2023-2024学年天津市咸水沽高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市咸水沽高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线x+（2，〃一l）y+l=0与直线-3x+〃zy+3=O垂直，则根的值（）

333

A.—或1B.—1C.—或—1D.—

222

【正确答案】C

【分析】讨论直线斜率不存在的情况，斜率存在时，根据直线垂直可得斜率之积为-1,列

式即可求得答案.

【详解】当m时，直线x+（2〃?-l）y+l=O即x+l=0,

直线-3x+,〃y+3=O即-3x+gy+3=0,二者不垂直，不合题意；

当m=0时，直线x+（2加一l）y+l=0即x-y+l=0,

直线一31+小），+3=0即x—l=0,二者不垂直，不合题意；

故mwg,m*0,则由直线》+（2，〃-1）丁+1=0与直线-3犬+加），+3=0垂直，

可得一k—x三=7,解得切=-1或〃?=:,

2m-1m2

故选:C

2.已知公差不为0的等差数列｛4｝,满足%,%,小成等比数列，｛4｝的前〃项和为S,,,

则兴言的值为（）

312

A.-B.-C.3D.4

233

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式和等比数列性质可求出首项和公差的关系，再利用等差数

列前n项和公式即可求得表达式的结果.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,且4/0,

又满足4，%，即成等比数列，即42=4。4,可得（4+2。=4（a,+3"）,

所以q+4d=0,

Sq-S、aA+4~"d1S’—S?1

则"才京YMF所以看方

故选：B.

22

3.抛物线V=8x的焦点到双曲线看-'=1的渐近线的距离是()

A.百B.2C.qD.-

22

【正确答案】A

【分析】写出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离计算.

【详解】抛物线寸=8》的焦点坐标是(2,0),双曲线匕-《=1的渐近线方程是小土y=0,

62

所求距离为d==y/3.

V3+1

故选：A.

ULW1111nllur

4.四棱锥尸—ABCD中，设3A=q,BC=b,BP=c，PE=^PD.^BE=()

n2rIflr

B.—a+—b——c

333323

2r1r2r

D.-a+-b+-c

323

【正确答案】A

iwn

【分析】根据空间向量基本定理，先表示出尸。=〃+/?-c，可得尸E=+进而根

据BE=BP+PE，即可得出结果.

【详角星】PD=PB+BA+AD=BA+BC—BP=a+b—c，

iun1unr1r1r1r

所以尸£=一尸。=一。+—/?一一c.

3333

所以BE=BP+PE=c+—a^—b--c=—a+—b+—c.

333333

故选：A.

5.已知，P,Q分别为圆V+y2-8x-8y+28=0与圆/+了2+8］一4了+19=0上的动点，A

点为x轴上的动点，则IM+IA0的最小值是()

A.7B.8C.11D.14

【正确答案】A

【分析】确定圆心和半径，求得/+9+8》-4)，+19=0关于工轴的对称的圆的方程，采用

几何作图分析，即可确定的最小值.

【详解】根据题意，设丁+尸_8尤—8y+28=0为圆M:(x-4)2+(y-4『=4,半径H=2,

设圆x2+y2+8x-4y+19=0为圆N:(x+4)?+(y-2)2=l,半径厂=1,

设圆N'与圆N关于x轴对称，点Q'与点。关于x轴对称，

则圆N'的方程为M:(x+4>+(y+2)2=1,

又由Q为N:(x+4>+(y-2)2=l上的动点，则。'在圆V上，

连接，设MM交x轴点A,则有同"+%。=^^+60|,

设此时朋N'交圆M与点P,交圆V于。'

在x轴上任取一异于点A的C点，则|CM|+|CN[=|CM|+|CN|>|W|,

则+1AQ|的最小值为|MV1-R-r=J(4+守+(4+2)2-2-1=7,

故选：A.

6.在四棱锥P-ABCD中，PO_L底面ABC£>,底面A8CD是直角梯形，AB//CD,

ZADC=90°,AB=AD=],PD=8=2,点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为

()

R

A.V2C.显D

22-T

【正确答案】B

【分析】在直角梯形中证明出80,然后由线面垂直的性质定理得PCJ_8C,从而得

BC上平面PBD,得出BC_LP3,然后利用中点性质可得结论.

