2023-2024学年湖南省怀化市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖南省怀化市高二上册期末数学模拟试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线X+氐-2=°的倾斜角为（）

A.30"B.60"C.120/D.150z

【正确答案】D

【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角.

【详解】由已知直线的斜率为-①，.•.倾斜角为150。，

3

故选：D.

22

2.己知椭圆冷+3_=1的一个焦点坐标为（0,2）,则左的值为（）

A.1B.3C.7D.9

【正确答案】B

【分析】根据焦点坐标确定。力，然后计算.

【详解】由题意/=9，〃=左+2，，9—（左+2）=22,k=3,

故选：B.

3.已知数列｛%｝满足％=2,。向=詈"，则数列｛%｝的前2023项的乘积为（）

A.-6B.1C.2D.3

【正确答案】D

【分析】由题知数列｛%｝是以％=2为首项，周期为4的一个周期数列，再根据周期性求

解即可.

【详解】解：因为4M二二1%

«GN+),

1+K

1一41

所以限

1」+%%

「明

所以《,+4=---=a„（MeN+）,

%+2

所以数列｛%｝是以q=2为首项，周期为4的一个周期数列，

因为q=2,

所以％=-3,«3=—,%=；，%=2,L,

所以0■■■=1,

所tA%,。2*。3'04L^2021°2022,%023~\'2*03=3>

故选：D

4.在平行六面体力3C。-44GA中，若48=力。=441=1,48_LZ。，且4］与

•••,［、

Z8、ZZ>所成的角均为60"，则%C［=（）

A.5B.&C.y/5D.y/6

【正确答案】C

'p""-UUUL

【分析】由表示出NG，然后平方把模转化为数量积的运算求解.

【详解】由题意/51%£；4方；4/：,

所以

2

=ZC「=（AB+AD+AAX）

▼▼"▼▼今▼▼八，▼八▼▼八▼'"八▼▼子

=AB-+AD+AA~^-2ABAD^2ABAA^2ADAA.

=l+l+l+0+2xlxlxcos600+2x1x1xcos60°=5,

,4'=技

故选：c.

5.双曲线C：/-t=i（a>o）的一个焦点与抛物线C2:/=8x的焦点重合，则双曲线离

a

心率为（）

A.#）B.76C.2D.3

【正确答案】C

【分析】由抛物线方程得焦点坐标，由离心率公式计算.

【详解】抛物线/=8x的焦点为（2,0）,即为双曲线的一个焦点坐标，

2

所以离心率为e——=2,

故选：c.

6.如图，在直三棱柱ZBC-/4G中，C4=CC1=2C8=2,/4C8=90”,则直线8G

「2753

D.-

55

【正确答案】A

【分析】以C为原点，C4,CG，C8为x,乃z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法

求解.

【详解】如图示，以C为原点，CA,CG，CB为X,y,Z轴正方向建立空间直角坐标系，则

C（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,0,1）,C,（0,2,0）,4（1,2,0）,5,（0,2,1）.

所以直线BQ与直线AB1夹角的余弦值为

H威砚等俳…才七…哼

故选：A

22

7.已知椭圆。：［+咚=1（4>6>0）的左、右焦点分别为耳,耳，上顶点为8,且

ab

tan/%g=Ji6,点P在。上，线段产片与交于0,80=20鸟.则直线产片的斜

率为（）

「V10

Vx.---

5

【正确答案】C

【分析】由6Q=20K，可求得。的坐标，结合已知，可求得直线尸片的斜率.

