【二元函数的极限及其应用探究6600字（论文）】

二元函数的极限及其应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u185321.引言 1286852.相关知识 198742.1有关定义 1282342.2相关符号说明 2258793.二元函数的极限 2282023.1二元函数重极限的基本性质 2152813.2重极限与累次极限的关系 4177393.3二元函数二重极限的一致收敛判别法 632324.二元函数极限的应用 766944.1在证明其他定理中的应用 7223234.2累次极限换序在求和极限中的应用 9324194.3讨论极限函数的可微性中的应用 10323135.结束语 1110421参考文献： 12引言在多元函数中二元函数的极限重要的部分，对其进行讨论的文献还有很多，极限的求法是其研究的方向，函数极限的关系[1]，函数极限和连续的联系，单个变量连续和函数连续的有关关系等[2]，有文献对函数的相概念对比,，获得了一元函数和二元函数的不同点。在书中，将重点放在了极限求法和几个问题上面，没有对极限性质和连续性质有总结，对其进行了总结。二元函数具有独特的性质，需要在一元函数性质的前提上，继续讨论函数的连续与极限的性质。探讨两个极限问题和单个变量连续性和连续性问题，便于掌握极限与连续性。相关知识2.1有关定义(1).二元函数平面内点存在法则使中的点通过法则对应，称为在E上的二元函数[3]，记为定义域.对的为在处函数值，记或。全体函数值的集合为的值域，记且中的坐标、称为的自变量称因变量。(2).二元函数中的重极限函数在有定义，是的聚点。若有实数对有:函数存在有限极限记:或极限叫重极限[4]。(3).二元函数中的累次极限设函数和为在x轴与y轴上对应投影，即，。为聚点.对每个，存在极限它与有关，记如还有极限为先后累次极限，记为[1]。因此，对它那么与有关，记还有称极限为先，后，记。2.2相关符号说明由于本文多次出现以下数学符号，故将这些数学符号做一简要说明，方便本文使用列出如下表格：表1符号说明符号表示R全平面点集E=平面点集g或g(p,q)二元函数A(p,q)E中任意一点(p,q)点A0(p0(p,q)点A0(p0或A点空心领域3.二元函数的极限本节介绍了二重极限性质和两种极限的关系。3.1二元函数重极限的基本性质(1)海涅归结原理定理1的充要条件:,若是的聚点,则有[3].证明:首先证明定理的必要性首先设且以为其聚点,那么，则有时,会有当时,对也会符合条件。则。其次对命题的充分性进行证明若那么有∃ε0，对，会有符合令,其中符合又把当作聚点，又因为把函数制约于上时，其为数列，那么便会有又因为右边对应的值不是，那么左边对应值也不是，这与已知有一点矛盾，假设不会成立，即。推论1设为聚点，如果不存在，那么也不存在。推论2如果D1,D2⊂E,共同的聚点，若存在，，但，则不会存在。推论3存在，其充要条件:对于中满足条件，的点列，所对应的都会收敛。唯一性定理定理2如果具有，其对应的极限只有一个。证明:令为函数在处对应的极限，那么对于，若,会使得，，使得。的任意性，知。局部有界性定理定理3如果则的某领域，使位于有界。证明：令，取其中,则有对有，也就是。那么结论是成立的。(4)局部保号性定理定理4如果，那么对于的对应的某个空心领域会对一直会有(或者)。证明：我们让，令,利用所学极限的定义:,所有会有所以有时侯,则有于此同时可知当时,有并且则令运用极限的定义会得到:对于,会有，所以当时，会有。3.2重极限与累次极限的关系二元函数定义了本文所叙述的两种极限，关于这两个极限也没有什么必然关系。对于这一点我们举例进行说明。例1判别存在累次极限和重极限。解：当动点沿一条直线逼近点的时候，。这个函数的极限值和的取值有很大关系。所以,在时，所对应的重极限将不会有，但是他的另一个累次极限:由上述可知两个累次极限存在但是重极限不存在在点。例2判别是否存在累次极限和重极限。解：函数的两个累次极限在本题中都不存在。有所以有.由此可知在点函数的两种极限都不存在。例3判断是否存在累次极限和重极限。解：累次极限:,，这两个值都不存在，也就是两个累次极限都没有，点按照X轴正向靠近时，没有值,也就是没有重极限。在点函数对应一个累次极限，且有重极限；例4判别是否存在累次极限和重极限。解：上面式子首先累次极限:没有结果。其次，有所以函重极限值并且为。这两种极限虽然表面上不存在什么关系，但是在某些时候某些情况下也是存在有一些联系的。