；当P为射线BC

与圆C的交点时，求得||「山-田邳取得最大值|AB|=&,即可判断D选项.

【详解】解：如图，当尸为线段A3与圆C的交点时，即|网+|用=|/冏=3时，

此时|叫+|「网取得最小值为应，故A正确；

由题可知点8在圆C内，当心与圆C相切时，/PAB最大,此时P与。重合，

此时SfPB=；x2xl=l,故B错误；

因为点P在圆C:（x-2）2+V=4上，C为圆心，则|PC|=r=2,

所以当|PA|最大时，|申|一忙。也最大，

当A,C,P三点共线，且C在A,尸之间时，其最大值为|AC|=2立，故C正确;

当尸为射线8c与圆C的交点时，归训取得最大值|AB|=&,故D正确.

故选：B.

5.已知点尸在直线/：x+y+7=0上，点。在椭圆上+上=1上，则IPQI的最小值是()

169

A.72B.2C.3亚D.672

【正确答案】A

【分析】设Q(4cos设3sin0),则点。到直线/的距离

.|4cos(9+3sin6>+7||5sin(O+s)+7|1atti—品了"十山县心

d=---------/-------=-----万一一-，然后根据二角函数求出最值.

【详解】设Q(4cos6,3sin。)，则点。到直线/的距离

,14cos6+3sin6+71|5sin(6+0)+7|

心—忑—二-6―-

因为-545sin(e+e)45,所以2》5sin@+c)+7|412,则应4d46夜.

故选：A.

本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.

6.已知一+/=1,xeR,yeR,且冲*0,则()

<2

A.\x+y\>>/2B.⑹〉;C.log2|x|+log2|j|<-lD.|^+|^

【正确答案】C

【分析】对于A,作出方程V+y2=l的图形，结合圆心到直线的距离即可判断;

对于B,利用重要不等式/+丁22孙(当且仅当x=y等号成立)即可判断;

对于C,利用重要不等式及对数运算即可判断;

lx2+y-2

对于D,根据Vl--LT（当且仅当》=丫等号成立）即可判断.

----1----

【详解】对于A,令〃z=x+y,则直线x+y-相=0,如图所示,

当直线与圆相切或相交时，d<r,此时满足题意,

圆心到直线x+y—机=。距离为d=■~[141,即卜同4^2,

VI2+12

于是有，|龙+y|<3,|x+y|wi,故A不正确；

对于B,由》2+9之2可帆，得|刈）归],故B不正确；

-1

对于C,由国|）归!，得log2|A-||>'|=log,|x|+log,|y|<log,=>故c正确;

对于D,由「^2丁—T,得匕+42&,故D不正确；

RN凶以

故选：C.

本题解决的关键对于A选项，作出图形利用数形结合即可解决，对于BCD三个选项，记住

不等式链

告《而，学4

（当且仅当x=V时等号成立）即可解决该问题.

xy

7.方程/+/一公+2旷+1=0不能表示圆，则实数。的值为

A.0B.1C.-1D.2

【正确答案】A

【分析】先假设方程可以表示圆得到。的值，从而可得到不能表示圆时a的值.

【详解】方程x~+—奴+2y+1=0能表不圆，则(―a)~+2~—4x1>0,

解得a2>0>即aH0.

所以，若方程f+V—ar+2y+l=0不能表示圆，则4=0.

故选A.

本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.

8.在以下命题中：

①三个非零向量”，h,c不能构成空间的一个基底，则a，h，c共面；

②若两个非零向量a，6与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若OP=2OA-2OB-2OC，则尸，A,B,

C四点共面

④若a，b是两个不共线的向量，且c=&/+〃伙wx0),则｛“,b,c｝构成空间的一

个基底

⑤若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+4"c,c+a｝构成空间的另一个基底；

其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【正确答案】D

根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.

