2023届上海市曹杨二中高三年级调研考试四数学试卷

2023届上海市曹杨二中高三年级调研考试（四）数学试题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知过点P（l,l）且与曲线），=1相切的直线的条数有（）.

A.0B.1C.2D.3

22

2.已知双曲线C:=-4=l（“>0力>0）的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M

a'b-

点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）

A.75-1B.0C.y/3D.y[5

3.如图，A4BC内接于圆。，AB是圆。的直径，DC=BE,DC//BE,DC人CB,DC人CA,AB=2EB=2,则

三棱锥E-ABC体积的最大值为（）

4.已知片，乃是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的-一个公共点，且/耳设椭圆和双曲线的离心率分

别为et,e2,则6],e2的关系为（）

2+,=441,

y+2产2=4

134

c.-=4D.e；+3e，=4

5.如图，在AABC中，点/，N分别为C4,CB的中点，若AB=y^,CB=\,且满足3AG=CA?+CB?，

则AG-AC等于（）

W

A0

r-28

A.2B.J5C.-D.-

33

6.已知ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=O）O,BD=2DC,AE=EC,则（）

7.已知（1+x）"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）.

A.2'2B.2"C.210D.29

8.已知当m,nel-l,1）时，sin--sin—<n3-m3,则以下判断正确的是（）

22

k.m>nB.Im|<|n\

C./«<«D.加与”的大小关系不确定

9.已知函数/（%）=-，4113了+。+。（。>0,XQ1<）的值域为[-5,3],函数g（x）=8-coso¥,则g（x）的图象的对称

中心为（）

（k/r_Y,。（k兀兀A..

A.[5eZ）B.[+G，-5J（左eZ）

C.t-4卜eZ）D.仁+a_4）（壮与

10.已知集合4={-2,-1,0,1,2）,B={x\x2-4x-5<0},贝!JAM=（）

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,（）,1}D.{0,1,2}

11.在（1一为5+（1-幻6+（1-尤y+（i-x）8的展开式中，含V的项的系数是（）

A.74B.121C.-74D.-121

12.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成

样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A.方差B.中位数C.众数D.平均数

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x<3

13.若满足<x+，22,则目标函数z=y-2x的最大值为.

14.展开式中天3项系数为160,则。的值为.

15.设等差数列｛q｝的前〃项和为S.，若S.3=6,S7=28,则a“=_____,冬口的最大值是_____.

3”+4

16.“直线九分+y+l=O与直线/2：4》+做+3=0平行”是％=2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充

分”、"充分必要”或"既不充分又不必要

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中

随机抽取部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题:

（1）求a、b、C的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；

（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求

从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.

组号分组频数频率

第1组[50,60)150.15

第2组[60,70)350.35

第3组[70,80]b0.20

第4组[80,90]20C

第5组[90,100)100.1

合计a1.00

18.（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=0,AF=1,M是线段EF的

中点.

求证：（1）AM〃平面BDE；

(2)AM_L平面BDF.

（=2cosa

19.（12分）在平面直角坐标系九0y'中，曲线C：＜.’为参数），以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

y=sma

极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=-2sin氏

（1）求曲线G的普通方程和曲线的普通方程

（2）若P,Q分别为曲线G，G上的动点，求IPQI的最大值.

20.（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的，，天猫精灵，，智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵”的人，具体数据如下:

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人?

（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关?

n^ad-bcy

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.（12分）在平面直角坐标系直刀中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,

且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点（1,0）处时，下一步可行进到（2,0）、（0,0）、（1,1,）、（1,-1）这四

个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点。出发、行进〃步后落在）’轴上的不同走法的种数为L（〃）.

（D分别求“I）、“2）、"3）的值；

（2）求L（〃）的表达式.

22.（10分）在平面直角坐标系中，M为直线y=X-2上动点，过点作M抛物线C：V=y的两条切线MA,MB,

切点分别为A,B,N为48的中点.

