2023年高考全国甲卷数学(理)真题（原卷版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1设集合A={x|x=3k+1,左£Z},B={%|x=3k+2,左wZ},0为整数集，为（4与）=

A.{x\x-3k,kGZ}B.{x\x=3k—l,kGZ}

C.{x|x=3k-2,keZ]D.0

2.若复数(a+i)(l-ai)=2,aeR,则。=(

3.执行下面的程序框图，输出的5=（

（开始）

n=n+1

/输出B/

4.向量同=忸|=1,卜|=0,且a+/>+c=o，贝！lcos〈a—c,〃一2〉=()

5.已知正项等比数列{%}中，q=1,S〃为{叫前〃项和，S5=5S3-4,则$4=（）

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A.0.8

7.“sin2a+sin2尸=1”是“sina+cos/=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不充分条件也不是必要条件

22

8.已知双曲线二-1=1（。>0,6>0）的离心率为石，其中一条渐近线与圆（X—2）2+（y—3/=1交于A,

ab

B两点,则|AB|=（）

1逑

A.-D.--------

55丁

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连

续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

10.己知/（尤）为函数y=c（42x+g]向左平移四个单位所得函数，则丁=/（力与丁=!兀—’的交点个

I6J622

数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD为正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45°,贝U,PBC的面

积为（）

A.2A/2B.3亚C.4&D.50

22§

12.己知椭圆=耳，工为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点，cosN《Pg=《，贝U|PO|=

（）

A2R同r3n735

5252

二、填空题

13.若y=（x-l）2+ax+sin[x+|J为偶函数，则。=.

-2x+3y<3

14.设尤，y满足约束条件（3x-2y«3,设z=3x+2y,则z的最大值为.

x+y>l

15.在正方体ABC。-A4CR中，E,尸分别为CDA用的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为.

16.在ABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC=46,。为上一点，为/B4c的平分线，则AT>=

三、解答题

17.已知数列｛。“｝中，％=1，设S”为｛a.｝前〃项和，2Sn=nan.

(1)求｛4｝的通项公式；

\a+11

(2)求数列的前〃项和北.

18.在三棱柱A3C-4用。］中，A4=2,AC，底面ABC,ZACB=90°,&到平面5CC1用的距离为1.

(1)求证：AC=AC；

(2)若直线Ad与8耳距离为2,求A与与平面5CC4所成角的正弦值.

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组

(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数并完成下面2x2列联表：

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据：

k。0.100.050.010

P(严次)2.7063.8416.635

20已知直线x—2y+l=。与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A3两点，且|A8|=4而.

(1)求P；

(2)设C焦点、为F,M,N为C上两点，MF-N户=0,求AAGVF面积的最小值.

一八，/、sinx(c无、

21.已知/(x)=ax---—,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,讨论人元)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

四、选做题

%=2+teasa

22.已知尸(2,1),直线/:〈G为参数)，a为/的倾斜角，/与无轴，y轴正半轴交于A,B两