广东省东莞市望牛墩中学2023-2024学年九年级下学期一模考试数学试卷(含答案)

-2024学年第二学期望牛墩中学初三数学一模考试试卷一．选择题（共10小题）1．-3的相反数是()A．3 B． C．-3 D．-2．育才校园文化博大精深，以下是“育”、“才”、“水”、“井”四字的甲骨文，其中是中心对称，但非轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（）A．3.05×105 B．30.5×105 C．3.05×107 D．3.05×1064．吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A． B． C． D．5．如图，点M为反比例函数y＝的图象上一点，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM，已知△MNO的面积为1.9，则k的值为（）A．﹣1.9 B．1.9 C．﹣3.8 D．3.86．要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．37．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°8．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（）A．3 B． C． D．10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④S△BEF＝．在以上4个结论中，正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）11．因式分解：x2-x＝．12．单项式-2x2y的次数是．13．已知∠A＝30°，则∠A的补角等于°．14．圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是．15．如图，已知△ABM，△BCN，△CDE是三个边长分别为2，4，6的正三角形，排列方式如图所示（点A，B，C，D在同一条直线上），连接AE，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共10小题）16．计算：．17．化简求值：，其中．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）根器要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求CD的长．19．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．20．综合与实践：【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由．21．如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．22．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？23．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：y＝﹣x2+bx+c，已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．（1）点A的坐标是，点P的坐标是；（2）求满足的函数关系y＝﹣x2+bx+c；（3）运动员再次起跳，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：y＝﹣x+70，问：运动员这次起跳着陆点的水平距离第一次着陆点的水平距离（填“大于”、“小于”或“等于”）．24．如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．25．综合与探索【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，（1）直接写出OA＝，OB＝；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，则点E的坐标为；（3）如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；【拓展应用】如图4，直线AB：y＝2x+8分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．-3的相反数是()A．3 B． C．-3 D．-【解答】故选：A．【点评】本题考查相反数的概念2．育才校园文化博大精深，以下是“育”、“才”、“水”、“井”四字的甲骨文，其中是中心对称，但非轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．3．2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收入也超过6.1亿元．其中数据“3050000”用科学记数法表示为（）A．3.05×105 B．30.5×105 C．3.05×107 D．3.05×106【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：3050000＝3.05×106．故选：D．【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．4．吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A． B． C． D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．5．如图，点M为反比例函数y＝的图象上一点，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM，已知△MNO的面积为3，则k的值为（）A．﹣1.9 B．1.9 C．﹣3.8 D．3.8【分析】根据函数图象在第二、四象限，可得k＜0．设出M点坐标，用坐标表示线段NM和ON的长，利用待定系数法可求k的值．【解答】解：设点M的坐标为（a．b），∵点M在第二象限，∴a＜0，b＞0．∴ON＝﹣x，NM＝y．∵△MNO的面积为1.9，∴NM•OM＝1.9．∴（﹣a）•b＝1.9．∴ab＝﹣3.8．∵点M在反比例函数y＝的的图象上，∴k＝ab＝﹣3.8．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义和反比例图象上的点的坐标的特征，利用点的坐标表示对应线段的长是解题的关键．6．要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，∴x＞2．故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解答本题的关键．7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝30°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝25°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝150°，∴∠OFB＝30°，∵∠POF＝∠2＝25°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．8．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圆周角定理，分别分析得出答案．【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意；C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法等进行求解是解决本题的关键．9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（）A．3 B． C． D．【分析】连接OB、OC，作OG⊥BC于G，利用正多边形的性质得∠BOC＝60°，再根据等边三角形的判定及性质得∠BOD＝30°，BC＝BO＝1，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解．【解答】解：连接OB、OC，作OG⊥BC于G，如图：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，OG⊥BC，∴∠BOG＝30°，BC＝BO，∵BO＝1，∴BC＝BO＝1，，∴，∴，∴，∴π的估计值为，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的特征是解题的关键．10．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④S△BEF＝．在以上4个结论中，正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC；再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，进而求出△BEF的面积．【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；∴∠ADG＝∠FDG，由折叠可得，∠CDE＝∠FDE，∴∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝∠ADC＝45°，故③正确；∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，解得：x＝4∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，故②正确；S△GBE＝×6×8＝24，S△BEF＝•S△GBE＝×24＝，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二．填空题（共5小题）11．因式分解：x2-x＝．【分析】提取公因式即可．【解答】解：原式＝x2-x＝x(x-1)故答案为：x(x-1)．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．单项式-2x2y的次数是3．【分析】根据单项式次数的概念解答即可．【解答】解：单项式-2x2y的次数是3，故答案为：3．【点评】本题考查的是单项式的次数，关键是掌握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．13．已知∠A＝30°，则∠A的补角等于150°．【分析】根据补角的定义得出∠A的补角是180°﹣∠A，再代入求出答案即可．【解答】解：∵∠A＝30°，∴∠A的补角是180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查了余角与补角，能熟记补角的定义是解此题的关键，∠A的补角是180°﹣∠A．