（1）证明:轴；

（2）直线A3是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设切点为（x°,y°）,则y°=x03,由于直线]经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（X。,y°）（x°w0）,则k==x/X。+1,

又=3x2,二丫卜=x（）=3X（/,2x：-x0-1=（）,解得x0=],x0

.•・过点P（l,l）与曲线C:y=x，相切的直线方程为3x-y-2=0或3x—4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

2、A

【解析】

设加3/），则MF的中点坐标为（幺|上《），代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程,

求出工的值，即可得答案.

a

【详解】

22

双曲线CJ-提=1（。>0力>0）的右顶点为A（a,0）,右焦点为F（C,O）,

crb~

M所在直线为x=。，不妨设M（a,。），

.•.M尸的中点坐标为（彳,?）.代入方程可得（等）［3,

22----------------k=1

ab

=9,e2+—4=0>**•e=-s/5-1（负值舍去）.

4a24

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意

构造dc的齐次方程.

3、B

【解析】

根据已知证明8E1平面A8C,只要设AC=x,则BC=J亡m（0<x<2）,从而可得体积

222

VE.ABC=|xj4-x=1^X（4-X）>利用基本不等式可得最大值•

【详解】

因为DC=BE,DCUBE,所以四边形DCBE为平行四边形.又因为DC1CB,DC±CA,CBryCA^C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面A8C,所以应1平面ABC.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

设4C=x,则BC=，4-X2（O<X<2>

所以S»BC=；AC-BC=；X•日f,所

I____I________/2,A_2Y

以％-A8c二巨=—V，又因为父（4一%2）＜K+,当且仅当

66I2,

/（丫242、2

X2（4-X2）＜,即1=血时等号成立，

1

-

3-

故选：B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为X,

用建立体积K与边长x的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值.

4、A

【解析】

归耳|+|P闻=2%

设椭圆的半长轴长为4,双曲线的半长轴长为的，根据椭圆和双曲线的定义得:,解得

\PF\-\PF^=2a2

PF=q+a

}2然后在△耳p心中，由余弦定理得:

PF2=a]-a2

a

（4+4）+（4-2）-2（刍+4）,（刍一4），cos等化简求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为出,双曲线的长半轴长为

a2,

]P用+|P周=2%

由椭圆和双曲线的定义得:

'\PF\-\PF^=2a2'

解得倒KU）设gm，/"—?

在△KPF2中，由余弦定理得：4c之=（4+a2）'+（a,-一2（q+a2）■-a2）•cos春，

化简得3a；+a；=4c2,

故选：A

【点睛】

本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

5、D

【解析】

选取布，前为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.

【详解】

由题意G是AABC的重心，

2一———一1一一一1一一一

3AGMB=3x-AN(.-BM)=-2(BN-BA)--(<BC+BA)^(BA--BC)-(BC+BA)

-----212111

=——BC+-BABC^5——+-BABC

2222

CA+CB^(BA-BC)2+\^BA-2BABC+BC+l=^5-2BABC+l+\，

9|——.....——--____

：.-+-BABC=1—2BABC,而.正=1，

22

2-...............21--—————21——■>3———一，2138

AGAC=-ANAC--(-BC-BA)-(BC-BA)=-(-BC'--BCBA+BA)=-(一一2+5)=2，

3323223223

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明

确，易于操作.

6、C

【解析】

以区4,8C为基底，将AO,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

22

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

AE=EC,：.BE=gBC+gBA,

ADBE=(|BC-+|BA)

1211、2

=-BC——BCBA——BA

362

=1「——x2exe3xl—=—1.

622

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

7、D

【解析】

因为(1+x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C：=C，解得=10，

所以二项式(1+幻|°中奇数项的二项式系数和为:：.

考点：二项式系数，二项式系数和.

8,C

【解析】

由函数的增减性及导数的应用得：^/(x)=?+siny,xe[-l,l],求得可得/(x)为增函数，又阳，ne,1）时,

根据条件得/(加)</(〃)，即可得结果.

