2021-2022高中数学人教版必修1作业3.2.1几种不同增长的函数模型（系列四）Word版含答案

3.2.1几类不同增长的函数模型基础巩固一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列函数中,自变量x充分大时,增长速度最慢的是()A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x【解析】选B.根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长的特点可知,自变量x充分大时,y=log6x的增长速度最慢.2.(2014·黄山高一检测)某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是()A.y=2x-2 B.y=QUOTEC.y=log2x D.y=QUOTE(x2-1)【解析】选D.当x=6.12时,A中y=2×6.12-2=10.24,B中y=QUOTE<1,C中y=log26.12<3,D中y=QUOTE(6.122-1)≈18.23,所以拟合程度最好的是y=QUOTE(x2-1).3.(2014·佛山高一检测)四人赛跑,其跑过的路程f(x)与时间x的函数关系分别如四个选项所示.如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系为()A.f1(x)=QUOTE B.f2(x)=QUOTExC.f3(x)=log2(x+1) D.f4(x)=log8(x+1)【解析】选B.函数f1(x)=QUOTE,f3(x)=log2(x+1)和f4(x)=log8(x+1)的增长速度越来越慢,函数f2(x)=QUOTEx增长速度不变,所以最终跑在最前面的人具有的函数关系为f2(x)=QUOTEx.4.(2014·嘉峪关高一检测)某工厂10年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:①前五年中产量增长的速度越来越快;②前五年中产量增长的速度越来越慢;③第五年后,这种产品停止生产;④第五年后,这种产品的产量保持不变;其中说法正确的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【解析】选C.由t∈[0,5]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[5,10]的图象可知,总产量C没有变化,即第五年后停产,所以②③正确.【拓展延伸】图象信息题的解答策略(1)明确横轴、纵轴的意义,分析题中的具体含义.(2)从图象形状上判定函数模型.(3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等.(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.5.(2014·抚州高一检测)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则与故事情节相吻合的是()【解析】选B.选项A,乌龟与兔子同时到达终点,不合题意;选项B,乌龟先到达终点,兔子后到达终点,行程相同,符合题意;选项C,兔子睡觉后未醒,没完成任务,不合题意;选项D,兔子先到,不合题意.6.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为()【解析】选D.设原来森林蓄积量为a,则a(1+10.4%)y=ax,1.104y=x,所以y=log1.104x,故选D.【举一反三】将本题条件改为“要增长到原来的y倍,需过x年”,其他条件不变应如何解答?【解析】选B.设原来森林蓄积量为a,则a(1+10.4%)x=ay,故y=1.104x,如原题B选项图.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·济南高一检测)现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函数模型.【解析】当x=3时,甲:y=32+1=10,|10-10.2|=0.2,当x=3时,乙:y=3×3-1=8,|8-10.2|=2.2,所以应选用甲作为函数模型.答案:甲8.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过分钟,该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存,则2×2n=64×210=216,所以n=15,故时间为15×3=45(分钟).答案:459.(2014·琼海高一检测)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:①当x>1时,甲走在最前面;②当x>1时,乙走在最前面;③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.其中,正确结论的序号为(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).【解析】①错误.因为f1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4,所以f1(2)<f2(2),所以x=2时,乙在甲的前面.②错误.因为f1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25,所以f1(5)>f2(5),所以x=5时,甲在乙的前面.③正确.当0<x<1时,f1(x),f2(x)的图象在f3(x)图象的下方,f4(x)的图象在f3(x)图象的上方.④正确.当0<x<1时,丙在甲乙前面,在丁后面,x>1时,丙在丁前面,在甲、乙后面,x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快,x充分大时,f1(x)的图象必定在f2(x),f3(x),f4(x)上方,所以最终走在最前面的是甲.答案:③④⑤三、解答题(每小题10分,共20分)10.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图.由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.11.(2014·临沂高一检测)某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每枝0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一枝铅笔.(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干枝(不少于4枝),若购买x枝铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?【解题指南】根据两种优惠办法分别计算出每种中y与x之间的关系式,然后比较大小即可.