中考数学复习《梯形问题》专项测试卷(带答案)

第页中考数学复习《梯形问题》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．2．已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．3．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．4．如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？5．如图（1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14，0），B（11，4），C（3，4），点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．（1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？（3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值6．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（12，0），点D的坐标为（8，4），动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．（1）求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；（2）设顺次连接OCFE，设这个封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围；（3）求当t为何值时，以O、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？7．如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=﹣x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A﹣B﹣O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求点A与点B的坐标；（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（30，0），B（24，6），C（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．当这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；（用t表示）（2）当点Q在CB上运动时；①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？②是否存在实数t，使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，顶点D在x轴的负半轴上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，对角线BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直线AB的解析式；（2）若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，当一点到达终点时，另一的也随之停止运动．设线段朋的长度为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式；（请直接写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为A’P，当t为何值时，A’P∥CD，并通过计算说明，此时以为半径的ΘP与直线QH的位置关系．11．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由_________形变化为_________形；（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上．设AQ=x，矩形PQMN的面积为y．（1）求等腰梯形ABCD的面积；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面积最大时，将△PQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P’，请判断此时△BMP’的形状．14．如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（﹣1，5）．（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留π）；（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点．15．如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．16．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内．（1）求点E的坐标；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连接PN．设PE=x．△PMN的面积为S．①求S关于x的函数关系式；②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．（1）求此二次函数的解析式；（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．18．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）23．现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．24．某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积y（cm2）与x（cm）（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成y取最大值时的设计示意图；（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．25．如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD，那么这样的点P叫做四边形ABCD的等积点．（1）如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点，那么这样的四边形叫做等积四边形．①请写出你知道的等积四边形：_________，_________，_________，_________，（四例）②如图（2），若四边形ABCD是平行四边形且S△ABP=8，S△APD=7，S△BPC=15，则S△PCD=_________．（2）如图（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直线l为等腰梯形的对称轴，分别交AD于点E，交BC于点F．①请在直线l上找到等腰梯形的等积点，并求出PE的长度．②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点，并画图表示．26．如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．（1）求正方形的边长；（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．27．