【详解】由已知乙（c,0）,耳（一c,0）,上顶点为例0,b）,tan/因此=?=而,

由80=2曲，知0为8马上靠近月的三等分点，

故选：C

8.如图，在X。平面上有一系列点片（项,凹）,鸟@2,%）,，勺（X",”），，对每个正整

数〃，点七位于函数=的图像上，以点鸟为圆心的厂只与x轴都相切，且「月

与「以4彼此外切.若西=1,且x“+i<x”（〃eN*）,7；=x,,x“+i，｛（,｝的前〃项之和为S“,

则品=（）

【正确答案】C

【分析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数了=1（x20）的图像上，求出递推关系式

X„-x„+1=2x„x„+1，通过构造等差数列求得］—1的通项公式，得出7；=!（不二一丁二

2〃一12〃+1

最后利用裂项相消，求出｛（,｝的前〃项之和为s“，即可求出跖.

【详解】因为「只与厂£山彼此外切，所以

22

）（当一%+1）2+（乂，一"+1）2=y,+K+1，即（X“一x”+J,+（K-K+1）=（K+K+1）-

222

所以（x“一天+J=（匕+”+J一（然—"+1）2=4州州+1=4x„x„+1.

11c

又＜x"(〃eN*),所以毛_x〃+i=2x,,x“+],所以^-----=2

Xn+]Xn

所以数列」-为等差数列，其中，=1,公差d=2,所以」-=l+（〃—l）x2=2〃一1,

玉x“

所以怎=•-----

”2«-1

11

所以《=5当+i=-----X------_______

2〃一12〃+1一12H+1)

所以S”=—11-—+---+n

"2(3352〃+1

1111

所以S”

2xll+l_23

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分.

9.已知圆&：/+3一。）2=9与圆G：（x—a）2+/=1有四条公共切线，则实数a的取

值可能是（）

A.-3B.-2C.2近D.2月

【正确答案】AD

【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.

【详解】圆G的圆心G（0,a）,半径（=3,圆G的圆心G（a，0），半径与=1.

因为两圆有四条公切线所以两圆外离，又两圆圆心距d=

二Jl|a|>3+1，解得a<-2后或a〉2，L

故选：AD.

22

io.设双曲线c：土-匕=1的左、右焦点分别为耳,不，点尸在c的右支上，且不与。的

94

顶点重合.则下列命题中正确的是（）

A.双曲线C的两条渐近线的方程是y=±gx

B.双曲线。的离心率等于巫

3

C.若PFJPF?,则XF\PF]的面积等于4

Q

D.若|咫|=2|「马，贝Ucos/百尸玛=]

【正确答案】BCD

【分析】本题根据双曲线的渐近线和离心率、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可

求解.

22

【详解】由双曲线标准方程知。=3,b=2,c=^a+b=V9+4=V13»阳月|=2万

A选项：知双曲线的渐近线方程为y=±gx,故A错误；

B选项：双曲线的离心率e=g=史，故B正确：

a3

C选项：由双曲线定义知归耳|一|「用=6,若尸耳_1尸鸟，则|尸片『+|尸入『=52,

即（I尸娟―归闾f+2|P6Hp周=52,即36+2陷H尸勾=52,得附卜归周=8,

所以=；|尸耳|•|尸月|=4,故C正确;

D选项:若归周=2|尸闾,则归用=6,|P用=12.在△耳P玛中,由余弦定理,

一忻居『144+36—52=8

得cosN片尸鸟故D正确;

2\PF,\-\PF2\2X12X6~9

故选：BCD

11.如图，已知二面角的棱/上有/,8两点，Cea,ACLI,De/3,BDVI,

若AC=AB=BD=2,CD=2近,则（）

B.二面角a-/一夕的大小为60。

C.三棱锥力—8CQ的体积为26

D,直线8与平面£所成角的正弦值为必

4

【正确答案】ABD

【分析】在给定图形中作出直线与CD所成角、二面角0-/一夕的平面角、直线CD与

平面6所成角，再逐一计算作答.