【详解】①由空间基底的定义知，三个非零向量“，b，c不能构成空间的一个基底，则“，

b.c共面，故①正确；

②由空间基底的定义知，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,

则”，6共线，故②正确；

③由2-2-2=-2工1,根据共面向量定理知P,AB,C四点不共面，故③错误；

④由：'=6+/，当彳+〃=1时，向量c与向量a，b构成的平面共面，则｛。也c｝不能构成

空间的一个基底，故④错误；

⑤利用反证法：若｛a+6,b+c,c+a｝不构成空间的一个基底，

^a+b=x(b+c)+(\-X)(c+a),整理得c=M+(l—x)b,即q,6,c共面，又因｛a,"c｝为空

间的一个基底，所以｛a+6/+c,c+。｝能构成空间的一个基底，故⑤正确.

综上：①②⑤正确.

故选：D.

本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面

向量的定义，属于基础题.

9.设A是空间一定点，"为空间内任一非零向量，满足条件A何•〃=（）的点”构成的图形

是（）

A.圆B.直线C.平面D.线段

【正确答案】C

【分析】根据法向量的定义可判断出点M所构成的图形.

【详解】A是空间一定点，〃为空间内任一非零向量，满足条件AM/=O，

所以，〃构成的图形是经过点A,且以〃为法向量的平面.

故选：C.

本题考查空间中动点的轨迹，考查了法向量定义的理解，属于基础题.

10.平面直角坐标系中，动圆7与x轴交于两点A,B,与y轴交于两点C,D,若|A8|和

均为定值，则T的圆心轨迹一定是（）

A.椭圆（或圆）B.双曲线C.抛物线D.前三个答案都不对

【正确答案】D

【分析】根据圆在两坐标轴上截得弦长为定值列出圆心坐标与半径关系式，消去半径建立圆

心T（x,y）两坐标的关系即为圆心轨迹.

【详解】设圆心T（x,y）,半径r,由圆在x轴上截得弦长为|A8|得|A8|=2次二了，

所以；|48『='一丫2,同理：L\cD^=r2-x2

191、

两式相减消去「得V-y2=/加「一不8「

当|A同=|8|时，y=±x,圆心轨迹为直线，

当国时，x2-y2=^-（|AB|2-|CD|2）,因为凶8|和|C£）|均为定值，故圆心轨迹为双曲

线，

故选：D.

11.设抛物线N=4x的焦点为F,过点尸的直线/与抛物线相交于A,B,点A在第一象限,

3\AF\

且用=1,则扁=()

2IS

3

A.-B.2C.3D.4

2

【正确答案】B

【分析】过A,5分别作准线的垂线，再过8作4V的垂线，由抛物线的性质及三角形相似

可得对应边成比例，求出IAQ,由用的值，进而求出比值.

33

【详解】解：设|8用=机，则由可得依回二；+机，

由抛物线的方程可得：F(1,0),

过A,5分别作准线的垂线交于A,B',

过3作4V的垂线交4V,。/分别于CD点,

则△3F£>s/\B4c,所以——BF=——DF,

ABAC

---m---=-2----m-<

33

o+?

所以A法F=2^=2,

本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.

22

12.已知椭圆C：T+2=1(〃>6>0)的左、右焦点分别是耳(―c,0),居(c,0),若椭圆C的离

ab

心率。=避二1,则称椭圆C为“黄金椭圆”.O为坐标原点，P为椭圆C上一点，A和B分

2

别为椭圆C的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是()

A.a,b,c成等比数列B./耳48=90。

D.若Pf；_Lx轴，则O尸〃AB

【正确答案】D

【分析】对于A,根据离心率公式,验证加=加即可;

对于B,根据勾股定理以及离心率公式判断B是否正确；

对于C,根据A的结论，即可验证；

对于D,根据原0=3“结合斜率公式以及离心率公式判断D是否正确；

【详解】对于

A,e=—=——-,<?=――-(2,b2=〃2-2=/1=—―-a2=ac,:.b2=ac

a22I2J2

。力,。成等比数列，故A正确；

对于B,因为6=与1,所以从=ac即，2i2=(«+c)2-«2-c2,

所以3+4="+。2+/,故4A8=90。，故B正确；

对于C,要证3=4*,只需证£■=，•一-1，只需证4二-；,即』二b,

ab2c~h~c2a-b2a2c2h2a2c2

只需证—T=22，由A得,显然成立，故C正确；

对于D,轴，且尸O〃45,所以P(-G—),k=k,

aPOAB

所以工」，解得』，所以"字故D不正确.

