2023-2024学年上海市高二年级下册期中数学试题 (三)（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区高二下学期期中数学试题

一、填空题

1.写出直线x+l=0的一个法向量是

【正确答案】（1,0）（答案不唯一）

【分析】直接根据直线法向量的定义得到答案.

【详解】直线x+l=0的一个法向量是（1,0）.

故（1,0）

2.函数y=的驻点是

【正确答案】x=0

【分析】依据驻点的定义计算求解.

【详解】令了=/=0,解得x=0.

故答案为.x=0

3.已知过点4-2,町和8（机,4）的直线与直线2x+y-l=0平行，则，〃的值为.

【正确答案】-8

【分析】直线AB与直线2x+y-l=0平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.

【详解】•.•直线2x+y-l=Q的斜率等于-2,

二过点力（-2,⑼和8（也4）的直线的斜率也是-2,

由斜率公式得如=上^=-2,解得加=-8,

故答案为-8.

本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.

4.三层书架，分别放置科技书籍12本，经济类书籍14本，建筑类书籍11本，从中取2本

书，且各类只能选1本，有种不同选法

【正确答案】454

【分析】分为三类：科技书和经济书，科技书和建筑书，经济书和建筑书，计算得到答案.

【详解】分为三类：科技书和经济书，科技书和建筑书，经济书和建筑书.

则共有12x14+12x11+11x14=454.

故454

5.过抛物线V=4x的焦点作直线交抛物线于yi),8(X2，w)两点，如果x/+x2=6,则

1盟=.

【正确答案】8

【分析】先确定抛物线中P=2,焦点/(1,0),再利用定义计算|/用=芭+%+2，即得结

果.

【详解】抛物线V=4x中，P=2,焦点P(l,0),而直线48过焦点F(l,0),

故根据抛物线定义可知|/阴=|/尸|+|尸8|=(玉+5)+卜+5%1+%+°=6+2=8.

故8.

6.已知函数〃力=/+2/(2)》+3,则/")的值为.

【正确答案】-4

【分析】将/'(2)作为常量对/(x)求导，得到导函数，再将/'(2)作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知:f'(x)=2x+2f'(2),

"(2)=2x2+2八2),解得/'(2)=-4.

故答案为.-4

丫2v2

7.双曲线土-匕=1的渐近线与圆(》-3)2+/=r2&>0)相切，则r=___

63

【正确答案】6

【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出

r.

【详解】解：双曲线的渐近线方程为>=士丧X,即x±0y=O,

I2I

圆心(3,0)到直线的距离"=J(何+]=杷,

r=y/3■

故答案为由.

本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式.解答的关键是利用圆

心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系.

8.已知函数》=/（x）在x=2处的切线斜率为左，且工“2+“上/色/,则

hT8h

k=_____________

【正确答案】-1

【分析】根据k=iim〃2+”/（2-〃）计算得到答案

hT92h

【详解】lim；八2+〃）一八2一力）一，则Im/（2++"叫_

A->oohATOO2h

故-1

9.已知动圆P过定点4-3,0）,且在定圆8:（x-3炉+产=64的内部与其相内切，则动圆P

的圆心的轨迹方程为.

【正确答案】—+^=1

167

【分析】设切点为“，根据题意，列出点P满足的关系式即

\PA\+\PB\=\PM\+\PB\=\BM\^.则P点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求P点的

轨迹方程.

【详解】解：设动圆P和定圆B内切于点〃，

动点P到定点4-3,0）和定圆圆心5（3,0）距离之和恰好等于定圆半径，

即|尸川+|PB|=|PM\+\PBHBM|=8>6,

.••点P的轨迹是以A,B为两焦点,半长轴为4的椭圆，

b=y/42-32=y/7>

二点尸的轨迹方程为《+片=1,

167

故答案：—+^=1.

