2023-2024学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷三（含解析）

2023.2024学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（三）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z=五，贝ijz在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若（1+看尸的展开式中共有n个有理项，贝!|ri的值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知函数f（x）的导函数[（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）有最小值

B.函数/（x）有最大值

C.函数f（x）有且仅有三个零点

D.函数/（x）有且仅有两个极值点

4.已知函数”乃是定义在R上的奇函数，且也“工210,+8）,有（％1-％2）火匕）一"&）]<0成立，若代1）=

一1,则关于X的不等式|/（乂-1）|41的解集是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[-1,1]D.[1,2]

5.已知等比数列也工的公比为q,且q*1,记”=的的.…（71=1,2,3,…）,则“的>0且q>1"是气"}

为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：会营=1的一部分绕其

虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm,瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花

瓶的瓶口直径为（）

A.16y/~2cmB.24cmC.32cmD.8y/~2cm

7.已知角a,/?G(0,7r),且sin(a+S)+cos(a—S)=0,sinasinp-3cosacosp=0,则tan(a+£)=()

A.-2B.—C.~D.2

8.已知数列;，J,%I，I，i......其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与

1121231234

分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项

是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为册，则满足册=5且n>20

的n的最小值为()

A.47B.48C.57D.58

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均

收入提升状况.经统计，4县建档立卡人员年人均收入提升状况用饼状图表示，B县建档立卡人员年人均收

入提升状况用条形图表示，C县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122(百元)，方差为4,4B,C三县

建档立卡人数比例为3：4：5,则下列说法正确的有()

A.A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122

B.B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6

C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元

D.C县精准扶贫的效果最好

10.如图，在棱长为2的正方体力BCD-AB'C'D'中，M,N,P分别是C'D',CC',

A4的中点，贝4()

A.D',P,M,N四点共面

B.PN1BD

C.直线PD'〃平面BMN

D.三棱锥P-MNB的体积为2

11.已知圆。：/+y2=4和圆C：(x—3)2+(y—3)2=4,P,Q分别是圆0,圆C上的动点，则下列说法

正确的是()

A.圆。与圆C有四条公切线

8.仍(2|的取值范围是[3。一4,3/1+4]

C.直线x-y-2=0是圆。与圆C的一条公切线

D.过点Q作圆。的两条切线，切点分别为M,N,则存在点Q,使得4MQN=90。

12.已知函数f(%)=2nx,g(x)=xa(x>0,a0),若存在直线Z,使得，是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的

公切线，则实数a的取值可能是()

A.jB.\C.2D.3

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量五=(2,0)1=(1,1),则向量a在向量至上的投影向量的坐标为.

14.已知边长为4、2的正方形4BC0的四个顶点在球。的球面上，球。的表面积为100兀，则四棱锥。-4BCO

的体积为.

15.将函数〃久)=asinx+bcosx(a,bGR且b*0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已大口数列｛a^｝，两足：a1=1,cin+i=2a”+M—1.

(1)证明数列｛即+n｝是等比数列，并求数列｛。"的通项公式；

(2)若数列｛g｝满足勾=乡三，求数列出“｝的前n项和治.

un-r71

18.(本小题12.0分)

在锐角△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac.

(1)求证：B=2A；

(2)设△力BC的周长为x,求?的取值范围.

19.(本小题12.0分)

北京冬奥会之后，多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参

(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X

为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行

了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”,在

集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为/每个动作互不影响且每轮测试互不

影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮

测试？

20.(本小题12.0分)

如图、四边形4CC1&与四边形8CG&是全等的矩形，AC1BC,44i=24C,P为441上的点.

(1)若P为441的中点，求证：平面PB1G1平面PB】C；

(2)若直线与平面4CC/1所成角的正切值为|,求平面CPBi与平面PB1G夹角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知抛物线Ci*=4y的焦点F也是椭圆/=l(a>b>0)的一个焦点，的与C2的公共弦长为2c.

(1)求椭圆C2的方程；

(2)过点F作斜率为k的直线，与g交于48两点，与C?交于C，。两点，且就与前同向.

⑴当直线/绕点F旋转时，判断△。48的形状；

①)若MC|=\BD\,求直线，的斜率.

22.(本小题12.0分)

己知函数f(x)=ex+a+cosx—sinx.

(1)当a=0时，讨论f(x)在(0,+°o)上的单调性；

(2)当x>0时，/(%)>0,求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为z=对应点为&Y),在第四象限.

Z+1(Z+l□□'55，

故选：D.