-c-a

故选：D.

二、填空题

13.空间向量a=(1,1,1),8=(1,0,1),c=(1,2,"?),若三个向量a,b,c共面，则a可用人和表示

为.

【正确答案】a=g(6+c)

根据三个向量a,。,c共面，利用空间向量基本定理，由a=Xb+pic求解.

【详解】因为空间向量0=)=(l,0,l),e=(l,2,M，且三个向量a,共面,

1=2+〃

所以a=,即<1=2〃

1=2+

A=-

2

1

解得〃=一

2

m=1

所以a=：3+e),

2

故a=g(Z?+c)

14.已知双曲线C:二—卫=1(4>0,6>0)的左、焦点为"、"，点P为双曲线C的渐近线

ah'

上一点，PFt-PF2=O,若直线P耳与圆/+>2=/相切，则双曲线C的离心率为

【正确答案】2

作出图形，设"与圆xW相切于点E,分析出々。6后，可求得?的值，进而可

得出双曲线C的离心率为e=,即可得解.

【详解】如下图所示，设P耳与圆/+了2=。2相切于点E,则|。目=”,

PFtPF2=O,则尸耳，尸名，OELPFX,则OE//P//

。为环名的中点，则E为尸E的中点，，|P段=2|O目=〃，

由直角三角形的性质可得耳|=|凹，因为E为叼的中点，则NEO《=NPOE,

由于双曲线的两渐近线关于y轴对称，可得NPOE=NEO£,

所以，NEOF、=NPOE=ZPOF2,则NEOF、+NPOE+NP。5=3ZPOF2=兀,

所以，/尸0居=£,则2=tanf=Jj,

3。3

故答案为.2

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、c的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、。的齐次方程，然后转化为关于《的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

15.已知圆。:/+y2-2公+4y=0关于直线x+3y+2=0对称，尸(x,y)为圆C上一点，则

2x-y的最大值为.

【正确答案】20

【分析】由圆C关于直线x+3y+2=0对称列方程求“，由此确定圆的圆心坐标和半径，设

z=2x-y,由直线z=2x-y与圆C有公共点，列不等式求z的范围及最大值.

【详解】方程X?+9_2or+4y=0可化为+(y+2)2=tz2+4,

所以圆。:/+/-26+4)，=0的圆心为。(。,-2),半径为行西，

因为圆C：x2+y2-2ox+4y=0关于直线x+3y+2=0对称，所以a+3x(—2)+2=0,所以

|2x4-(-2)-z|2—

a=4,令z=2x—y,则］~：■<V4'+4,

立+(-1)2

所以|10-z|410,所以04Z420,所以2x-y的最大值为20,

故20.

16.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标例，N,

有一根旋杆将两个滑标成一体，|MN|=4,。为旋杆上的一点且在M,N两点之间，且

\ND\=3\MD\,当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽G"内随之运动时，将笔

尖放置于。处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点0,以EF所在

的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.则椭圆C的普通方程为

【分析】由已知得出椭圆C的长半轴长为3,短半轴长为1,可得出椭圆的方程.

【详解】由题意得：|叫=3,|如=1,所以椭圆C的长半轴长为3,短半轴长为1,所以

椭圆C的普通方程为1+V=l,

故答案为.'+y=l

本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于

基础题.

三、解答题

22

17.双曲线q一马=1的实轴为A4，点户是双曲线上的一个动点，引

a~b~

A2QIA2P,A0与4。的交点为Q,求点。的轨迹方程.