167

10.已知R上的可导函数/（x）的图像如图所示，则不等式（--2》-3）/'（》）>0的解集为

【正确答案】（-8,-1）3-1,1）“3,+8）

【分析】根据图像得到当x<-l时，"(x)>0,当时，/''(x)<0,x>l时，"(x)>0,

代入计算得到答案.

【详解】根据图像：

当x<-l时，/^(x)>0,(x2-2x-3)f'(x)>0,即/-2》-3>0,故X<-1；

当时，/,(x)<0,(x2-2x-3)f'(x)>0,BPx2-2x-3<0,故

当x>l时，/^(x)>0,*-2x-3)/'(x)>0,即X2-2X-3>0，故X>3；

综上所述.xe(f,-l)U(-l』)U(3,+⑹

故(7,-1)3-1,1)"3,内)

II.当直线y=x+6和曲线x=没有公共点，则实数6的取值范围为

【正确答案】b<-6或b>\

【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解.

【详解】由》="了的/+/=1"20为如图所示的半圆，

要使直线y=x+6与曲线x=JT了没有公共点，

则或6>1，

故答案为：b<-6或b>l.

12.过点尸(2,1)任意作一条直线分别交x轴、V轴的正半轴于点M、N,若

|0叫+|0时-|脑7区加(,〃€11)恒成立，则打的最小值为

【正确答案】2

根据切线长相等，将问题转化为OWN内切圆半径的最大值的求解问题；由图形关系可知P

为切点时内切圆半径最大，由此构造方程求得进而得到结果.

【详解】作OMN的内切圆，设其半径为r,则|0〃|+|0川-|也川=2r，

由10M+|OAT|-|A^|<m知.〃?川。A/|+|CW卜|)n,”=2卜)耐

若P不是切点，则|CP|>r,.■.当P为切点时，厂取得最大值公

设C&,%),贝IJ|CP『=&-2)2+《-1)2=为2,整理得：^-6ro+5=O,

解得：5=5或4=1,

当9=5时，圆C不是OMV的内切圆，不合题意，.：9=1，即％«=1，

：.m>2,即，”的最小值为2.

故答案为.2

关键点点睛：本题解题关键是能够利用转化与化归思想，将问题转化为OMN内切圆半径

的最大值的求解问题，进而通过图形关系确定半径取最大值时需满足的条件，构造方程求得

结果.

二、单选题

13.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法

有（）

A.10种B.20种C.25种D.32种

【正确答案】D

【分析】由分步乘法原理计算.

【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为2,=32.

故选：D

14.若直线/过点（3,0）与双曲线43-9/=36只有一个公共点，则这样的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】C

【详解】解：当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3）,代入双曲线方程化简得（4-9k2）

x2+54k2x-81k2-36=0

要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，

•*.4-9k2=0,或△=（）（不成立），解得k=±§

当直线斜率不存在时，直线为x=3,此时与双曲线也只有一个公共点，

故这样的直线有3条，

故选C

15.设函数“X）的导函数/（X）图像如下图所示，则函数/（x）的图像可能是（）

【正确答案】D

【分析】由导函数的正负与函数的单调性的关系判断，再通过/'(x)=0的根，从而确定答

案.

【详解】由导函数的图像可知，函数歹=/(x),先减再增，再减再增，可排除选项A,C；

,

又知/'(x)=0的根为玉<0,0<々<x3,,xe(x1,x2),/(x)>0,y=/(x)单调递增，

工«工2/3),/'(“<0-=/(》)单调递减,且9>0为卜=/河极大值点，所以可排除选项B.

故选:D.

16.已知曲线C的方程是1-凶］(3

十+y------8>给出下列四个结论:

y)

①曲线C与两坐标轴有公共点；

②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形;

③若点尸，。都在曲线C上，则|P0|的最大值是6枝;

④曲线C围成图形的面积大小在区间(40,44)内.

所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③C.②③D.②④

【正确答案】C

【分析】画出函数图像，根据图像得到①错误，②正确，忙。|的最大值是相对的两圆心的距

离加上两个半径，计算得到③正确，计算得到S>44,④错误，得到答案.