利用复数除法运算求得z,然后判断出z在复平面对应的点所在象限.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】C

11r

【解析】解：因为(1+m)6展开式的通项公式为G+1=4.(x§)r=嚎=0,1,…,6，

当且仅当r=0,3,6时，W为整数，可得A，A，片为有理项.

故选：C.

根据二项展开式的通项公式结合有理项的定义运算求解.

本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

3.【答案】A

【解析】解：由函数图象可知/(幻、f(x)的变化情况如下表所示：

X(-00,-1)(-14)(L3)(3,+8)

「(X)—+—+

/(X)77

由上表可知/(无)在(一8,-1)和(1,3)上分别单调递减，在(一1,1)和(3,+8)上分别单调递增，

函数的极小值分别为/(一1)、/(3),其极大值为f(I).

对于A选项：由以上分析可知，(x)]mm=min{/(-l)，/(3)}，即函数f(x)有最小值，故A选项正确；

对于B选项：由图可知当X-+8,有/(x)—+8,即/(x)增加得越来越快，

因此当X-+8,有f(X)T+8,所以函数/(x)没有最大值，故8选项错误；

对于C选项：若有"-1)<0,/(3)<0,则由零点存在定理可知函数/(无)有四个零点，故C选项错误;

对于。选项：由上表及以上分析可知函数f(x)共有3个极值点，故。选项错误.

故选：A.

根据/'(X)的图象判断出f(x)的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点，考查了转化思想，属中档题.

4.【答案】B

【解析】解:vx1(x2e[0,+oo),有每一孙)国*1)一/(孙)]<0成立，可知/(X)在[0,+8)上单调递减,

又因为f(x)在R上是奇函数，所以在R上单调递减，

由/(1)=-1可得/(-1)=一/(1)=1,故|f(x-l)|Wl,得一1Wf(x-l)W1,

即/'(l)Sf(x-l)1),得一IWx-lWl,所以04xW2.

故选：B.

由题意得函数的单调性，利用单调性结合已知函数值，解绝对值不等式.

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：①当q=2时，则a?==1,”=%£12=A，二充分性不成立，

②若｛〃｝为递增数列，则/-=即=。「qnT>1522),则内>0,q>0,

1n-1

当为>0,0<q<l时，则0<qn-1<1,则％•q"T<1可能成立，

当4>0,q>l时,则qnT>1,则即•qn-i<1可能成立，

当%>1,0<q<l时，则0<qn-i<i,贝Ij%•q"T<1可能成立，

当%>1,q>IHj,则q"T>i,则％.qn-i>1恒成立,

劭>0且q>1是｛稣｝为递增数列的必要不充分条件.

故选:B.

利用举实例判断充分性，利用等比数列的通项公式、充要条件的定义判定必要性.

本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm,所以a=4.

设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r,则

所以今―今=1,解得r=4/2,故该花瓶的瓶口直径为2r=8/2cm.

4b

故选：D.

求出a=4,设出M(r,b),代入双曲线方程，求出r=4。，得到直径.

本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解："sin(a+j?)+cos(a-/?)=0,

sinacosp+cosasin^+cosacosfi+sinasin^=0,

.sinacos0+cosasinfl_1

cosacosj^+sinasin/?

.tana+ta邛_】

,•1+tanatan/?’

sinasin^—3cosacos(i=0,

・•・sinasinp=Scosacos^,

八c/t、、tana+tanp

.-.tanatanp=3,代入….侬=A

得Cana+tanp=-4,

lana+tcm0

故tan(a+/7)=

1-tanatan/?

故选：D.

由两角和与差公式化简后求解.

本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数关系的应用，是中档题.

8.【答案】C

【解析】【分析】

m+1—x广m+1

将数列的项分组,设满足n>20的a=5首次出现在第m组的第x个数的位置上，结合=5,x=—

nXo

x,mew*,由此列式”•也+*220,求得m27,由此能求出满足与=5且n220的n的最小值.

本题考查数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，合理分组，从而列出相应等式或不等式关

系，考查运算求解能力，是中档题.

【解答】

解：将数列分组为G),(|,|),O

设满足n>20的a”=5首次出现在第m组的第x个数的位置上,

则％匚=771+1一

±15,x=­T—,%,me/V,

X6

(771—1)771

此时数列共有项数为1+2+3H—+(zn—1)4-x=+%>20,

2

即得方的+陪220,解得加之上守，

Zo3

12<1±^<20,...m>7,

333

％WN,・,.符合条件的m的最小值为11,此时％=2,

O

二满足an=5,且n220的n的最小值为若①+2=⑴一｝"+2=57,

故选：C.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于44县建档立卡人员年人均收入提升的均值为京=123x^+114xi+121xi=121.