已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上（如图示）（1）求该二次函数的解析式；（2）P为线段AB上一动点（A、B两端点除外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x，求出l与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由．28．如图1所示，直角梯形OABC的顶点C在x轴正半轴上，AB∥OC，∠ABC为直角，过点A、O作直线l，将直线l向右平移，设平移距离为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线．（1）求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；（2）如图3，矩形ODEF的两边OD、OF分别落在坐标轴上，且OD=4，OF=3，将矩形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设矩形ODEF的顶点O向右平移的距离为x（0＜x＜7），求矩形ODEF与梯形OABC重叠部分面积S与x的函数关系式．（3）当平移距离x=_________时，重叠部分面积S取最大值_________．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．参考答案1．已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）依题意，得，解得，故所求抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，∵在Rt△ABE中，AE=OA﹣OE=6，BE=OC=8，∴AB==10．解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，∵OA•BE=AB•OF，∴OF==8，DH=OF=4，∴S=AP•DH=t×4=2t（0≤t≤10）；解法二：∵=，S△ABD=AD•BE=×5×8=20．∴=，∴S=2t（0≤t≤10）；（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，S梯形COAB=（BC+OA）•OC=×（4+10）×8=56，（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S△APD=S梯形COAB，得OD•y=×56，解得y=，由S△APD=AP•DH=t×4=14，得t=7．此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO﹣x）2+y2=AP2，即（10﹣x）2+（）2=72，解得x=，即在7秒时有点P1（，）满足题意；（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S△APD=S梯形COAB，得AD•y=×56，解得y=，此时t=10+4+（8﹣）=16．即在t=16秒时，有点P2（0，）满足题意；综上，在7秒时有点P1（，），在16秒时有点P2（0，）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．2．已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．解答：解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：，解得k=，b=4，因此BC所在直线的解析式是y=x+4；（2）过D作DE⊥OA，则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，则DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，则四边形OPDC的面积为16，S△COD=8，∴S△POD=8，即•t×7=8，得t=；（3）分三种情况①0＜t≤8，（P在OA上）S三角形OPD=t②8＜t≤18，（P在AB上）S三角形OPD=S梯形OCBA﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t（此时AP=t﹣8，BP=18﹣t）③过D点作DM垂直y轴与M点∴CM=3，DM=4，CD=5，∴∠BCH的正弦值为CP长为28﹣t∴PH=22.4﹣0.8tS三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC=×4（22.4﹣0.8t）﹣8=﹣t；（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，则CM=OA=8，AM=OC=4，∴MB=6．∴在Rt△BCM中，BC=10，∴CD=5，若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，且PQ∥CD，∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，设BP=x，则PA=10﹣x，∴，化简得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．3．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3∴AB=①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4﹣t过Q作QH⊥AP于H点．由QH∥BO，得∴即（0＜t＜4）②当4＜t≤5时，即P由A向O运动时，AP=t﹣4AQ=tsin∠BAO=QH=，∴=；综上所述，S△APQ=；（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，∴cosA===，当0＜t＜4∴即当4＜t≤5时，=，t=﹣16（舍去）∴；（3）存在，有以下两种情况①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．则有BM=QN，由PE∥BQ，得，∴；又∵AP=4﹣t，∴AN=，∴，由BM=QN，得∴，∴；②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P点由题意知∵OP+AP=OA，∴∴t=，∴OE=，∴点E（0，﹣）由①②得E点坐标为（0，）或（0，﹣）．（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AE∴；②当P由A向O运动时，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=∴t=54．如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？解答：解：（1）∵tan∠OBA==，∴OA=OB•tan∠OBA=8×=6，则A的坐标是（6，0）．∵OB=4OC，∴OC=OB=2，则C的坐标是（﹣2，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，则解得：，则抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣8；（2）抛物线的顶点的横坐标x=﹣=2，纵坐标是：y=×22﹣×2﹣8=﹣．则P的坐标是：（2，﹣）．S四边形OAPB=S梯形ODPB+S△APD=（8+）×+×（6﹣2）×=40；（3）当0＜t≤2时，S△OMN=×4t×2t=4t2；当t=2时，S最大，最大值为16；当2＜t＜3时，BN=4t﹣8，AN=10﹣（4t﹣8）=18﹣4t．作NQ⊥x轴于Q点，则=，∴NQ=．∴S△OMN=×2t×=﹣t2+t；当t=时S最大，最大值为；当3≤t＜4时，MN=△OAB的周长﹣4t﹣2t=24﹣6t．