【详解】当x>0,y>0时，(x-iy+(y-l)2=8；

当x>0,y<0时，(x-iy+(y+l)2=8；

当x<0,y>0时，(x+l)'+(y-l)2=8；

当x<0,y<0时，(x+l1+(y+l)2=8；

圆半径r=2a，画出图像，如图所示:

对①：曲线C与两坐标轴没有公共点，错误;

对②：曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，正确;

对③：点尸，。都在曲线C上，则|尸。|的最大值是相对的两圆心的距离加上两个半径，即

^/(1+1)2+(1+1)2+2厂=2近+=6贬,正确；

对④：(》-1)2+5-1)2=8与》,歹轴的一个交点分别为(5/7+1,0),(0,^+1),△08C中,

2^2片区，灯、

1

.-sinZ.OCB»sinZOCB=———>—,Z.OCBe—,TI,

sin—42J

4

AOCB<—,ZACS>2n-2x—=—,

333

'2K、

S>4%,c+S》c+最“2=41+近+*>4(1+2+8)=44,错误.

\7

故选：c

三、解答题

17.求下列函数的导数:

sinx

(D/(x)=

x2+2x

(2)/(x)=e3vln(2x+4)

cosx(x24-2xj-sinx(2x+2)

【正确答案】（）（力=

1/'2

x2+2x)

(2)/,(x)=3e3vln(2x+4)+

x+2

【分析】直接利用求导公式计算得到答案.

,、cosx(x2+2x)-sin2x+2)

［详解］(1)/'(x)=-')J—L

X+2x(X2+2X)

(2)〃x)=e”ln(2x+4),/(x)=3e3vln(2x+4)+e3x^—=3e3,ln(2x+4)

2A,+4xI2

18.己知直线/1：2x+y+8=0和4：x+V+3=0,

(1)求与//与/2距离相同的点的轨迹；

(2)过//与/2交点作一条直线/，使它夹在两平行线》7-5=0与x-y-2=0之间的线段长为

后,求直线/的方程.

【正确答案】(1)(20-石)x+(五-科卜+8/1-03=0或

(2五+掂')x+(6+后)y+8&+3后=0

(2)工+2歹+1=0或2%+”8=0

【分析】(1)设点尸(xj)满足到两直线的距离相等，则化简得到答

V22+12Vi2+i2

案.

(2)计算直线交点为(-5,2),排除直线斜率不存在的情况，设直线方程为y=%(x+5)+2,

计算交点坐标，根据两点间距离公式计算得到答案.

【详解】(1)设点尸(x,y)满足到两直线的距离相等，则

即后|2x+y+8卜6卜+y+31,

即收(2x+y+8)=«(x+y+3，(2V2-V5)x+(V2-V5)+#5=0,

或&(2x+y+8)=-V3(x+y+p,(2后+石1+(五+y+8/2+3/3=C,

2x+y+8=0x=-5/、

(2)x+y+3=。’解得「=2，故直线交点为(-5,2),

当直线/的斜率不存在时，线段长度为3,不满足;

故设直线方程为歹二%(x+5)+2,

5k+7

x------

了弋5产，解得./工，即交点”5k+710k+2

x-y-5=0\-k

片b

故直线方程为:

y=—;(x+5)+2,即x+2y+l=0,或y=-2(x+5)+2,即2x+y+8=0.

19•.已知点"(-2,0),N(2,0),动点P满足条件归根-|/训=2式.记动点P的轨迹为「

(1)求少的方程；

(2)若48是沙上的不同两点，O是坐标原点，求场.砺的最小值.

22

【正确答案】(1)y-^=l(x>0)；(2)2

【分析】(1)根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；(2)当直线

斜率不存在时，可求得力.关=2：当直线48斜率存在时，假设直线方程，代入少可

整理得到一元二次方程：根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率公>1；将万.瓦

利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合A?>1可求得方.赤>2;综

合两种情况可得所求最小值.

