2023-2024学年浙江省台州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省台州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知空间四面体0/8。中，对空间内任一点满足丽=!况+；方+欢下列条件

46

中能确定点，。共面的是（）

1157

A.A=-B.A=-C.4=—D.4=—

231212

【正确答案】D

【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.

117

【详解】根据空间中四点共面可知:+七+几=1,解得丸二三.

故选：D

2.若直线/：》+机。-4）=0与曲线工=斤了有两个交点，则实数加的取值范围是（）

A.0<m<B.0<m<C.0<m<yfiD.Q<m<也

33

【正确答案】B

【分析】化简曲线方程，表示圆心为（0,0）,半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，由直线

与曲线的交点个数可以确定"?的取值范围.

【详解】x=14-y2表示的曲线是圆心为（0,0）,半径为2的圆在V轴以及右侧的部分，如

图所示：

直线/：》+加&-4）=0必过定点（0,4）,

当直线/与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，

即上刎7=2,结合直线与半圆的相切可得加=立,

Vl+w3

当直/的斜率不存在时，即团=0时，直线和曲线恰有两个交点,

所以要使直线和曲线有两个交点，

则ow机<.

3

故选：B.

3.已知双曲线捺-r=1（“>0,6>0）的离心率为2五，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.不x土y=QB.x土币y=0C.3x±y=0D.x±3,y=0

【正确答案】A

【分析】根据离心率求出勺即可求渐近线方程.

a

【详解】由双曲线的离心率为2啦，得0=巾『=的『=，17窗=2五，

所以2=曲，又双曲线=1的渐近线方程为卜=±2苫，所以渐近线方程为y=±V7x,

aaha

即用x±y=0.

故选:A.

4.在5道题中有3道理科试题和2道文科试题.如果不放回地依次抽2道题，则第一次和

第二次都抽到理科题的概率是（）

A.-B.yC.-D.—

52510

【正确答案】D

【分析】根据题意，设A事件为第一次抽到理科试题，B事件为第二次抽到理科试题，进而

313

P（AB）=P（A）P（B）=-x-=-.

【详解】设A事件为第一次抽到理科试题，8事件为第二次抽到理科试题，

313

所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是尸（48）=尸（GP（B）=]X/=R.

故选：D.

5.已知过抛物线C：/=8x的焦点尸且倾斜角为45°的直线交C于Z,8两点，0为弦的

中点，P为C上一点,则|「可+口。|的最小值为（）

A.-IB.8C.—D.5

32

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，求出直线Z3的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借

助几何意义求解作答.

【详解】抛物线V=8x,焦点厂(2,0),准线/：x=-2,直线N8的方程为y=x-2,

y-x-2

；2=8X消去V并整理得:2

由--12X+4=0,设4再,必),B(x2,y2),则占+々=12,

过点。作准线/的垂线，垂足为点。，如图,

令0。交抛物线于点P,在抛物线上任取点P,过P'作尸Z>U/于点川，连接〃。/'尸,。。',

即有|尸产|=|P0|,p尸卜PZ)[,

\P'F\+\P'Q\=\P'D'\+\P'Q\>\QD'\>\QD\=\PD\+\PQ\=\PF\+\PQ\,

当且仅当点尸'与P重合时取等号,

所以|PF|+1P01的最小值为I"1=-(-2)=8.

故选：B

6.已知正四棱柱Z88-44GA的底面边长为2,且该四棱柱的外接球表面积为177，M

为8c的中点，则点A到平面/用加的距离为()

9B・警971318

A.-rD.—

7137

【正确答案】D

【分析】首先根据正四棱柱与外接球的关系，求得四棱柱的高，再以点。为原点，建立空

间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量公式求点到平面的距离.

【详解】设正四棱柱的高为人由其外接球的表面积为17万，可知4和K;"乃，外接球半径

所以也2+2?+万=后,得刀=3.

以。为坐标原点，刀，皮，西的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则4(2,0,0),B、(2,2,3),M(\,2,0),£>,(0,0,3),所以福=(0,2,3),AM=(-1,2,0),ADt=(-2,0,3).

_(2y+3z=0_

设平面力的法向量为〃=(”/),则<,可取〃=(6,3,-2),

[—X+2y=U

则点“到平面AB、M的距离为也丝1=|「2-6=竺.

\n\IJ36+9+47

故选：D

7.已知数列｛叫满足竽=-3吗=1,若，=：+3,数列他,｝的前〃项和为，，且对于任

意的"wN,都有"44S“-3〃-3<4/+2,则实数/的取值范围是()

A.1到B•(一到A卜穹

【正确答案】D

【分析】根据等比数列求明=(-3广，进而得低｝,由分组求和得S,,,根据奇偶即可求解最

值.

【详解】子=-3吗=1,可知m｝为等比数列，所以4=(-3)1，故"=2+3=U'+3,

进而s“=一1『人+3N=--L]+3”，所以

1+144(3；

3

S,,

故S-2,即一泊信卜—TW

当"为奇数时，则对任意的奇数〃，满足,>一\+51挤由于单调递减，

当"=1时，g(w)=---1—［一］有最大值-1,所以r>—1,

\)1616⑶

当〃为偶数时，满足,>一方'部由于/(〃)=(1单调递减，

综上可得f>T,

|s)JSz-4<S-3n-3=>r<-,

"4413)

故当〃=2时，=2，故dg，

4413

--niin

综上：1VZK—,

3

故选：D

8.如图，/BCD—E尸G”是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足

__3I2

AP=-AB+-AD+-AE,则尸至lj48的距离为()

423

【正确答案】C

【分析】以1为坐标原点，AB,AD,ZE所在直线分别为X,Az轴建立空间直角坐标系,

计算出而和万的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.