【详解】叨，平面A3C£>,8Cu平面ABC。，PDLBC,

ABC。是直角梯形，ZADC=90°,AB//CD,AS=AD=1,CD=2,

贝|J8D=及，8c="+(2—1)2=0,所以BCZ+BD=CD?,BCLBD,

BDPD=D,84,POu平面尸皿，所以6C上平面产应)，又psu平面尸8£),所以8C_LP8,

即C到直线尸8的距离是正,

E是PC中点，所以E到所的距离等于C到直线总的距离的一半，即为五.

2

故选：B.

7.双曲线/■-/1(“>02>0)的右焦点恰是抛物线V=2px(p>0)的焦点尸，双曲线与

抛物线在第一象限交于点A(2,加)，若|河|=5,则双曲线的方程为()

-)922)2

X-y.nX-21厂厂3rln2yl

AA.---------=1B.y=1C.----------=1D.x-------=1

638368

【正确答案】D

【分析】由抛物线的定义求出。的值，可得出抛物线的标准方程，进而可求得点A、尸的方

程，可求得双曲线的左焦点尸'的坐标，利用双曲线的定义可求得。的值，进而可求得6的值,

由此可得出双曲线的标准方程.

【详解】由抛物线的定义可得|4目=2+5=5,可得p=6,故抛物线的方程为丁=12X,

将点A的坐标代入抛物线方程可得病=24,m>0,解得机=2",

抛物线r=12.r的焦点为尸(3,0),故双曲线的左焦点为F(-3,0),

则|4尸［=“2+3)2+(26)2=7,：.2a=\AF'\-\AF\=2,.-.a=l,贝打=^^=20，

因此，双曲线的标准方程为犬-亡=1.

8

故选：D.

8.已知椭圆C*+/ie>0>0)的下焦点F(0,—c)(c>0),M点在椭圆C上，线段M/

(Yh-LUIiaw

与圆V+y+:r吟相切于点N,且FN=^NM,则椭圆C的离心率为()

A.-B.叵C.叵D.-

5342

【正确答案】B

|EN|i

【分析】记上焦点为F',圆心为E(0,-C,，由线段成比例得出E7V〃尸'M,且渴=3,于

是有|F'M|=6,然后由椭圆定义和垂直得出关于a,6,c•齐次等式，化简后可求得离心率.

【详解】如图，记上焦点为尸，圆心为40,-早，则F'(c,O),连接P/LNE,

2iur1LUU\FN\1\FE\

巾=2c,阀=§c,又FNfNM,则落=丁局，

所以EN"M,局\EN\方1

|EN|=>，则尸M|=6,

由椭圆定义iPMnM—FMKZa-d

又ENLFM,所以F'MLFM,所以从+(2a-与？=0。尸，

2(a2-c2)+/?2=2ab,即3/=2","=

c=yja1-b2=a所以e='=•

3a3

故选：B

9.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1；再染3个偶

数2,4,6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的

7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,…,

45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：I,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,

则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是()

A.3991B.3993C.3994D.3997

【正确答案】D

【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数

的数字个数的关系，找出第〃组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果.

【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下:

第一组：1共1个数;

第二组:2,4,6共3个数;

第三组:1,9,11,16,15共5个数;

第四组:16,18,20,22,24,26,28共7个数;

第五组:29,31,33,35,37,39,41,43,45共9个数;

由此规律可知，第八组最后一个数是组数”与该组的数字个数2〃-1的乘积为〃(2〃-1),且该

数在组成的红色子数列中是第1+3+5+……+2〃-1=〃2个数，

易知，当”=45时，即第45组最后一个数是452=2025与数字2021接近，

此时，红色子数列中第2025个数为45x(2*45-1)=4005,

所以再往前数4个计数即为第2021个数，该数为3997.

故选：D

二、填空题

10.已知向量a=(2，〃+l,3,〃?-l),b=(2,m,-m),且.〃〃，则实数，"的值为.

【正确答案】-2

【分析】利用向量共线的性质，直接计算求解即可.