【详解】

解：f\x)=x3+sin,xe[-1,1],

贝!If(x)=3x2+Tcos->0,

即/(x)=/+sin卷,xe[—1,1]为增函数，

„,,兀ni.兀n33

又m,n&[-\,1),sin----sin——<n-m,

22

■r.兀m3.3

即sin----\-m<sin---\-n,

22

所以/(加)</(〃)，

所以相<〃.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题.

9、B

【解析】

由值域为[-5,3]确定a*的值，得g(x)=-5-cos4x,利用对称中心列方程求解即可

【详解】

因为/(x)eg,2a+句，又依题意知/(x)的值域为[-5,3],所以2。+8=3得a=4,b=T,

■jrK7E7T

所以g(x)=-5-cos4x,令4x=k/jkeZ),得x=*+J/eZ),则g(x)的图象的对称中心为

248

(dT(ZeZ).

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0

10>D

【解析】

解一元二次不等式化简集合B,再由集合的交集运算可得选项.

【详解】

因为集合4={-2,—1,0,1,2},8={w。-5)(》+1)<0}={刈-1<%<5}

.•.AnB={-2,-l,0,l,2}n{x|-l<x<5}={0,l,2},

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题.

11、D

【解析】

根据(1—4+(17)6+(17)7+(17)8,利用通项公式得到含*3的项为：(爆++窝+。；)(一王)3,进而得到

其系数，

【详解】

因为在(1—x)5+(1—x)6+(1—x)7+(1—x)8,

所以含V的项为:(管++隽)(一)3,

所以含V的项的系数是的系数是-(图+或+/+屐)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，

12、A

【解析】

通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.

【详解】

由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.

本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了5（）,所以（斗-£）2没有改变，

1__

根据方差公式S2=3（X「X）2++（4-》）2］可知方差不变.

O

故选：A

【点睛】

本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

案.

【详解】

x<3

由约束条件，x+y22作出可行域如图，

y<x

化目标函数z=y—2x为y=2x+z,

由图可得，当直线y=2x+z过点3时，直线在>轴上的截距最大,

x+y=2Ix=1/、

由《•得〈，即8(1,1),贝!|z有最大值z=l—2=—l,

[x=y[y=l

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:

(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的

目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14、-2

【解析】

表示该二项式的展开式的第项，令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.

【详解】

该二项式的展开式的第什1项为.+]=笳(ax2=(-lf-心-「笳-产-3厂

令12—3“3=r=3,所以。=(一1)3.a6-3cl-x12-3x3=-20a3%3，贝!J一20a3=160=a=-2

故答案为：-2

【点睛】

本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.

I

15、n-

7

【解析】

利用等差数列前“项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列｛%｝的通项公

a.+aa,+a

式，可求出」厂n的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出」厂n的最大值.

*\+4

【详解】

(1)设等差数列｛a,J的公差为d,贝!I;」c-“，解得,，

0=7q+21d=28[d=l

所以，数列｛。“｝的通项公式为%=q+(〃—l)d=〃；

d_〃(6+%)_〃(〃+1)/+♦“=2(1+”)

S'=一^~1S“+4一(〃+5)(〃+4)‘

4+_2t_2

令，=〃+l,贝！R22且/eN,s…—(r+4)1+3)——12+7,

t

由双勾函数的单调性可知，函数y=t+p+7在fe(0,26)时单调递减，在/e(26,+8)时单调递增，

a.+a1

当f=3或4时，气口取n得最大值为一.

S〃=47

故答案为：〃；—.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前〃项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

16、必要不充分

【解析】

先求解直线6与直线平行的等价条件，然后进行判断.