作OQ⊥AB于Q点．∵S△OAB=OA×OB=AB×OQ，∴OQ==．∴S△OMN=××（24﹣6t）=﹣t+；当t=3时S最大，最大值为．综上所述，在整个运动过程中，当t=时S△OMN最大，最大值为．5．如图（1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14，0），B（11，4），C（3，4），点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．（1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？（3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值解答：解：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，且B（11，4），C（3，4），∴∠CGO=∠BHA=90°，OG=3，CG=4，AH=3，BH=4，BC=8，∴△CGO≌△BHA，∴OC=AB，在Rt△OGC中由勾股定理，得OC2=OG2+CG2，∴OC2=32+42，∴OC=5，∴AB=5，∵点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，∴当运动时间为4时，OE=8，∴OE=BC，∵BC∥OA，∴四边形COEB是平行四边形．（2）如图2，设t秒时四边形COEF是直角梯形，∴OC+CF=3t，OE=2t，CF=GE，∴3t﹣OC=2t﹣OG，∴3t﹣5=2t﹣3，解得：t=2．（3）假设运动t秒后，四边形COEF是菱形，∴CF=OE=CO=5，∵OC+CF=3t=10，0E=2t=5，∴t=而t=，∵∴不存在符合条件的t．当F的速度每秒4个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，而E点的速度不变，F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形．∴由题意，得4t﹣5=5，∴t=，∴OE=2×=5，∴CF=CO=EO=5，∴当t=时，四边形COEF是菱形．改变后F的速度为：10÷=46．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（12，0），点D的坐标为（8，4），动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．（1）求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；（2）设顺次连接OCFE，设这个封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围；（3）求当t为何值时，以O、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？解答：解：（1）当三点C、E、F在同一直线上时，△EAF∽△EOC，则可得：解得t=2即当t=2时，三点C、E、F在同一直线上（2）由已知得S=S△EAF+S梯形AOCF=+=+4t+24自变量t的取值范围为0＜t≤4；（3）分3种情况：当OF=EF时，AO=EA，则t=4当OF=OE时，OF2=OE2，则（4+t）2=42+4t2解得t=当EF=OE时，EF2=OE2，则（4+t）2=t2+4t2解得t=所以t的值为：4或或．7．如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．解答：解：（1）由题意，当t=1s时，P点坐标为（25，0），E（0，1），根据A，B坐标已知可求出直线AB的方程l：x+y=28，由图形可知点F与点E的纵坐标都为1，把y=1代入x+y=28中，解得x=27，所以F（27，1），梯形OPFE的面积S=（EF+OP）×OE=26，∴当t=1时，梯形面积是26；（2）设t=t0时，由图可知P（28﹣3t0，0），E（0，t0），F（28﹣t0，t），则梯形OPFE的面积s=×（EF+OP）×OE=×（28﹣t0+28﹣3t0）×t0=﹣2（t0﹣7）2+98，当t0=7时s有最大值，则最大值为98，当t=7时，梯形OPFE的面积最大，最大为98；（3）由题梯形OPFE的面积等于△APF的面积，则有S△APF=×AP×h=×（3t）×t，由（2）知道梯形OPFE的面积的表达式，可得：﹣2（t﹣7）2+98=×（3t）×t，即t=8，t=0（舍），此时P（4，0），F（20，8），∴PF=8．8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=﹣x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A﹣B﹣O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求点A与点B的坐标；（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）令y=﹣x+3=0，解得x=4，∴点A的坐标为（4，0）；令x=0，得y=﹣×0+3=3，∴点B的坐标为：（0，3）；（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4﹣t∴即：解得：AQ=t=，QP=，∴S△APQ=AQ•PQ=××=；（3）存在，有以下两种情况①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．（4）连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AB∴t=当点Q由点B向点O匀速运动，即5＜t＜8时，△OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5＜t＜8时也符合条件．综上①、②、③所述，所有符合条件的t的值是t=5≤t＜8；②连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．当P由A向O运动时，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，QG=（5﹣t），OG=3﹣（5﹣t）在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=[（5﹣t）]2+[3﹣（5﹣t）]2∴t=59．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（30，0），B（24，6），C（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．当这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；（用t表示）（2）当点Q在CB上运动时；①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？②是否存在实数t，使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设直线OC的方程为y=kx，把C（8，6）代入方程得：k=，所以直线OC的方程为y=x，设Q（m，m），∵OQ=2t，根据勾股定理得m2+（m）2=4t2，∵m＞0，t＞0，∴m=t，m=t，则Q坐标为（t，t）；（2）①当点Q在CB上运动时，CQ=2t﹣10，从而点Q（2t﹣2，6），P（3t，0），当四边形OPQC为等腰梯形时，OD=EP=8，∴8+2t﹣10+8=3t，解得t=6（秒），则当t=6秒时，四边形OPQC为等腰梯形；②若存在实数t，使得四边形PABQ是平行四边形，则EP=FA=6，∴3t﹣（2t﹣2）=6，解得t=4（秒），而，解得5≤t≤10，t=4不属于此范围，所以假设错误，则不存在实数t，使得四边形PABQ是平行四边形．