《勾股定理》示范公开课教学设计【八年级数学下册】

《勾股定理》教学设计教学目标教学目标1.了解勾股定理的文化历史背景，经历勾股定理的探究、证明过程．2.能用勾股定理解决一些简单问题．教学重难点教学重难点【教学重点】探索并证明勾股定理．【教学难点】勾股定理的探究和证明．教学过程教学过程一、导入新课同学们，2002年国际数学家大会在我国的北京召开，下图就是这一届大会会徽的图案.请你仔细的观察这副图案，说一说，它是由哪些基本图形组成的？生：四个直角三角形和正方形组成的师：直角三角形与正方形是我们生活当中比较常见的基本图形，我们已经学过直角三角形两角之间的关系，两个锐角互余，今天这节课来研究直角三角形三边之间的特殊关系评析：本节课由国际数学学家大会的会徽导入，激发学生的兴趣，引入新课教师引导学生发现会徽图案是由直角三角形、正方形组成.引出本节内容是研究直角三角形三边之间的某种特殊关系.二、探究新知问题1：相传2500多年前，毕达哥拉斯从地砖图案中发现了直角三角形三边之间的某种数量关系．我们也来观察一下这副示意图，我把地砖的颜色给隐藏，可以清楚的发现图中每个小三角形都是等腰直角三角形，假设每个小等腰直角三角形的面积为1．问题1：图中三个正方形A,B,C的面积分别是多少？三个面积之间有什么等量关系？接下来，在网格图中画出一个任意的直角三角形，像刚才的示意图一样，以这个直角三角形的三边为边长向外作出三个正方形，分别记为A,B,C,假设图中每个小正方形的面积为1.问题1：正方形A的面积为？正方形B的面积为？正方形C的面积呢？追问：如何求正方形C的面积呢？师：通过古希腊数学家在朋友家做客，发现朋友家的地板砖三边之间的数量关系，通过图中观察正方形内的三角形是什么三角形？生：等腰直角三角形师：假设每个小的等腰直角三角形的面积为1，请同学们思考A、B、C三角形的面积各位多少？生：正方形A与B的面积为2，正方形C的面积为4师：继续思考正方形A、B、C面积之间有怎样的等量关系？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：这个结论在等腰直角三角形的前提下成立，反问在一个任意的直角三角形当中是否还成立呢?生：猜想成立问题2：三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？SA+SB=SC下面，我把这幅示意图中的三个正方形推开，把这个直角三角形的三边记为a，b，c，直角三角形三边之间有什么关系呢？得出猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.CCBAbac问题：c的平方可以表示为什么图形的面积？师：给出任意的直角三角形以各个边向外作正方形A、B、C,假设每个小正方形面积都为1，思考正方形A、B、C的面积为多少？生：正方形A的面积为16，正方形B的面积为9正方形C的面积为25师：请学生解释一下正方形C的面积为什么为25？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师:这个规律刚刚是在等腰直角三角形当中得到的，这个三角形是一般的直角三角形，这个结论还能用吗？生：不能师：如何来求正方形C的面积呢？请同学们思考一下生：使用割的办法来求正方形C的面积，把正方形C切割成4个直角三角形+一个正方形得到正方形C的面积为25师：请思考一下还有没有其他办法？生：补上4个小的直角三角形，通过大的正方形的面积减去4个直角三角形的面积师：这两种方法都可以求出正方形C的面积，统称为“割补法”师：通过正方形A、B、C的面积数据，有什么等量关系？你们能得出什么结论？生：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积师：把直角三角形的三边记为a、b、c，能否由上面的等式推出直角三角形三边之间的等量关系？生：因为SA+SB=SC,所以a2+b2=c2师：那个同学能够用文字语言来表达一下呢？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方师：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，这个结论是在网格图当中得到，去掉网格，这个结论还成立吗？评析：由地砖中存在的特殊示意图导入，发现围成等腰直角三角形的三个正方形面积之间存在特殊的数量关系.在正方形的网格图中进一步研究这个示意图，由特殊的直角三角形过渡到一般的直角三角形，面积之间也存在特殊的数量关系.问题1中，教师提出问题，让学生自己独立观察图形，分析数据，思考其中隐含的规律．得出结论：在等腰直角三角形的前提条件下，从这幅示意图中可以得出小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．学生很容易通过数格子的方法答出正方形A和正方形B的面积.难点是求由斜边所作的正方形C的面积.动手实践，验证猜想拼图活动：请同学们拿出课前老师分发的四个直角三角形,拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有边长为c的正方形.请同学上台展示他们的拼图结果。这两种拼法满足我们的要求含有边长为c的正方形吗？其实这两种拼法还有一定的内在联系.下面，我将第一种拼法中边长为c的正方形标记出来，从面积的角度可以得出什么样的等量关系？追问：小正方形的边长怎么表示？我们借助于这种拼图里存在的面积之间的等量关系，从而得到直角三角形三边之间的特殊关系.请同学们借助于第二种拼法，独立的完成第二种拼法的证明.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.CBAbac几何语言：在Rt△ABC中，CBAbac师：如何通过证明这个猜想呢？通过课前准备的4个直角三角形让学生摆一摆拼一拼看你能否得到一个以边长为c的正方形，通过拼图活动让学生动手拼一个边长为C的正方形，得到两种拼法师：通过面积之间的等量关系S小正方形=S大正方形-4S直角三角形得到a2+b2=c2通过证明推出它是正确的，那就是定理师：用另外一种拼图办法同样也能推出这个定理a2+b2=c2这两种拼法之间还有一定的联系，当把第一种拼法向内翻折就得到了第二种拼法，当把第二种拼法向外翻折就得到第一种拼法，现在我们能够运用两种方法证明a2+b2=c2在古代我们把这个定理叫作勾股定理三、例题讲解例1求出下列直角三角形中未知的边:例2如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.求图中字母所代表的正方形的面积．四、巩固新知练习1已知3和4是直角三角形的两边长，求第三边的长.解：设第三边的长为x(x>0).①当3为斜边时，因为3小于4，所以此直角三角形不存在;②当4为斜边时，由勾股定理得，32＋x2＝42,解得x＝;③当x为斜边时