故A错误；

对于B：B县建档立卡人员年人均收入提升的均值为需=115x10%+117X20%+119X50%+123x

20%=119,

B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为够=(115-119)2x0.1+(117-119)2x0.24-(119-

119)2X0.5+(123-119)2x0.2=5.6,故9正确;

对于C：该地区建档立卡人员的年人均收入提升：(121x3+119x4+122x5)=120.75百元，故C

正确；

对于O：4县建档立卡人员年人均收入提升的方差为sg=[(123-121)2+(114-121)2+(121-

121)2]=17.7,所以方>民>京，s2<sV<sg,故精准扶贫的效果最好，故。正确；

故选：BCD.

对于4利用均值公式求解；对于2：先求得平均数，再利用方差公式求解；对于C：利用均值公式求解；

对于利用平均数和方差判断即可.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：易知P。'与MN为异面直线，所以。'，P,M,N不可能四点共面，故4错误；

由PN//4C,而4clBD,所以PNJ.BD,故8正确；

由PD'//BN,BNu平面BNM,PD'<t平面BNM,所以PZ)7/平面BNM,故C正确；

由PD7/平面BNM,所以％_BMN=VD，_BMN=%“，MN=|x|xlxlx2=1,故力正确.

故选:BCD.

对于4根据四点所在线是否是异面直线可判断四点是否共面；对于B，根据垂直的传递性判断；对于C,

根据线线平行证明线面平行；对于。，根据等体积法先对所求三棱锥进行简化.

本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A,由题意可得，圆。：/+y2=4的圆心为。(0,0),半径万=2,圆C：。-3)2+

(y-3产=4的圆心C(3,3),半径左=2,因为两圆圆心距|OC|=>2+2=6+七，所以两圆外离，

有四条公切线，4正确；

对于选项2,|PQ|的最大值等于|OC|+七=3C+4,最小值为|。。|一七一七=3。一4,B正确;

对于选项C,直线x-y=2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：

y=x,设直线为y=x+t,则两平行线间的距离为2,即提=2,故y=x±2，9，故C不正确；

对于选项D,易知当NMQN=90。时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|=2c时，乙MQN=90。，故D

正确.

故选：ABD.

利用两个圆的位置关系，判断公切线的条数，利用直线与圆的位置关系判断即可.

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的位置关系的应用，是中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：设直线，为曲线/(%)=在点处的切线，

由/(X)=/X，得/''(X)=->则(01)=

:.I：y—lnxr=—%i),即y=^-x4-lnx1—1；

设直线，为曲线9(%)=>0,aH0)在点(%2,9。2))处的切线，

由g(x)=xa,得g'(x)=axa-1,

・・・I：y—%2=(%—xf),即y=a%尸%4-(1—a)xf-

_

由题意知Jxi,由％i>0,%2>0,可知Q>0,

,lnx1—1=(1—a)%2

-1

由一=a%2>可得a％i=—Ina—(a—l)lnx2,

将其代入，n%i—1=(1—a)%2»可得(a—l)(/nx-xa)4-Ina4-1=0,

令h(x)=(a-l)(Znx-xa}+Zna+1,则九(%)在(0,+8)上有零点,

a

令m(x)=Inx—xf则M(%)=,a>0,x>0,

令n/(x)>0,解得0<x<；；令m，Q)<0,解得x>；；

疝da

■■m(x)在(0，；)上单调递增，在(；，+8)上单调递减，

aaaa

当a>l时，h(x)在(0,4)上单调递增，在(；，+8)上单调递减，

aada

且九(；)=(a-l)(Mni-^)+fna+1=3(l+?a)>0,

aS.

当％T+8时，/l(x)->-00,故九(%)在(0,+8)上恒有零点，从而Q>1恒成立；

当Q=1时，/l(X)=1,无零点，不成立；

11

当0<a<l时，无。)在(0，-i)上单调递减，在(F，+8)上单调递增，

aada

且当％T+8时，h(x)T+8,

则以;)=(a-l)(;lni-^)+/na+l=;(1+Ina)<0,解得0<a<~.

aae

综上所述：实数a的取值范围是(0,曰U(1,+8).

结合选项可知，实数a的取值可能是号2,3.

故选：ACD.

分别设出直线1与两曲线的切点坐标Ql，/(Xi)),(%2应(尤2))，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意

得到(a—l)(/nx—xa)+Ina+1=0,记h(x)=(a—l)(/nx—xa)+Ina+1,zn(x)=Inx—xa,分类讨论

a与1的大小关系，利用导数与函数的单调性结合零点存在性定理分析求解.