10．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，顶点D在x轴的负半轴上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，对角线BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直线AB的解析式；（2）若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，当一点到达终点时，另一的也随之停止运动．设线段朋的长度为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式；（请直接写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为A’P，当t为何值时，A’P∥CD，并通过计算说明，此时以为半径的ΘP与直线QH的位置关系．解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠C=∠CDB，∴BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∴AD=AB=10，在△BDO中，设OD=a，则OB=3a，在Rt△ABO中，（10﹣a）2+（3a）2=102，∴a=2，a=0（舍去），∴点A、B的坐标分别是（8，0），（0，6），设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=﹣，b=6，∴直线AB的解析式是y=﹣x+6．（2）由题意得：DQ=4t，AQ=10﹣4t，AP=5t，cos∠PAO===，在Rt△AQH中，=，∴AH=（10﹣4t），当P与H重合时，cos∠QAH=cos∠QAP===，解得：t=，①0≤t＜，y=PH=AH﹣AP=（10﹣4t）﹣5t=t+8；②＜t≤2，y=AP﹣AQ=T﹣8；综合上述：求得的解析式是．（3）如图1，当0≤t＜时，延长A′P与x轴交于点K，∵A′P∥CD，∴∠AKP=90°，在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，QK=AQ﹣AK=10﹣4t﹣4t=10﹣8t，在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，∴AP=5t，tan∠QA′K===，∴t=，此时，y=﹣×+8=，此时等于⊙P的半径，所以⊙P和直线相切；当＜t≤2时，点A′在x轴的下方，A′P与x轴交于点K，同理可求得：KQ=8t﹣10，sin∠A′=sin∠BAC==，∴t=，此时y=×﹣8=＞，所以⊙P与直线相离．11．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．解答：解：如图，（1）过G点作GM⊥BC于M，∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G为AB中点∴GM=（1分）又∵G，F分别为AB，AC的中点∴GF=BC=2（2分）∴S梯形DEFG=（2）×=6∴等腰梯形DEFG的面积为6（3分）（2）①能为菱形（4分）如图由BG∥DG′，GG′∥BC∴四边形BDG′G是平行四边形（6分）当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形此时可求得x=2，∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形（8分）②分两种情况1、当0≤x＜时，方法一：∵GM=，∴S▱BDG′G=∴重叠部分的面积为y=6﹣∴当0≤x＜时，y与x的关系式为y=6﹣（10分）方法二：当0≤x＜时，∵FG′=2﹣x，DC=4﹣x，GM=∴重叠部分的面积为y=（10分）2、当2时，设FC与DG′交于点P，则∠PDC=∠PCD=45°∴∠CPD=90°，PC=PD作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=∴重叠部分的面积为y=××（4﹣x）=x2﹣2x+8（12分）12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由等腰直角三角形变化为等腰梯形；（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．解答：解：（1）等腰直角△PMN，∠DAB=45°，∴∠PNM=∠DAB=45°，∴∠AEN=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，如图②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，∴四边形DENA是等腰梯形，故答案为：等腰直角三角，等腰梯．（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①），此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=x，∴y=S△ANE=AN•EH=x•x=x2，②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②），此时，AN=x（cm），可求得CE=BN=10﹣x，DE=4﹣（10﹣x）=x﹣6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=（10﹣4）=3，∴y=S梯形ANED=（x﹣6+x）×3=3x﹣9．答：y与x之间的函数关系式是y=x2（0＜x≤6）或y=3x﹣9（6＜x≤10）．（3）①当x=4（s）时，y==4，②当x=8（s）时，y=3x﹣9=3×8﹣9=15，答：①当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2，②当x=8（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是15cm2．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上．设AQ=x，矩形PQMN的面积为y．（1）求等腰梯形ABCD的面积；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面积最大时，将△PQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P’，请判断此时△BMP’的形状．解答：解：（1）过C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，∵DC∥AB，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，∴△CEB是等边三角形，∴BE=CE=2，∴AB=4，BF=EF=1，由勾股定理得：CF=，．（2）如图（2）：由题知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ为等边三角形，则PQ=x，∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，∴∠DPN=30°，又∠D=120°，∴∠DNP=30°，则DP=DN=2﹣x，作DE⊥PN于点E，在Rt△DPE中，DP=2﹣x，∠DPE=30°，则，∵DP=DN，DE⊥PN，则PN=，，∴y与x的函数关系式是y=﹣x2+2x．（3）由题意得，PQ=PN，∴，，∴当x=3﹣时，矩形PQMN是正方形．