(详解】由题意得(2m+1):2=3:m=(m-r)-.(-m)=>m=-2

故-2

11.随着双减政策的落地，小明决定利用写完作业后的时间，进行了一次“阅读经典'’的活动,

阅读书籍共1200页.他第一天只读了10页，之后采取了积极措施，从第二天起每一天阅读

的量都比前一天多10页.这次“阅读经典”活动小明一共进行的天数为.

【正确答案】15

【分析】由题意可得小明每天阅读书籍构成了一个以10页为首项，以10页为公差的等差数

列，设小明一共阅读了〃天，然后建立关于”的方程，求出〃即可.

【详解】由题意可得，第一天阅读10页，第二天阅读20页，

小明每天阅读构成了一个以10页为首项，以10页为公差的等差数列，

根据题意，设小明一共阅读了〃天，则1200=10〃+普10,

解得〃=15或-16(舍去)，所以”=15,

故15.

12.已知直线/：3+丫-2-2初=0与圆/+丫2-2》-8=0相交于4,B两点，则取最小

值时直线/的方程是.

【正确答案】x+2y-6=0

【分析】根据直线过定点(2,2)可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最小，即可得出

直线斜率求得/的方程.

【详解】由直线/：尔+y—2-2加=0可知，直线/过定点(2,2),

圆x?+-2x-8=0即(x-l)2+丁=9,可得圆心(1,0),半径r=3；

设圆心到直线/的距离为d,根据弦长公式卜同=2/2--可知,

d最大时，|A@取最小值，

易知，d的最大值为圆心(1,0)到定点(2,2)的距离,

此时圆心(1,0)和定点(2,2)的连线与直线/垂直，

可得直线/的斜率f满足f=得机=：

所以，直线/的方程为x+2y-6=0

故x+2y-6=0

13.已知抛物线C:V=4y,过点&0,1)作倾斜角为g的直线/,若/与抛物线交于8,C两

点、,弦8C的中点尸到x轴的距离为.

【正确答案】7

【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式代入即可求解.

【详解】由题意可知A((),l)为抛物线的焦点，直线/的方程为y=6x+l,

联立直线与抛物线的方程［1=-_4瓜_4=0,

x=4y

设5(不乂),。(孙必)，则石+W=4>Q,

则BC的中点P到x轴的距离为21±匹='(西+々)+2=‘?462=7,

222

故7

14.点P是直线x+y-4=0上的动点，过点P作圆(x+l)?+(y—1)2=/上>0)的两条切线

7T

出和PB,A和B是切点，NAP8的最大值是则r的值______.

【正确答案】2

【分析】由切线性质得出最大时，尸与圆心连线垂直于直线/,然后由最大值求得圆

半径厂.

\AC,,

【详解】如图，设圆心为C,sinZAPC=L^,当圆固定时，|PC|取最小值时，sin/APC

最大，NAPC是锐角，从而/APC最大,

中2日

由已知C(—l,l),|PC|mi„=

由题意NAPC最大值为三，此时sinNAPC=」==sin&="，r=2,

42V242

故2.

①已知直线X+百y-2=0,则该直线的倾斜角为2

6

②抛物线20/=y的准线方程为x=5

③在等差数列｛4｝中，—<-L若｛4｝的前n项和S“有最小值，则使S“<0时最大的自然

“1012

数〃的值为2022

_z、|—〃]M+2,/2>8/八

④己知数列｛%｝,q=13）（〃eN）若对于任意（〃eN*）有4>%,则实

a"~\n<S

数“取值范围是

其中正确命题的序号为.

【正确答案】③

【分析】根据倾斜角和斜率，抛物线，数列最值和单调性等知识点分别判断即可.