【详解】过/作4E//8D,且AE=BD,连接如图，

则四边形N8CE是平行四边形，即。E//48且=,NCDE是直线与。所成

角或其补角，

因4cL,BDA.I,则OE_LNE,DE_L/C,而ZEAC=A,ZE,/Cu平面NEC,

于是得DE平面AEC,

CEu平面/EC,即有。EJ_CE,cosNCDE=——=——=—,NCDE=45"，A正

CDCD2

确；

因即ZEJJ,而则NC4E是二面角a-/一〃的平面角，又

CE=DE=2,

因此，CE=AE=AC=2,即△4CE为正三角形，NCAE=6Q"，B正确；

因。E工平面AEC,DEu/3,则平面01平面AEC,在平面AEC内过C作C。_LZE于

O,于是得

CO=g/C=G，而s=^-AB-BD=2,V_=V_=\-CO-SABD

ABDABCDCABD="~，

C不正确；

连接Q。，因CO_L£,则NC。。是直线8与平面夕所成角，

•//sc_C0_百_#r>T施

sinZ.CDO==——=>D正.确.

CD2V24

故选：ABD

方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面

的垂线，再过垂足作

二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

12.“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0,3,6,12,24,

48,96,192,…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，

将这组数的每一项加上4,再除以10,就得到“提丢斯数列”：0.4,0.7,1,0,1.6,2.8,5.2,

10.0,则下列说法中正确的是（）

A.“提丢斯数歹广是等比数列

B.“提丢斯数列”的第99项为‘"十’

10

3x2却!?1

C.“提丢斯数歹6”的前31项和为+上1

1010

D.“提丢斯数列”中,不超过20的有9项

【正确答案】BC

0.4,n-1

【分析】根据题意得%=43-2"-2+4，由此利用等比数列的性质即可求出结果.

--------------,n>2

I10

【详解】记"提丢斯数列”为数列{%},则当〃23时，a=6-21+4=3-2’14,当〃

“1010

0.4,”=1

[I寸，a2=0.7,符合该式，当”=1时，[=0.4不符合上式，故凡32-2+4

--------------,n>2

10

3x297+4

故人错误；”，故8正确；”提丢斯数列”的前31项和为

"10

|+噂（2。+…+2"）+|x30=*+号，故C正确;人3・2~2+4

令------<--2-0,即

10

1OA

2H-2<—,得〃=2,3,4,5,6,7,8,又q<20,故不超过20的有8项，故。错误.

3

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.等比数列｛%｝的前n项和为S„=3n-'+r,则，•的值为.

【正确答案】

【分析】根据等比数列前〃项和公式的特点列方程，解方程求得「的值.

【详解】由于等比数列前〃项和S.=#-―-^—qn,本题中S.=r+、3",故

l-q\-q3

1八1

r+—=0,r=——.

33

故填.-g

本小题主要考查等比数列前〃项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.

14.如图，已知正方体43cz中，瓦厂分别为中点，AB=2,则4到

平面C.EF的距离是.

【分析】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则4(2,2,2),G(0,2,2),E(l,2,0),尸(0,1,0),

所以C£=(2,0,0),Ct£=(l,0,-2),£F=(-l,-l,O),

设平面££尸的法向量为我(x,y,z),

(x…,、

mC.E^-x-2z-0

则1X毋令z=l,则〃?=(2,-2,1),

tn-EF=-x-y=0

4

所以与到平面尸的距离是

3

4

故答案为•一

3

15.已知抛物线<7:/=2°双2>0）的准线方程为％=-2,在抛物线C上存在48两点关于

直线/:x+y—7=0对称，设弦的中点为阳，O为坐标原点，则|。"|的值为

【正确答案】5

【分析】先运用点差法得到"（3,4）,然后通过两点距离公式求出结果.

【详解】解：抛物线。:/=20工3>0）的准线方程为、=—2,

所以5=2,解得p=4,

所以抛物线的方程为V=8x,

设点/（X],M），S（x2,为），48的中点为〃（X0，%）,

则y,=8%,父=8X2,

两式相减得（凹-%）（%+%）=8（占-/），

必一乃_8=8

即人"

%一刀?必+为2%

又因为A,8两点关于直线/:x+y-7=0对称,

_^Lx（-i）=-i

所以,2%,

Jo+%-7=0

'x=3

解得「°,可得”（3,4）,

[外=4

则|OM|=732+42=5,

故5.

