正弦定理余弦定理应用举例距离高度角度

关于正弦定理余弦定理应用举例距离高度角度1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量:①距离问题、②高度问题、③角度问题、④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.第2页,共37页，2024年2月25日，星期天实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角第3页,共37页，2024年2月25日，星期天2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南600300450200ABCD点A在北偏东600，方位角600.点B在北偏西300，方位角3300.点C在南偏西450，方位角2250.点D在南偏东200，方位角1600.第4页,共37页，2024年2月25日，星期天3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离垂直距离坡面距离坡度（坡度比）i:垂直距离/水平距离坡角α:tanα=垂直距离/水平距离α第5页,共37页，2024年2月25日，星期天要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离?AB第6页,共37页，2024年2月25日，星期天方案一:构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BCC若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷吗?第7页,共37页，2024年2月25日，星期天

如图,设A,B两点在河的两岸.需要测量A,B两点间的距离,测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出AC=55米,

求A,B两点间的距离.∠BAC=45°,题型分类深度剖析题型一与距离有关的问题第8页,共37页，2024年2月25日，星期天如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。..AB..DC基线第9页,共37页，2024年2月25日，星期天

要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之间的距离.

分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.【例2】第10页,共37页，2024年2月25日，星期天解如图所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得第11页,共37页，2024年2月25日，星期天练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是

。ACB10海里60°75°答：海里解：应用正弦定理，C=45

BC/sin60

=10/sin45

BC=10sin60

/sin45

第12页,共37页，2024年2月25日，星期天

解：如图，在△ABC中由余弦定理得：A

我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB∴我舰的追击速度为14nmile/h【例3】第13页,共37页，2024年2月25日，星期天又在△ABC中由正弦定理得：≈0.6186B≈38013’故我舰行的方向为北偏东11047’A

我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？CB第14页,共37页，2024年2月25日，星期天

求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的距离测量方法.第15页,共37页，2024年2月25日，星期天AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。第16页,共37页，2024年2月25日，星期天解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法

题型二与高度有关的问题第17页,共37页，2024年2月25日，星期天练习1如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？第18页,共37页，2024年2月25日，星期天AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为.第19页,共37页，2024年2月25日，星期天例2.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°,则塔高为多少米

解析作出示意图如图，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，则BD=AD·tan∠BAD=第20页,共37页，2024年2月25日，星期天练习2

在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝75°，在塔底C处测得A处的俯角β＝45°。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β=1350,∠ABC=90°-α=150,∠BAC=α-β=300,∠BAD=α=750.根据正弦定理，第21页,共37页，2024年2月25日，星期天第22页,共37页，2024年2月25日，星期天练习3

如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=x，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

解在△BCD中，∠CBD=π-α-β第23页,共37页，2024年2月25日，星期天

解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,

逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.第24页,共37页，2024年2月25日，星期天它等于地球椭圆子午线上纬度1分（一度等于六十分，一圆周为360度）所对应的弧长。1海里=1.852公里(千米)(中国标准)nmile：海里，航海上度量距离的单位。没有统一符号第25页,共37页，2024年2月25日，星期天例1如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为10nmile的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°,时间精确到１min）北北ＡBC105°方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．题型三与角度有关的问题第26页,共37页，2024年2月25日，星期天北北ＡBC105°解：设舰艇收到信号后x

h在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：化简得：解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）第27页,共37页，2024年2月25日，星期天由正弦定理，得所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45°+21.8°=66.8°答：舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过４０min就可靠近渔轮．第28页,共37页，2024年2月25日，星期天练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。ABCM北北第29页,共37页，2024年2月25日，星期天解：在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：由BC=20,可求AC∴得AM=

≈8.97>8∴无触礁危险ABCM北北75

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第30页,共37页，2024年2月25日，星期天[例2].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A

nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10

nmile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以

10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,

问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D

处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.第31页,共37页，2024年2月25日，星期天则有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船.解:设缉私船用th在D处追上走私船，第32页,共37页，2024年2月25日，星期天如图.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