本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】(1,1)

【解析】解：由5=(1,1)，得U1+1=。,

a=(2,0),b-(1,1).

又目不=2xl+0xl=2.

所以向量立在向量右上的投影向量的坐标为整•[=石=(1,1).

|0|\0\

故答案为：(14).

根据投影向量的求法求得正确答案.

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

14.【答案】32

【解析】解：边长为4、2的正方形ABCD的四个顶点在球。的球面上，球。的表面积为100兀,

设球。的半径为R,则S球=4兀/?2=lOOrr,解得R=5,

由题意可知。4=0B-0C=0D=R=5,

.•.四棱锥。一4BCD为正四棱锥，

设顶点。在底面4BCD的射影点为0',则。'为正方形4BCD的中心，

AO'=^AC=^x8=4,

贝ij。。'_1_平面力BCD,所以。0'=VAO2-AO'2=V52-42=3.

2

四棱锥0-ABCD的体积为%TBCD=I-SABCD00'=1x(4<2)x3=32.

故答案为:32.

由球的表面积公式求出球。的半径R,由题意可知。4=。8=0C=。0=R=5,从而四棱锥。一ABC。为

正四棱锥，由此能求出四棱锥。-4BCD的体积.

本题考查球的表面积公式、四棱锥体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.【答案】

【解析】解：将函数f(x)=asinx+bcosx(a,beR且b丰0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，

得到函数g(%)=/(jx)=asin|x+bcosjx(a,h6R)的图象，

再将所得图象向左平移衿单位长度后，得到函数/i(x)=g(x+?)=asin(x+g)+bcos^x+^)(a,beR),

因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以有h(0)=asing+bcosg==0，

解得看=-O.

故答案为：

先将横坐标伸长为原来的2倍得出g(x)=asin^x+bcos^x,再将所得图象向左平移/个单位长度得到函数

LL0

/i(x)=asin+bcosg(x+»最后应用奇函数的性质求参数关系即可.

本题主要考查函数丫=45讥(3%+租)的图象变换，考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】门

【解析】解:由图可知：C(0,2),C'(0,-2),M(3t,0),N(3,2-2t).

当t=0时，则交点为C；当t=l时，则交点为A.

当0<t<l时，则如“=怖，心=一季

于是可得了=枭-2,LN：y=-£+2,

联立上式可得点P的轨迹方程为1+4=1(%>0,y>0).

94

又点A,C满足方程卷+£=1,故点P的轨迹方程为9+£=1(%>O.y>0).

、汪=3cos氏Qus否m.|J|3cosJ+4sin6-10|1=15s坑(6+中)-10|3

法一：设b=2s讥J则-----居-----八-ftancp=-,

当sin(6+9)=1时，距离最小，最小为d=15

Vr5

法二：点P的轨迹方程为：y+^=l(x>0,y>0),与刀+2丫-10=0无公共点.

设直线zn平行于直线％+2y-10=0,则直线m的方程可以写为％+2y-n=0,

%+2y—n=0,

由方程组//消去工,得25y2-16几y+4n2-36=0.

令其根的判别式d=0,得n=±5.

由图知，当71=5时，直线x+2y—5=0与9+?=l(xN0,y20)的公共点到直线x+2y—10=0的距离

最小，

即两平行直线x+2y-5=0和x+2y-10=0之间的距离，

所以最小距离为d=笄詈=C.

V5

故答案为：AA-5.

由已知条件求出P点轨迹方程，设点求点P到直线X+2y—10=0的最小距离，或利用平行于直线％+2y—

10=0的切线求点P到直线x+2y—10=0的最小距离.

本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

17.【答案】(1)证明：由题意：电詈1=泡*严=驾誉.=2(常数)，

UJITTIUfi~rnUJJ~rn

且+1=2W0,

则数列口九+九｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以册=2x2nt—n=2n—n.

(2)解：由(1)可得：3=§三=竽，

UJITTlL

则s=b+b+b+---+b=A-+4+4+…+

n123nZZZ乙

、日

TT41r=1*1/1c1352n-3,2n-l

两边同乘5得：5szi=”+/+尹+・・・+下「+5干"，

作无法差但得1$c.=1尹,+2尹,+2尹,+…+,广2一2n尹-l=51+,—^--尹2n-l=53-尹2n+3，

所以Sn=3-竽.

【解析】(1)根据题意结合等比数列的定义和通项公式运算求解；

(2)由(1)可得bn=需，利用错位相消法运算求解.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法，主要考查学生的理解能

力和计算能力，属于中档题.