16.已知双曲线。的方程标-^=1,其左、右焦点分别是耳，鸟，已知点尸坐标为（4,2）,

双曲线。上点。伉,为乂%>0,先

径为r.则尸=；

【正确答案】①.2②.8

【分析】设。£鸟的内切圆与三边分别相切于。，旦G,利用切线长相等求得内切圆圆心横

坐标为“，又由L得尸在N。耳鸟的平分线上，进而得到产即为内心,

应用双曲线的定义求得面积差即可.

【详解】如图，设Q4g的内切圆与三边分别相切于。，瓦G,

由切线长相等，可得QD=QG,FQ=RE,F?E=F2G,

又双曲线定义可得。耳—。6=2。=8,

则QD+DF}_（0G+Gg）=DF\_GF[=EF\_EF2=Za,

又EF[+EF2=2c,解得EF[=a+c,

则E点横坐标为。，即内切圆圆心横坐标为a.

F3,u，“Ji口尸吸NSQ=尸但/尸片与

k'l可得|明=以|'

化简得cosNPF[Q=cosNPFFz,即/P片。=/尸片£，

即尸耳是/。耳鸟的平分线，

由于P(4,2),。=4,可得尸即为在;g的内心，且半径r=2,

则S&F、PO-S&F】PQ=I"。耳一Qg)=；x2x8=8・

故2,8.

关键点点睛：本题关键点在于先利用切线长定理求得。夕《内切圆圆心横坐标为。，再由

得到P在NQg的平分线上，结合P的横坐标为。进而得到尸即为

内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛%｝满足为=6，4=1°.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设等比数列｛2｝各项均为正数，其前〃项和北，若"=%，&=%，求7；.

【正确答案】(1)a„=2,1-2；(2)T„=2"-l.

【分析】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,根据题意得出关于q和d的方程组，解出这两

个量，利用等差数列的通项公式可求得数列｛。,｝的通项公式；

(2)设等比数列｛〃,｝的公比为式4＞0),求出/、旬的值，可得出关于4和4的方程组,

解出这两个量，再利用等比数列的求和公式可求得看.

q=0

【详解】⑴设等差数列｛q｝的公差为"，「+5d=io'解得＜

d=2

因此，数列｛%｝的通项公式为=6+(〃—1)[=2〃-2；

(2)设各项均为正数的等比数列｛4｝的公比为式彳＞0),

%=2〃-2,则%=4,%=16,

h-.=b,q=4伍=2\q=-2

%=4，&9=4,,A=4,々=16,即｛j,解得｛或｛(舍

也=如4=]6也=1%=1

去)，

,T=g=g=2T.

"1—q1-2

本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等比数列求和公式的应用，考查计算能力，

属于基础题.

18.已知抛物线/=2Px(p>0)的准线方程是x=-l,F是抛物线焦点.

(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：

(2)已知直线/过点/，斜率为2,且与抛物线相交于48两点，求|力用.

【正确答案】(1)焦点是尸(1,0),抛物线的方程为/=4x；

(2)5

【分析】(1)利用抛物线的准线方程，可求得夕=2,进而求得其焦点坐标及抛物线方程：

(2)联立直线与抛物线的方程，由韦达定理结合弦长公式即可求解.

【小问1详解】

抛物线准线为x=-1,因此p=2,所以抛物线的焦点是尸(1,0)

故抛物线的方程为V=4x

【小问2详解】

由题意可知直线/的方程为歹=2x-2,设Z(XQJ,8(X2，%)

y=2x-2

联立2,，整理得3x+l=0

y-4x

由韦达定理可得%+马=3，

所以|力却=为+%2+夕=3+2=5

19.如图1,在直角梯形力88中，AB//CD,ABLAD,且4?==1.现

2

以为一边向梯形外作正方形/0EE,然后沿边N0将正方形N0EE折叠，使

EDLDC，如图2.