【详解】

“直线A：以+y+l=O与直线，2：4%+欧+3=0平行”等价于。=±2,

故“直线人依+丁+1=0与直线/2：4x+ay+3=0平行”是％=2"的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7

17、(1)。=100,。=20,c=0.20,口=0.5；(2)—

10

【解析】

(1)根据第1组的频数和频率求出。，根据频数、频率、。的关系分别求出4c,进而求出不低于70分的概率；

(2)由(1)得c=0.20,根据分层抽样原则，分别从3,4,5抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的5人编号,

列出所有2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即

可求解.

【详解】

152

(1)a=---=100,Z?=l(X)xO.2O=2O,c=----=0.20,

0.15100

由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：

p=0.20+0.20+0.10=0.5

(2)因为第3、4、5组共有50名学生，

所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：

202020

第3组：乂5=2人，第4组：，x5=2人，第5组：，x5=l人，

505050

所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人

设第3组的3位同学为Al、A2,第4组的2位同学为用、B2,

第5组的1位同学为C1,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:

(A1,A2),(Al,51),(Al,32),(Al,Cl),(A2,B1),(A2,B2),

（A2,C1）,（B1,B2）,（Bl,Cl）,（52,Cl）,

其中第4组的2位同学Bl、B2至少有一位同学是负责人有7种抽法,

7

故所求的概率为历.

【点睛】

本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.

18、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACCBD=N,连结NE.

孝，冬（）］,E（0,0,1）,A（V2.0，0），MfV272.

则N

2'2'

:.NE=AM且NE与AM不共线..,.NE〃AM.

VNEu平面BDE,AMcZYffiBDE,.,.AM〃平面BDE.

⑵由⑴知AM=c,A,I

VD（V2»0,0）,F（V2，后，1），ADF=（0.近,1）,

AM-DF'AMJIDF.同理AMJ_BF.又DFPBF=F,.\AM_L平面BDF.

19、(1)—+/=1,x2+(y+l)2=1；(2)逑+1

43

【解析】

试题分析：(1)由si^e+cos2a=1消去参数a,可得G的普通方程，由/+；/=P2,丁=0sin。可得G的普通

方程；

⑵设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，点P到曲线Q的圆心(0,-1)的距离d=＞卜ina—J+与，结合

since]—1』可得最值，|PQ|的最大值为4+「，从而得解.

试题解析：

2

(1)G的普通方程为3r+：/=1.

•；曲线C2的极坐标方程为p=-2sin。，

二曲线G的普通方程为炉+V=_2y,即f+(y+ip=].

(2)设P(2cosa,sina)为曲线G上一点，

则点P到曲线G的圆心(。,一1)的距离

d=^4cos2a+(sina+1)2=J-3sin2a+2sins+5=J-3卜ina-+-^■

.,.当sina=；时，d有最大值35.

又；P,Q分别为曲线G，曲线G上动点，

•••俨。|的最大值为〃+r=半+1.

20、(1)多2350人；(2)有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【解析】

(D根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小

爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵''的女性的人数，即可求得答案；

(2)根据列联表和给出的公式，求出K?，与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：(1)由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，

由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，

估计购买“小爱同学”的女性有喘?x55=7150人.

估计购买“天猫精灵'’的女性有"吧x40=4800人.

100

则7150—4800=2350,

...估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.

2

⑵由题可知，^=200X(45X40-60X55)=45II>384I>

105x95x100x100

.•.有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.

21、(1)"1)=2,"2)=6,"3)=20,(2)L(n)=C；,

【解析】

(1)根据机器人的进行规律可确定L(l)、L(2)、”3)的值；

(2)首先根据机器人行进规则知机器人沿x轴行进，〃步，必须沿x轴负方向行进相同的步数，而余下的每一步行进方向

都有两个选择(向上或向下)，由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于人〃的表达式,并得到L(")的表达式，然

后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.

【详解】

解：⑴"1)=2

"2)=6,

"3)=20,

(2)设，〃为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走加步才能回到)'轴上，所以

0,1,2，……,|,(其中［为不超过g的最大整数)

总共走〃步，首先任选步沿x轴正方向走，再在剩下的n-m步中选，〃步沿x