【正确答案】a2x2-b2y2=a4(x^±a)

/、x^ax+a

设Q（x,y）,夕（公，九），A（—兄0），4（〃，0）,由已知条件可得a，即

上._A_=T

x-axQ-a

222»2

又点尸在双曲线上，代入可得即为点。的轨迹方程.

x-a-Xo-a'x2-a2a2

【详解】设。（x，y）,尸（々，九），A（-a,O）,4（a,0）,

由题意可知士a,x^±a,否则点尸（或点Q）和点A（或点4）重合，不符合题意;

QAQ1AP,A2Q1A2P,

上.上=一

2

x-\-ax+avv,、2/

・•・利用垂直斜率关系可得（｝，两式相乘得①

y%=]%4-a

x-ax0-a

又点尸在双曲线4-¥=1上，.•.写-箕=1,即空;=与

222222

ababx0'-aa

2222

将其代入①式得4T-4=1,化简整理得：ax-by=a\x^±a）

厂一。a

所以点。的轨迹方程为：a2x2-&y=«4（^*±«）

方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：

（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，

求方程时可用直接法；

（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方

程；

（3）代入法：如果轨迹点Q3y）依赖于另一动点九），而？（々,九）又在某已知曲线

上，则可先列出关于苍％无。，%的方程组，利用乂丫表示出不，%,把%,%代入已知曲线方

程即可得到动点。的轨迹方程；

18.如图，在四棱锥尸一反8中，PC=43,PCJ_底面ABC。，ASCO是边长为2的菱

形，ZBAD-60°,正AA。。所在平面与底面ABC。垂直.

p

⑴求证：PQ〃平面ABC。；

（2）求二面角P-QD-4的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵也

2

【分析】（1）设AO的中点为O,利用面面垂直的性质证明QO,平面ABC。，从而证明

QO//PC,进而证明四边形QPC。为平行四边形，由此可证明PQ〃平面A8CO；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面A。。和平面P。。的法向量，利用

向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案.

【详解】（1）设AO的中点为0,连接QO，CO,

因为△A。。是正三角形，所以。0_LA£>,

又因为平面AQQJ_平面A8C。，所以Q。，平面48。，

又因为PC_L底面ABCD,所以QO〃PC,

又因为QO=4Qsin60=6=PC,

所以四边形QPCO为平行四边形，所以PQ〃OC,OCu平面ABC。，

因止匕P。〃平面ABC。.

（2）因为NBAO=60,AB=AD=2,所以△锄£）是正三角形，

连接08,则O8_LAD,

如图，以。为原点，OA,0B,。。所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标

系。­

则A(1,O,O),B(O,G,O),E)(TO,O)，2(O,O,G),P(-2,M6),

可取平面A。。的法向量为〃?=(0,1,0),

设平面P。。的法向量"=(X，y,Z),

由〃lOQn(x,y,z)・(l,0,g)=0nx+Gz=0,

由HJ_QP=>(x,y,z),(-2,V3,0)=0=>-2x+>/3y=0>

令z=-1nx=百,y=2,即〃=(百,2,—1),

所以COS(，",")=-"=^=—,

所以所求二面角的正弦值为JI'曰、=*.

19.已知椭圆工+工=1上一点P与两个焦点的连线互相垂直，求点P的坐标.

4520

【正确答案】(3,4)或(3,T)或(—3,4)或(—3T)

【分析】设尸点坐标，列出坐标满足的等量关系式，求出坐标

【详解】设点P(x,y),根据椭圆方程得：c=A万=5,所以两个焦点坐标分别为

(-5,0),(5,0),因为点尸与两个焦点的连线互相垂直，所以(x-5)(x+5)+V=0,且点p«y)

(x-5)(x+5)+y2=0

在椭圆上，所以片+《x2=9

=1,联立，/丫2得：,,,,所以点P的坐标

4520----1-----—1,y=16

14520

为(3,4)或(3,-4)或(-3,4)或(-3,-4)

20.已知圆C:(x-1)2+(>-2)2=25,直线/:(26+1)工+(加+1)丁一76一4=0(6£/?).