18.【答案】证明：(1)在锐角AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2—a2=ac,

由余弦定理得济=a24-c2-2accosB,所以ac=c2-2accosB,a=c—2acosB,

由正弦定理得sMA=sinC-2sinAcosB=sin(4+8)-2sinAcosB

=sinAcosB+cosAsinB—2sinAcosB=cosAsinB-sinAcosB=sin(B—4),

因为△4BC为锐角三角形，所以Ae(0,》B—4e(4

所以4=B-A,即B=24；

解：(2)由(1)知B=24则C=比一4-B=兀-34

又△4BC为锐角三角形,则4B,Ce(0,»得AC蜀》

设△ABC的周长为久，

.|Xa+b+csin3A+sin2A,.sin2AcosA+cos2AsinA+2sinAcosA,

则m/~—+1=-----------肃-----------+1

2sinAcos2A+cos2AsinA4-2sinAcosA,..

--------------------------------------+1=4cosz7A4+2cosA4,

sinA

46(*》,cos46(亨,子)，结合二次函数单调性易知在(?，?)上单调递增，则2+吃＜4cos2A+

2cosA<3+\/-3

即;的取值范围为(2+。,3+＜3).

【解析】(1)由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证;

(2)先由角的关系得出B=24。=兀一34再结合正弦定理可得;=4COS24+2COS4,最后结合二次函数

值域得出范围.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,

又因为参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所,

则P(x=o)=管/P(X=1)=器=4%=2)=警=卷，P(X=3)=1

一30r

所以X的分布列为：

1,n3,n16

-+lx-+2x-+3x-=-;

(2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为p=C貂7・|+C招＞=

小明在n次测试中获“优秀”次数f满足;〜8(弭松),

要使小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次,

则—nN5,解得nN苧笈19,286,

所以理论上至少要进行20次测试.

【解析】(1)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出相应的概率，即

可得到X的分布列，再利用期望公式求出E(X)的值即可；

(2)利用二项分布的期望公式求解.

本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了二项分布的期望公式，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：由题意知AC，BC,

又因为四边形BCCiB］为矩形，得CglBC,且Cgn4C=C,4Cu平面4CC1&,Cgu平面aCCiA，

所以BC_L平面ACCiZi，

又CPu平面4CCp4i，

所以BC1CP.

因为"i=24C,点P为AAi的中点，

所以AC=AP,

所以乙4PC=：,

同理乙I1PC1=%

所以4cpe1=今即PC11CP.

又由于BC〃4&

所以BigJ.CP,且PC】nBig=C「

又PC]U平面PBig,Bigu平面PBiCi，

所以CP，平面PBiG，

又因为CPu平面PBiC,

所以平面PB]Ci_L平面PBiC.

(2)由(1)知,BC1平面力CC/i，

又BC“B\C\,故凡■平面4CBi4,

所以C#是直线B]P在平面力CCi4内的射影，

所以NBiPCi就是直线BiP与平面4CC14所成的角，即tan/BiPCi=|,

即£i£i=1

即Pg5，

设=2,则41cl==1,PC1=l，PA1=VPC1-A^=/

又由(1)知,AXCVCrCCi两两垂直,

以Cl为原点，C1C,C1B]，的4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则C(2,0,0)0(0,1,0),P©,0,1),C[(0,0,0),

则取=(2,-1,0),取=

设平面PB1C的一个法向量为万=(x,y,z),

m-B[d=2x—y=0

则一E4,

m•B1P=-%—y4-z=0

令％=3,则y=6,z=2,即沆=(3,6,2),

设平面PBiCi的一个法向量为元=(a,b,c),中=G，O,1)，U屏=(0,1,0),

n-CB=b=0

则11

n•C\户=+c=o'

令a=3,则b=0,c=—4,即诂=(3,0,—4),

设平面CPBi与平面Pag的夹角为氏可知的为锐角,

ZJ_I沆•元I____________1___________1

===

所以COSMJ32+62+22.J-；2+（_4）2^

故平面CPBI与平面PBICI夹角的余弦值为表.

【解析】（1）先证明CP，平面PB16,再由面面垂直的判定得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面CPB］与平面PB1Q的法向量，利用向量的夹角公式得解.

本题考查空间中垂直关系的证明，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解

能力，属于中档题.

21.【答案】解：（1）依题意，。2=炉+1,①

又g与的公共弦长为2，石，且Ci与都关于y轴对称，

所以公共点的横坐标为土

代入/=4y可得纵坐标为|,

所以公共点的坐标为（±门,|）,

则白+/=