【详解】对于①：直线x+百），-2=0的斜率为k,倾斜角为a,则％=£=tana,即倾斜

角为已故①错误；

O

对于②：抛物线20/=g，即八右y的准线方程为），=-白，故②错误；

zu80

对于③：因为等差数列｛q｝中，—<-L所以4。124。“<0,所以如+1="">"+即"2<o,

^101240126012

又因为｛〃〃｝的前〃项和S“有最小值，所以4（）“<0,-2>。，，1+%012<。

c_2022（4+。2。22）_2O22（4o]]+即）]2）,八

d2O22==2<口'

邑g=2023（"；+*）=23即；+即“2）=2023为“2>0,

则使S“<0时最大的自然数〃的值为2022,故③正确;

_(|—+〃>8

对于④：因为数列{q},4=13JnGN)

an-\n<8

若对于任意(”eN*)有%>%,当。2时凡单调递减,

当=""7时4"单调递减，且%>。9

所以;<“<1,故④错误;

故③

三、解答题

16.(1)已知圆M经过A(0,0),8(1,1),C(4,2)三点，求圆"的标准方程;

(2)在(1)的条件下，求过尸(-1,3)作圆M的切线/,求切线/的方程.

【正确答案】(1)(X-4)2+(>>+3)2=25(2)llx+60y-169=0和下—1

【分析】(1)代入三个点即可求解圆的一般式方程，进而转化成标准方程即可,

(2)根据相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.

【详解】设圆M的一般方程为/+丫2+以+@+尸=0(02+£2-4尸>0),

F=0伊=-8

将4(0,0),8(1,1),C(4,2)代入得，2+0+E+尸=0=,E=6,

20+4D+2E+F=0[F=0

所以M的一般方程为/+y2-8x+6y=0,

故圆M的标准方程为(x-4)?+(y+3)2=25,

(2)当直线无斜率时，则方程为k-1,此时直线与圆相切，满足条件,

当直线有斜率时，设直线/的方程为k3=4+1),即依-y+3+后=0,

圆心坐标为(4,-3),半径为厂=5,

4攵+3+3+攵।I

根据相切得1~g,=5,解得左=-2,此时切线方程为：llx+60y-169=0

综上：切线方程为：Ux+60y-169=0和

17.如图，在四棱锥尸-中，PAL底面ABC。，底面ABC。为平行四边形，AC=2,

ZBAC=90°,BC=JI5且抬=3,E是尸。中点.

⑴求证：P3〃平面AEC；

（2）求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；

（3）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M,使得二面角M-AC-E夹角的余弦值为叵?

10

若存在，确定M的位置：若不存在，说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

返

26

（3）存在点M,且

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明〃平面AEC；

（2）根据几何体特征可以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线

PC与平面ACE所成角的正弦值；

（3）假设存在点利用共线向量写出其坐标，根据空间向量求出二面角M-AC-E夹角

的余弦值的表达式，即可确定M的位置.

【详解】（1）证明：连接8。交AC于F,连接EE如下图所示：

因为底面ABCQ为平行四边形，所以F是3。的中点，又E是PD中点;

所以PB〃防，

又尸31z平面AEC,EFu平面AEC,

所以，P3〃平面AEC；

(2)由AC=2,ABAC=90°,8C=如得钻=3,

又因为PA_L底面ABC。，所以P4_LA8,P4_LAC；

以A为坐标原点，分别以AC,AB,A/,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；如

下图所示：

则A(0,0,0),5(0,3,0),C(2,0,0),0(2,-3,0),P(0,0,3),E1,一|,|)

设平面AEC的一个法向量为〃=(%,y,z),AC=(2,0,0),AE=fl331

9~292J;

nAC=2x=0

所以，33得x=0,令y=l,贝Uz=l；

n-AE=x——y+—z=0

I2-2

即“=(0,1,1).

又PC=(2,0,-3),设直线PC与平面ACE所成的角为心,

则sina=|cos(n,PC)\=言|=布=噜)

即直线PC与平面ACE所成角的正弦值为迹.

26

(3)假设存在点M满足题意，

^PM=2PB(O<2<1),得M(0,343-34),

设平面MAC的一个法向量为〃2=(N，X，Z]),AC=(2,0,0),AM=(0,3/1,3-34),

nvAC=2x,=01

所以《得玉=0,令4=1,得y=1-

m-AM=34,+(3—34)Z]=02

即初=(0』-9,1)；

A,

设二面角M-AC-E的平面角为巴

1?

化简得-92+2=0,解得2或

又因为二面角"-AC-后夹角的余弦值为巫，所以兀=工

103

所以，在线段PB上(不含端点)存在一点M,且=使得二面角M-AC-E夹角

的余弦值为画.