（4），当x=1时，，∠AQP=60°，∠PQN=60°，∠NQB=60°，∴P′在AB上，又QP=QP′=1，∴AP′=2，MP′=P′Q=1，BP′=2，过M作MH⊥AB于H，连接QN，∵MN=2，MQ=，∴由勾股定理得：QN=2，∠NQM=30°，∴∠MQB=60°﹣30°=30°，∴MH=，QH=，∴BH=4﹣1﹣=，由勾股定理得：BM=，在Rt△BMQ中，，∴△BMP′为直角三角形．14．如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（﹣1，5）．（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留π）；（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点．解答：解：（1）A（﹣4，1）；C（﹣9，5）；D（﹣6，1）；（2）形成的几何体的表面积为：2π×4×5+2π×4×2=56π；（3）设所求的函数解析式为y=（x﹣h）2，∴（﹣4﹣h）2=1，h=﹣5或﹣3，∴y=（x+5）2，y=（x+3）2；（4）把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，点A的横坐标为1，纵坐标为1，那么点B的坐标为（4，5），不在y=x2上，所以无论如何平移，都不能使得A，B，C，D四点都在抛物线上；设y=mx2，点A（1，a），点B（4，a+4），∴m=a，16m=a+4，解得m=，∴y=x2．15．如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．解答：解：（1）∵A（1，2）、D（3，2），∴AD∥OC，由两点间的距离公式可以求出OA=，DC=，∴OA=DC．∵AD=2，OC=4，∴AD≠OC∴梯形AOCD是等腰梯形；（2）∵M是AD的中点，∴AM=DM=1，∴M（2，2），由两点间的距离公式可以求出MO=MC=4．∵OC=4，∴OM=OC=MC=4∴△OMC是等边三角形，∴∠MOP=∠QCP=60°．∵∠MPQ=60°，∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°∴∠2=∠3，∴△OMP∽△CPQ∴∴（0≤x≤4）；（3）∵，∴，∴x=2时，y最大=3即MQ=3．当OP=3时，x=1，y=即，MQ=，∴当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4﹣3=1当2＜x≤3时，Q点运动路径长为∴当P点从O点运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长为个单位．16．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内．（1）求点E的坐标；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连接PN．设PE=x．△PMN的面积为S．①求S关于x的函数关系式；②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式．解答：解：（1）如图1，ED⊥OD与D点，∵AO=4，E为AO的中点，∴AE=2，∵∠AOC=60°∴ED=1，OD=∴E（1，）；（2）①当0≤x≤1时，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，过点P作PH⊥MN，垂足为H，由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°由E、F是AB、DC边的中点得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，∴PM=EG=在Rt△PMH中，sin∠PMH=，所以PH=PM•sin30°=∴S△PMN=PH•MN=×4×=，当1＜x≤4时，S=﹣，②若0≤x≤1时，S=，若1＜x≤4时，S=﹣∵﹣＜0，∴S随X的增大而减小，∴S不存在最大值，∴综上所述，当0≤x≤1时，S存在最大值，最大值为；（3）当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，这时重叠部分的面积即为直角梯形面积，y=×（2+3）×=（如图1），当2＜x≤4时，y=（E′H′+D′G′）•D′E′=×（4﹣t+5﹣t）×=﹣t+，当4＜x≤5时，DC=5﹣t，DE=∴y=DC•DE•DC=（5﹣t）××（5﹣t）=（5﹣t）2．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．（1）求此二次函数的解析式；（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．解答：解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C点坐标为（，3）．∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点，∴，解得；∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x．（2）作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．∵B点坐标是∴tan∠BOA==∴∠BOA=30°∴∠BOC=30°，∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，∴OA′与y轴的夹角是30°．又∵OA=OA′=2，∴A′的坐标是：（﹣，3）设直线A′B的解析式是y=kx+b根据题意得：则直线A′B的解析式是y=﹣x+．直线OC的解析式是：y=x．解方程组：解得：故Q的坐标是：（，）．（3）存在．因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；因为∠BOA=30°，所以ON=t，∴P（t，t）；作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：F（，t），D（，1）；要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1（舍），∴P点坐标为（，），∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．18．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过点C作CF⊥AD于F，由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，∴CF=，∴C（3，3），D（4，0），∴，解得：a=﹣1，b=4，c=0，∴所求的抛物线为y=﹣x2+4x；（2）①连接AE交OB于点G，把y=3代入y=﹣x2+4x，得：﹣x2+4x=3，解得：x1=1，x2=3，∴E（1，3），∴BE=1=OA，∵BE∥OA，∴四边形AOEB是平行四边形，∴当PC过点G（G为AOEB两条对角线的交点）时，PC把四边形AOEB的面积平分，∵OG=OB=，∴G（0，），∴C（3，3），∴直线CG为：，∴即直线PC为：；②存在满足条件的点P，由（1）知抛物线的对称轴为x=2，设P（2，y），对称轴交BC于点M，交x轴于点N，则M（2，3），N（2，0），∴PB2=PM2+BM2=（y﹣3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10，有三种可能，若∠PBA=90°，则PA2=PB2+AB2，∴y2+9=（y﹣3）2+4+10，解得y=，∴P（2，），∴AP==，此时△PAB外接圆的面积是：π×（×）2=π，若∠PAB=90°，则PB2=PA2+AB2，∴（y﹣3）2+4=y2+9+10，解得：y=﹣1，∴P（2，﹣1），∴BP=2，此时△PAB外接圆的面积是：5π，若∠APB=90°，则PB2+PA2=AB2，∴（y﹣3）2+4+y2+9=10，此方程无实数根，∴此时满足条件的点P不存在，综上所述，存在满足条件的点P，当点P（2，）时，△PAB外接圆的面积是π，当点P（2，﹣1）时，△PAB外接圆的面积是5π．