(1)求证：直线/恒过定点；

(2)判断直线/与圆C的位置关系；

(3)当机=0时，求直线/被圆C截得的弦长.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)点A在圆C内，从而直线/与圆C相交(无论小为何

实数)；(3)772.

⑵+y-7=0

【分析】(1)将直线方程整理为关于参数，"的方程，可令,八求解，即可证结论.

[x+y-4=0

(2)由(1)所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线/与圆C的位置

关系；

(3)由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线/被圆C截得的弦长.

【详解】(1)证明：直线/的方程可化为(2x+y—7)加+x+y-4=0,又meR,

2x+y-7=0,解得/fx=3

x+y-4=0

.•.直线/恒过定点A(3/).

(2)圆心C(l,2),|(C|="(3-1)2+(1_2C=辨＜5,

...点A在圆C内，从而直线/与圆C相交(无论〃，为何实数).

11+2-41

(3)当m=0时,直线I的方程为X+y-4=0,圆心C(l,2)到直线I的距离d=变

~2

：.此时直线/被圆C截得的弦长为2)此-1=2^25-g=7&.

21.如图，在四棱锥S-ABCD中，已知四边形ABCD为菱形，ZBAD=60°,SA。为正三

角形，平面SAO_L平面A3Q).

(1)求二面角S-8C-A的大小;

(2)在线段SC(端点S,C除外)上是否存在一点M,使得A”J_5D?若存在，指出点M的

位置；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)45。

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)取AD中点。，连接S。，B0,由分析知SOJ_A£),再由面面垂直的性质定理

知，SOJ.平面ABC。，所以进一步可得，OA,OB,OS两两垂直，以。为坐标原点建立如

图所示平面直角坐标系，设AQ=2,分别求出平面ABCD和平面SBC的法向量，由此计算

出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.

(2)求出M的坐标，表示出AM,8。，由知4MmuO，代入解得2=1，矛盾，

故不存在.

【详解】(1)取A。中点。，连接SO,BO,因为SA=SO,OA=OD,所以SOJ_AT),

又因为平面SAD_L平面A8C£),平面SAOc平面A5C£)=AO,SOu平面S4。，SO_L平面

ABCD,因为O8u平面A8C3,所以SO_LO3,则SOLCM,SOVOB,因为BA=BD,

OA=OD,所以AO_LOB,所以。4,OB,OS两两垂直，

以。为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设4。=2,

则S(0,0,q,网0,后0),C(-2,^,0),4(1,0,0),0(-1,0,0),

平面A8CO的法向量为OS=(0,0,6)，

/、/?•BS=0A、

设平面S8C的法向量为"=(x,y,z),由____.,可得〃=(0,1,1),

n-BC=0

设二面角S-BC-A为8,则|cosq=2j■卜等■，易知二面角S-BC-A为锐角，则

6=45。.

（2）设M（x,y,z）,SM=ASC>0”<l,则M卜2尢64石（1-%）），A（1,O,O）,8（0,石,0）,

a-1,0,0）,AM=（-22-1,同6（1-初，BD=（-l,-V3,0）

由4M♦80=2/1+1-3/1=0,解得4=1,矛盾，故不存在.

22

22.已知椭圆・+£=1（4>6>0）的左右顶点为A、8,右焦点为凡C为短轴一端点，ABC

的面积为26,离心率为g.

（1）求椭圆的标准方程：

⑵过点尸的直线交椭圆于M,N两点（异于A,B）,直线AM与6N的交点为Q

①求证：Q点在定直线上；

②求证：射线F。平分NMFB.

【正确答案】（1）《+广=1

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（2）①。点在定直线x=4上，证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；

（2）①设直