14．圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是15π．【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．【解答】解：由勾股定理得：母线l＝＝＝5，∴S侧＝•2πr•l＝πrl＝π×3×5＝15π．故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．15．如图，已知△ABM，△BCN，△CDE是三个边长分别为2，4，6的正三角形，排列方式如图所示（点A，B，C，D在同一条直线上），连接AE，则图中阴影部分的面积为5．【分析】设AE分别交BM、MN、CN于点F、H、G，可证明BH＝AB＝2，AC＝CE＝6，且△BHF和△CEG都是含有30°的直角三角形，即可求得CG＝3，根据勾股定理求得GE＝＝3，则S△CEG＝，再由△BHF∽△CEG，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求得S△BHF＝×＝，再由S阴影＝S△BHF+S△CEG求出阴影部分的面积即可．【解答】解：设AE分别交BM、MN、CN于点F、H、G，∵△ABM，△BCN，△CDE分别为边长为2、4、6的等边三角形，∴AB＝2，BC＝4，CD＝CE＝6，∠ABM＝∠CBN＝∠BCN＝∠DCE＝∠D＝∠CED＝60°，∵点A，B，C，D在同一条直线上，∴∠FBH＝∠GCE＝60°，AC＝2+4＝6，BN∥CE，∴AC＝CE＝6，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE+∠CEA＝2∠CAE＝2∠CEA＝60°，∴∠CAE＝∠CEA＝30°，∴∠BHF＝∠CEG＝30°，∴BH＝AB＝2，∠BFH＝∠CGE＝90°，∵CG＝CE＝3，∴GE＝＝＝3，∴S△CEG＝×3×3＝，∵△BHF∽△CEG，∴＝＝＝，∴S△BHF＝×＝，∴S阴影＝S△BHF+S△CEG＝+＝5，故答案为：5．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明△BHF和△CEG都是含有30°角的直角三角形是解题的关键．三．解答题（共10小题）16．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2+1﹣2×+3＝2+1﹣1+3＝5．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．17．化简求值：，其中．【分析】先把括号中的1写成分母是a的分式，把各个分式的分子和分母分解因式，除法写成乘法，按照混合运算法则，先算括号里面的，再算乘法，然后算加减，最后把a的值代入计算结果进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，∵a＝﹣1，∴原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分和常见的几种分解因式的方法．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）根器要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求CD的长．【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图；（2）利用面积相等求解．【解答】解：（1）如图：CD即为所求；（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵CD•AB＝AC•BC，∴CD＝8×6÷10＝4.8．【点评】本题考查了基本作图，面积法是解题的关键．19．我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有20名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为90度，图中m的值为40；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用360°乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；（2）根据（1）求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），即参赛学生共20人；则B等级人数20﹣（3+8+4）＝5（人）．“B等级”的扇形的圆心角的度数为：；“C等级”的所占的百分比为：，即m＝40．故答案为：20，90，40．（2）补全条形图如下：（3）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：女男1男2女女男1女男2男1男1女男1男2男2男2女男2男1由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，∴所选学生恰是一男一女的概率＝．【点评】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．20．综合与实践：【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由．【分析】（1）由待定系数法可以求出OA的函数表达式，从而得到A点坐标，进一步得到B点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线BC的函数表达式；（2）在部分双曲线BC的函数表达式中令y＜20，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．【解答】解：（1）设OA的函数表达式为y＝kx，则：，∴k＝60，∴OA的函数表达式为y＝60x，∴当x＝时，y＝90，可设部分双曲线BC的函数表达式为y＝，由图象可知，当x＝3时，y＝90，∴m＝270，∴部分双曲线BC的函数表达式为y＝；（2）在y＝中，令y＜20，可得：，解之可得：x＞13.5，∵晚上20：00到第二天早上9：00的时间间隔为9+4＝13（h），13h＜13.5h，∴某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00时体内的酒精含量高于20（毫克/百毫升），∴某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00不能驾车出行．【点评】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．21．如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝3，根据垂径定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，∴AB⊥x轴，又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四边形AHOB是矩形；（2）解：连接AD，∵四边形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．22．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？【分析】（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400，即可解答；（2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，即可解答．【解答】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400，解得：x＝40，60﹣x＝60﹣40＝20，答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．（2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，解得：y≤40，∴女款书包最多能买40个．【点评】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式．23．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：y＝﹣x2+bx+c，已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．（1）点A的坐标是（0，70），点P的坐标是（40，30）；（2）求满足的函数关系y＝﹣x2+bx+c；（3）运动员再次起跳，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：y＝﹣x+70，问：运动员这次起跳着陆点的水平距离小于第一次着陆点的水平距离（填“大于”、“小于”或“等于”）．【分析】（1）根据题意可知直接求出A，P坐标；（2）把A，P坐标代入y＝﹣x2+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；（3）求出直线PC的解析式，再解方程求出直线和抛物线交点的横坐标与40比较即可．【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），故答案为：（0，70），（40，30）；（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：，解得所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；（3）设直线PC的解析式为y＝mx+n，∵C（0，60），P（40，30），∴，解得，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+60，当﹣x+70＝﹣x+60时，整理得4x2﹣125x﹣600＝0，解得x＝（负值舍去），∵＜40，故答案为：小于．【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．24．如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；（3）由（2）的结论，得出r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽△EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．【解答】（1）证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，设半径OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴，∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解