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（﹣2，4）（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，图（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，因此DM=AM=2．因此D点的坐标是（2，2）．图（2），当OA=x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH=x﹣2．所以梯形AODH的面积=×（DH+OA）×DM=2x﹣2．△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：∠AQO=90°，又因为∠QAM=45°，因此AQ=QO=x，所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x2因此重合部分的面积y=S梯形AODH﹣S△AQO=2x﹣2﹣x2即：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（﹣2，4）．①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF=EP=2，因此（2）2=m2+（2﹣6）2，即m2+16=8，此方程无解，因此不存在这种情况．②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF=FP=2，因此（2）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0．当m=﹣4时，P点坐标为（﹣4，2）．PE==4=2EF，因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，因此此时P点的坐标应该是（0，2）．③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP=PF，因此m2+（2﹣6）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m=2．那么此时P的坐标为（2，2）．综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．解答：解：（1）根据题意，AB===6，∵2S△AOB=AB•OB=AO•BG，∴BG===4.8；（2）设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，∵BC∥OA，∴，即，解得OD=，过E作EH⊥OA于H，∵四边形ABED是等腰梯形，∴DH=AG===3.6，HG=BE=x，∴DH=10﹣﹣x﹣3.6=3.6，解得x=；（3）会同时在某个反比例函数的图象上．根据题意，OG=AO﹣AG=10﹣3.6=6.4，∴点E（6.4﹣t，4.8），∵OF=2t，∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，∴点F的坐标为（t，t）假设能在同一反比例函数图象上，则t×t=（6.4﹣t）×4.8，整理得：2t2+5t﹣32=0，△=25﹣4×2×（﹣32）=281＞0，∴方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，此时，t=，因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=．21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过点D作DE⊥BC于E，BE=AD=13，∵BC=16，∴EC=3，在Rt△DCE中，由于DC=5，则DE=，所以圆的直径为4厘米；（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒，所以PD=（13﹣t）厘米，CQ=2t厘米，所以四边形PQCD的面积为y=，即y=2t+26（0≤t≤8）；当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ﹣PD=2CE，所以2t﹣（13﹣t）=6，解得t=，这时y四边形PQCD=厘米2．（3）存在．若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16﹣2t，又得到QH=QB﹣HB=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t，PQ=BQ+AP=16﹣t，根据勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2，解得t1=4+，t2=4﹣，因为4+和4﹣都在0≤t≤8内，所以在t=（4+）秒或t=（4﹣）秒时，直线PQ与圆相切．22．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）解答：解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ，当x≤12时，SAQP=x×x=x2，当x＞12时，S梯形=SABP+S平行四边形=48+（x﹣12）×8，所以；（2）过C作CT⊥AD于T，过B作BH⊥AD于H，即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，∵BC∥AD，∴四边形CBHT是平行四边形，∴BC=TH=8，∵等腰梯形ABCD，∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，在△CTD和△BHA中，∴△CTD≌△BHA，∴CT=BH，DT=AH=（20﹣8）=6，由勾股定理得：CT=BH=8，S梯形=×（BC+AD）×CT=（8+20）×8=112，当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，即48+（x﹣12）•8=56，解之得，x=13．（3）如图所示，①过点B作BM∥PQ，由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，FN=AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积．23．现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．解答：解：（1）①当BC=x时，AB=CD=，y=x，即y=﹣x2+90x，当x=90时，ymax=4050答：当x=90cm时，y值最大，最大值是4050cm2．②过B、C点分别作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．设BC=x，y=（x2+360x+32400）=当x=60时，y=2700≈4676.5．答：当x=60cm时，y值最大，最大值是4676.5cm24676.5＞4050（8分）（2）正确方案：例解：当截面为半圆时，因为180=πr，所以其半径为r=，其面积为S=π（）2≈5156.6＞4676.5，面积更大．①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．24．某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形