函数的极值（第2课时）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册_第1页
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函数的极值（第2课时）复习引入例1.已知函数

f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数

f(x)的极值.①当a≤0时，f′(x)>0，函数

f(x)为

(0，＋∞)上的增函数，函数

f(x)无极值；

②当a>0时，由

f′(x)＝0，解得

x＝a.

又当

x∈(0，a)时，f′(x)<0，

当

x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数

f(x)在

x＝a处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a－alna，无极大值.

综上，当

a≤0时，函数

f(x)无极值；

当a>0时，函数

f(x)在

x＝a处取得极小值

a－alna，无极大值.

解：由

f′(x)＝1－

＝

，x>0，知例2.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e

x(a∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.解：f'(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2+4a]ex.令f'(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠

知－2a≠a－2.分以下两种情况讨论：①若a>，则－2a<a－2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞,－2a)，(a－2,＋∞)上是增函数，在(－2a,a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在

x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.x(－∞,

－2a)－2a(－2a,

a－2)a－2(a－2,

＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗②若a＜

，则－2a＞

a－2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞,a－2)，(－2a,＋∞)上是增函数，在(a－2,－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2

处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a

处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.x(－∞,

a－2)a－2(a－2,－2a)－2a(－2a,＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗例2.已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e

x(a∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.例3.已知函数

f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在

x＝－1时有极值0，则

a＝____，b＝____.解：因为

f(x)在

x＝－1时有极值0，且

f′(x)＝3x2＋6ax＋b，当

a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以

f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).当

x∈(－3,－1)时，f(x)为减函数，当

x∈(－1,＋∞)时，f(x)为增函数，所以

f(x)在

x＝－1处取得极小值，因此

a＝2，b＝9.练习3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(

)A．4或－

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