【详解】(1)­•\PM\-\PN\=2y/2<4=^fN\

二由双曲线定义可知：点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支

c-2,a=y[2,b2=c2—a2=2

22

W的方程为：三一5=1(%>0)

(2)①当直线Z8斜率不存在时，设直线48方程为：x=m(m>e)

22

此时力(团,JM)-2),B_2)OAOB=m-[ni-2)=2

②当直线Z8斜率存在时，设直线Z8方程为：y=kx+h

代入双曲线方程可得：(1-〃卜2-2女打一(从+2)=0

△=4公〃+40_尸）仅2+2）>0

2kb八

可知上式有两个不等的正实数根不,诙%+々=-2>0

-b2-2八

XyX.=---->0

1-1-A-2

解得:k2>\

UULUUI

2

/.OA•OB=xxx2+y}y2-x1x2+（g+，）（仇+6）=俨+1卜］々+kb^xi+x2）+6

二仅2+2)(r+1)2k汨2=2k2+2二_4_

k2-\1-k2k2-\2k2-\

由公＞i得：.•.方.方=2+不二＞2

综上所述，宓的最小值为2

本题考查根据双曲线的定义求解双曲线方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；

易错点是忽略双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求

式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范

围求得最值.

20.设。＞0,已知函数/(x)=(x-2y-ox.

⑴若/'(3)=1,求实数”的值;

(2)求函数y=/(x)的单调区间;

(3)对于函数y=/(x)的极值点看,存在占(王二/)，使得/(xJj/Xx。)，试问对任意的正数

a，再+2%是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【正确答案】(1)2；

(2)递增区间是(TO,2-J"),(2+J,+oo),递减区间是(2一岛2+日；

(3)是定值，为6.

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，再由给定导数值求出“值作答.

(2)探讨导函数大于0或小于0的不等式的解集即可作答.

(3)求出极值点不，再根据给定等式求出A，代入芭+2%计算判断作答.

【详解】(1)由/(X)=(X-2)3-OX,xeR,求导得fr(x)=3(x-2)2-a,则由/'(3)=3-a=1,

解得。=2,

所以实数〃的值是2.

(2)a>0,由/'(x)=3(x-2)2-a=0,解得x=2-祗或x=2+1,

当x<2《或x>2+左时,f'(x)>0,函数〃x)单调递增，

当2《<x<2+左时，八x)<0,函数〃x)单调递减，

所以函数/(X)单调递增区间是(70,2--)，(2+J&X0),递减区间是(2—「2+百.

(3)因为函数〃x)存在极值点%,由(2)知：a>0,且/于2,

因为/(%)=(%-2)3-欧0，/(再)=(再-2)3-叫，又为石)=/(%),

33

得(X]-2)-ax,^(x0-2)-ax0,即(演一工())[(占-2)2+(*-2)(x()-2)+(%-2)2-a]=0,

2

因为Xiwx(,,则(X|—2)2+(X,—2)(x0—2)+(x0—2)—a=0,

依题意，/'(%)=3(%-2)2-a=0,即a=3(x。-2>,

2

因此(再一2)2+a-2)(x0-2)-2(XO-2)=0,即[(x,-2)-(x0-2)][(x,-2)+2(x0-2)]=0,

亦即(XI-X0)(X1+2X0-6)=O,而X|HXo，因此％+2x1>-6=0,

所以对任意的正数a,士+2%为定值6.

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过

程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

21.如图所示，由半椭圆G；[+4=l(”0)和两个半圆G：(x+lp+K=l(共0)、

4b~

g:(x-l)2+/=l(y20)组成曲线C：尸(x,y)=0,其中点4、4依次为G的左、右顶点，

点8为G的下顶点，点耳、8依次为G的左、右焦点.若点耳、月分别为曲线C2、