DE,

£

F

F/B

图1图2

（1）求证：BC上平面BDE；

（2）求直线08和平面BEC所成的角的正弦值.

【正确答案】（1）证明见解析：

（2）也.

3

【分析】（1）证明出瓦），8c和8C_L8D,利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）以。为原点，为x,八z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求

解.

【小问1详解】

在正方形/。跖中，ED1AD，

因为ED_LDC,ADcDC=D,AD,DCu平面ABCD,

所以瓦），平面438.

BCu平面ABCD,：.ED1.BC.

在直角梯形为BCD中，AB=AD=1,CD=2,BD=6-

取C。的中点G,连接8G,则四边形/8G。为正方形，所以8GJ_CG,CG=1,

所以3C=yjBG2+CG2=Vl2+12=V2,

在△88中，BD=BC=6,CD=2,

所以BC?+BD?=DC?,故

因为E。8。=。,£。,8。＜=平面80£：,

所以8c工平面8Z）E；

【小问2详解】

以。为原点，D4,Z)C,Z)E为x,歹，z轴正方向建立空间直角坐标系.

所以Q(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),尸(1,0,1).

所以08=(1,1,0),8dl(-l,l,0),EC=(0,2,-1).

八，、m-BC=-x+y+0=0

设切=(x,»z)为平面3CE当一个法向量，所以｛X3"

m-EC=0+2y-z=0

不妨设y=l,则加;(1,1,2).

所以直线。8和平面BEC所成的角的正弦值为

1+1

S1ne=cos储=z7=也

'LD5|Jl+1+0Jl+1+43

20.已知数列｛%｝的首项q=g,且满足a,+i=^^j(〃eN+).

(1)求证：数列1;为等比数列；

(2)若b.%(3〃一1),数列也｝前〃项的和为S,,,求S,.

-an

【正确答案】(1)证明见解析

4a

【分析】(1)将条件。用二丁—两边同时取倒数，然后两边同时减1,可证明等比数列.

3。“+1

(2)利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

z\-------1

即^-―1=-+-l=-l——1,即^—

%44%41%)4

%,

111,5,1

所以数列《一一1%为等比数列，首项一一1="-1=:，公比q

J卬44"4

【小问2详解】

（3“-1）=（3/?-l）-4M

.•.S„=2X4+5X42+8X43++（3n-l）-4n@

45„=2X42+5X43++（3“-4>4”+（3”-1）-4'用②

①-②，^-3S„=2X4+3X（42+43++4,,）-（3/?-1）-4,,+I

（16-16x4'i、

=8+3X10104——（3”1）・4+I=-8-（3〃-2）・4向

l-3J

83/7—2„|

Sc„=-+--------4+

〃33

21.如图，在直角梯形Z8C。中，AD//BC,N4DC=90°,AE1平面ABCD,

EF//CD,BC=CD=AE=EF=-AD=\.

（1）求证：BE1AF■,

TT

（2）在直线8C上是否存在点〃，使二面角的大小为一？若存在，求出CM

6

的长；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析.

（2）存在，CM=—.

3

【分析】（1）证明平面即可；

（2）假设M存在，建立直角坐标系，用向量法求M的坐标即可.

【小问1详解】

如图，FGHEA,AGHEF,连接EG交4b于，，连接84,BG，

■:EFHCD旦EFHAG，：.AGIICD,即点G在平面N8CZ）内.

在平行四边形CD4G中，/力。C=90°,

ABG1AG,又由/E_L平面知力EJ.8G,

:.BG1平面AEFG,8GJ_4/①

在矩形/E/G中，AE=EF,：.AF上EG②

由①②知，工厂，平面86七，AAFLBE.

【小问2详解】

如图，以A为原点，ZG为X轴，2。为y轴，/£为Z轴建立空间直角坐标系