【解析】由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4且x∈N).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4且x∈N).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34.当4≤x<34,x∈N时,0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34,x∈N时,0.5x+6>0.46x+7.36.即当购买铅笔少于34枝(不少于4枝)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34枝时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34枝时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.能力提升一、选择题(每小题4分,共16分)1.某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表:x123…y137…则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()①y=2x-1;②y=x2-1;③y=2x-1;④y=x2-x+1.A.①② B.③④ C.②③ D.②④【解析】选B.将x=1,y=1;x=2,y=3;x=3,y=7三组数据代入4个函数关系式检验,可知③④能表达所给关系.2.为适应社会发展的需要,国家降低某种存款利息,现有四种降息方案:①先降息p%,后降息q%;②先降息q%,后降息p%;③先降息QUOTE%,再降息QUOTE%;④一次性降息(p+q)%,其中p≠q,上述四种方案中,降息最少的是()A.① B.② C.③ D.④【解题指南】利用特殊值法,代入特殊值验证.【解析】选C.特值法:不妨取p=20,q=40,验证即可.3.(2014·武汉高一检测)某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小明这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是()【解析】选C.观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”,综上,只有C是正确的.【变式训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示,某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是(填序号).【解析】由甲、乙两图可知,进水速度是出水速度的QUOTE,所以0点到3点只进水不出水.3点到4点有一个进水口进水,一个出水口出水.4点到6点,两个进水口和一个出水口可以同时进水和出水或者两个进水口和一个出水口不进水也不出水.因此一定正确的是①.答案:①4.(2014·长沙高一检测)某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表:网络月租费本地话费长途话费甲:联通130网12元每分钟0.36元每6秒钟0.06元乙:移动“神州行”卡无每分钟0.6元每6秒钟0.07元(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为()A.甲 B.乙C.甲乙均一样 D.分情况确定【解析】选A.设长途电话时间为x分钟,则本地电话时间为5x分钟,则60<6x<70,故10<x<QUOTE.甲的费用y1=12+0.36×5x+QUOTE·0.06=12+2.4x.乙的费用y2=0.6×5x+QUOTE·0.07=3.7x.因为y2-y1=1.3x-12>1.3×10-12=1>0,所以y2>y1,所以甲省钱.【误区警示】解答本题易忽视通话时间取值范围的分析以及作差比较法的应用.二、填空题(每小题5分,共10分)5.以下是三个函数y1,y2,y3随x的变化的函数值列表:x12345y1392781243y2182764125y300.630911.26191.4650x678…y172921876561…y2216343512…y31.63091.77121.8928…其中关于x成指数函数变化的函数是.【解析】指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为6,18,54,162,486,1458,4374,…是成倍增加的,因而y1呈指数变化.答案:y16.已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,两个函数随x的变化的函数值如下表.x012345678910f(x)12481632641282565121024g(x)01827641252163435127291000试比较下列各组数的大小(在横线上填写“>”“<”或“=”)f(0.19)g(0.19),f(5.1)g(5.1),f(2014)g(2014).【解析】画函数f(x)=2x的图象C2,函数g(x)=x3的图象C1,设C1与C2相交于A,B两点,点A,B的横坐标分别为x1,x2,当x=0,1时,f(x)>g(x),当x=2,3,4,5,6,7,8,9时f(x)<g(x),当x=10时,f(x)>g(x),所以1<x1<2,9<x2<10,从图象可知,当x1<x<x2时f(x)<g(x),当0<x<x1,或x>x2时f(x)>g(x),所以f(0.19)>g(0.19),f(5.1)<g(5.1),f(2014)>g(2014).答案:><>三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·阜阳高一检测)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元,试求f(x)和g(x).(2)问:选择哪家比较合算?为什么?【解析】(1)f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)=QUOTE(2)当5x=90时,x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x),当18<x≤40时,f(x)>g(x);所以当15≤x<18时,选甲比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙比较合算.8.(2014·福州高一检测)某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2008年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=+a.(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数).(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2014年的年