10

18.已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和公式为S,,,数列｛a｝是等比数列4=1,仇=2,

%+a=23,b4=S4,

⑴求数列｛%｝和他｝的通项公式；

Q)令c----("cN'),求数列｛c'｝的前”项和A“，求证：4<1

anati+\2

⑶令4,=(T)"字("eN，),求数列｛4｝的前n项和刀,；

【正确答案】⑴2=2"；

(2)证明见解析;

⑶北=3-5（”）—应「

【分析】（1）设｛4｝的公差为d,｛4｝的公比为4,由已知列方程组求得4g后可得通项公

式;

（2）由裂项相消法求得和4可证得不等式成立;

（3）由错位相减法求和.

【详解】（1）设｛见｝的公差为d,｛4｝的公比为4,由已知得:

1+34+2/=23,[d=2

解得〃

2/=4+6〃14=2

所以为=1+2(〃-1)=2〃-1,〃,=2x2"T=2"；

（2）由（1），"=（2”-1；2”+1）=3+一备兀

匚-1八1、1/1、LI1、111

所以A1=7(1-二)+大(二一=)+'+大(^---7—T----7)=——-----；

2323522n—\2n+\24n+22

(-1)"(2«-1)

(3)由⑴d,=

2”

,135(-1)72/7-1)

(=_]+乎>+।

2"

1^135(T)"(2〃-3)+(-1严(2〃-1)

2^=F"F+F++

2"

3122(-If-2(-l),,+l(2n-l)

相减得尹=-5+m->++

T

[|-

1+2]㈠严(2〃-1)n+

1)1尸(-l)'(2»-l)

6丁22,+i

21+1

2

(-1严(2〃-1)

所以7

3x2"

方法点睛：数列求和的常用方法：｛〃“｝是等差数列，且各项均不为0,｛"｝是等比数列.

（1）公式法；

（2）裂项相消法：数列｛」一｝常用裂项相消法求和;

—

（3）错位相减法：数列伍也』常用错位相减法求和；

（4）分组（并项）求和法：数列｛%+〃｝用分组求和法求和;

（5）倒序相加法：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等时，常用倒序相加法求和.

19.椭圆。:£+£=1（"＞分＞0）的离心率e=；,过点左顶点为A,过点4作斜

率为我（火工0）的直线/交椭圆C于点。，交y轴于点E,

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）求△OAD面积取最大值时的&的值.

（3）若P是线段A。的中点，问是否存在x轴上一定点Q,对于任意的耳心（））都有,

若存在求出。点坐标，若不存在请说明理由.

【正确答案】⑴/+片=1;

43

（2）k=+—；

2

3

⑶存在Q（-万,0）满足题意，理由见解析.

【分析】（1）由已知列出关于。力，。的方程组求解可得；

（2）设Q%,%）,由3”=3|。川|%|=|%|,只要|加|最大即可，此时O为短轴端点，由

此计算出上值：

（3）由直线/的方程为y=Hx+2）,求出O点坐标得中点P的坐标，再求出E点坐标,

设存在满足题意的点。（〃?，0）,用坐标表示出垂直关系后由恒等式知识得小的值.

a=2

19

【详解】（1）由已知/+诉=1,解得＜b=杷，

c=\

a2=b2+c2

所以椭圆方程为》]

=1;

（2）设。（和，%）,

由⑴得4-2,0）,易知

当。为椭圆短轴顶点时|%|最大，此时。（o,G）或（0,-石），

从而&=4或k="=—；

222

（3）直线/方程为y=瓜x+2）,代入椭圆方程得（3+必2）/+]6心+16欠2-12=0,

易知x=-2是此方程的根，另一根为赤二=，、=「R，

户点横坐标为％=也匚=-3二,力=k（%+2）,

23+4公

在y=Hx+2）中令x=0得y=2左,即E（0,2Q,

设。（加,0）,由EQ，。尸得£。.。户=0,EQ=（/??,-2k）,OP=（xp,yp）,

mk22

mxP-2kyP=0,--^--2k｛——^^+2）=0,k（2m+