(1)如果函数在点处有重极限和累次极限那么两个值一定会相等。推论:若①能求解出来并且为②如果在领域内，如果那么[5]。证明：根据①知道:对于有，又有时，得到根据②:对于在领域内,则会有对应的值，领域为。设若，在上面的式子中，让，可得到根据极限的定义可以推出:即。如果极限,与极限有，那么它们是相等的。如果极限，存在但是值不相同，那么极限肯定是不存在的。(4)若函数位于某对应领域有定义，符合以下条件:(=1\*romani)上，所有,那么有;(=2\*romanii)上面，有关一致的有存在也就是对于若情况的时候，对，仅需要，就会有成立。就会有[6]。证明:首先证明是存在的。，根据(=2\*romanii),,若,又有从而。当的时候,并且，则有。让，根据(=1\*romani)可知，根据有关定理得是存在的，设接下来证明对于由于根据(=2\*romanii)和前面的内容，若又有和十分接近的时候，便可得到将进行固定,根据(=1\*romani),若时侯，会有，所以。也就是所以有。3.3二元函数二重极限的一致收敛判别法在这里将比较复杂的二元函数的对应的极限问题转变为较为简单的一元函数的极限是否一致收敛的问题进行考察[7]。定理设f(x,y)在（0,0）点的某一去心领域内有定义，那么limx→0−y→0f(x,y)=A的充分必要条件是：当例1判别二元函数极限是否存在lim解：因为limr例2判别二元函数极限是否存在lim解：因为limr→0r4cos4通过转化可以将复杂的问题简单化，给大家提供了种种奇妙的解法，同时也给我们带来美的享受。4.二元函数极限的应用若函数在某点存在极限，可以看出某一动点沿数轴逐渐逼近该点所求的极限值，即为该点的函数值。同理，二元函数的累次极限可以看作先按照一条轴平行运动到该点的方向坐标，到达分量再改变方向沿另一轴做方向运动，所得的函数值即为极限值。4.1在证明其他定理中的应用我们可以使用累次极限与重极限的关系来证明数学分析中有关混合偏导数与累次极限这两个定理不同的证明方式[8]。定理1若二元函数f(x,y)在点（x0，y0）处的邻域内的一阶偏导数fx、(x,y),fy证明：由以上条件可知，以下的二阶偏导数是y存在的f==接下来要证明f==这样也存在且等于f设G(∆G(∆x,∆y)=f按照所给的条件有lim∆另外按照定理所给的条件知道一阶偏导数存在所以有limlim从而可以知道定理的推论条件都满足，所以有lim上面等式左端的极限为fxy``(fxy``定理2若有定义在矩形区域D=(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d上的二元函数f证：按照所给的条件，知道二重极限Df(x,y)dxdy存在，于是可以选取一组合适的分割，也就是用一组平行与X轴的直线和一组平行与Y轴的直线分割矩形区域D变为n*m个小矩形，D其中（αi,βj）∈∆δ设G(所以二重极限limϵI(x)=从而可知I(存在，于是有i=1存在，也就是limϵlim即lim即a最后得ab4.2累次极限换序在求和极限中的应用在学习数学分析的过程中，我们把定积分看作和式的极限，因此重极限的换序的问题在级数和积分的研究过程中有着重要的作用。命题1.若aij≥0命题2.设i=1∞j=1∞aij收敛，则例题.若级数n=0∞an收敛于s，且任意的x≥0，令g证明：因为g(x)为一个极限的结果，而且积分又是一个极限。因而可以利用极限的换序来解决问题。由假设n=0∞an收敛，序列x0所以有an1n!0又因为由g（x）关于x的一致收敛可以知道：0由从右端级数关于A的一致收敛的性质，在两边同时取A→∞0又由于0∞e−x4.3讨论极限函数的可微性中的应用在讨论极限函数的可微性中的应用时候，我们首先要了解对偶原理的定义。定理3若F（x,y）满足以下条件：limylimx则limy→y0F(x,y)关于x在x0的某个去心邻域内一致收敛的充分必要条件为注：在变化的过程中“y→y0”与“x→对偶原理在可微性上面的应用，我们可以思考：如果fn(x)在x=x0可导，是否存在f(x)是否在构造函数F(n,x)=flimnlimx→x所以上面的问题可以归结于F(n,x)关于n→+∞,x→limx→x注：这里给的结论与现在的教材的条件有所不同，在教材中要求fx(x)在x=xlimn类似与等度连续的定义，就可以把上述（2）的结论给了一个定义：定义若F(n,x)=fn(x)−lim关于n有一致收敛，那么称fn(x)在x=