【详解】如图，以/为坐标原点，/£N。，/£所在直线分别为X,乃z轴建立空间直角坐

标系,

___L1UU1___

则四=(1,0,0),仞=(o,l,o),AE=(0,0,1),

因为"=押+;而+|下，所以"=',贵),

423

a=AP=为I，'新(12叽

——3123

a，u=-x14—xOH—x0=—,

4234

9_5

所以点P到48的距离d=

\6=6

故选：C.

二、多选题

9.已知圆=4,直线/:(3+〃?)x+4y-3+3zn=0(meR),则下列结论正确的是()

A.直线/恒过定点(3,3)

B.当,"=0时，圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1

C.圆C与曲线J+贯一6x-8y+〃？=0恰有三条公切线，则〃？=16

D.当机=13时，直线/上动点P向圆C引两条切线口，PB,其中/,8为切点，则直线

"经过点g司

【正确答案】CD

fx+3=0

【分析】对A将直线化成m(x+3)+(3x+4尸3)=0,则八，解出即为定点；对

[3x+4y-3=0

B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B,对C,直接将，"代入，通过几

何法判断两圆位置关系即可，对D,设点？亿-9-4/),利用两点直径式方程写出以PC为直

径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数，的方程，即可求

出定点坐标.

【详解】由直线/：(3+w)x+4y-3+3w=0,(机eR),整理得:〃?(x+3)+(3x+4y-3)=0,故

fx+3=0[x=-3

L.•，八，解得I，即经过定点(-3,3),故A错误；

[3x+4y-3=0[y=3

当加=0时，直线/为3x+4y-3=0,

•••圆心(0,0)到直线3x+4y-3=0的距离

故圆C上有四个点到直线/的距离都等于1,故B错误;

圆C:，+/=4，其半径r=2,

圆f+/_6x_8y+,〃=0,

当加=16时，X?+_/-6x-8y+16=0,整理得

(x-3y+O-4)2=9,其半径R=3

圆心距为J(3-0)2+(4-0)2=5=r+R=2+3=5，

故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确；

当a=13时，直线/的方程为4x+y+9=0,

设点尸亿一9一旬，圆C:f+/=4的圆心C(0,0)，半径为r=2,

以线段PC为直径的圆M的方程为：

(x-t)x+(9+4/+y)y=0,

即x2+(-Z)x+y2+9y+4少=0,

又圆。的方程为/+/=牝

•••两圆的公共弦的方程为-枕+4伊+9尸4=0

16

x=---

4y-x=09

整理得（"一切+9y+4=0,即9；+4=0,解得

4

y=——

9

即直线45经过点卜故D正确.

故选：CD.

10.已知｛《,｝是等差数列，其前〃项和为S.，若。3+12%=SQ，则下列判断正确的是（）

A.。9=0B.S[7=0C.S«=S”D.。8，40<0

【正确答案】ABC

【分析】根据等差数列的通项与求和公式化简条件得%=0,从而对选项一一判断即可.

【详解】因为｛与｝是等差数列，%+12%=用，所以％+2"+12（1+6"）=12%+66（/,

即q+8d=0,亦即4=。,

所以S=m+；）X17=0厮7=〃,+%+“9+%。+即=A=0'

cig-fll0=（<J9—（/）,（a9+d^=ag—d~=—d~<0.

故选：ABC.

11.已知正方体的棱长为1,点P为侧面8CC0内一点，贝U（）

A.当甲=；不时，异面直线C尸与/。所成角的正切值为g

B.当于=4乎（0<%<1）时，四面体。/W的体积为定值

C.当点尸到平面/8CO的距离等于到直线44的距离时，点尸的轨迹为抛物线的一部分

D.当甲=；不时，四面体8cop的外接球的表面积为2兀

【正确答案】BCD

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切

值；

B选项，证明线面平行，进而得到，四面体。/CP的体积为定值；

C选项，先作出辅助线，得到481平面Z8C。，故设出尸（机」,〃），利用做=PE

列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点P到平面/8C。的距离等于到直线4月的距离

时，点尸的轨迹为抛物线的一部分，C正确；

D选项，作出辅助线，找到球心，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到外接球的表

面积.

【详解】如图1,以。为坐标原点，分别以D4,OC,£>3为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，

则0(0,0,O),N(1,0,0),C(0,1,0),POCP=^,0,=(-1,0,0),

设异面直线C尸与4。所成角为。€(0,],

A错误;

所以四边形/8GA为平行四边形,

故BC\"AD\,

因为8C1<X平面ZC£>[,4O|U平面ZCO1,

所以8CJ/平面/ICR,

故当点P在8G上运动时，点P到平面ACD,的距离不变,

图2

即当于=2乎(0<4<1)时，四面体。/。尸的体积为定值，B正确;

如图3,过点P作PELBC于点、E,连接尸4，

因为4,，平面3CG4,Bfu平面BCC内,

所以44_L与P,

因为N8/平面8CG4，EPu平面8。。同，

所以48J_EP,

因为N8c8C=8,48,8Cu平面/8C。，

所以PE_L平面N8CL),

设P(机,1,〃)，0<^<1,0<»<1,其中4(1,1,1),

当尸B,=PE时,J(〃L1)2+(]_])2+(〃_])2=",

故当点P到平面/8C。的距离等于到直线4区的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分，C

正确;

—1—

如图4,当GP=]C£时，尸为8G的中点，取80的中点°,BC的中点N,连接PN,

则尸N//CG，故尸N_L平面Z5CD,

因为BCLCD,故三角形BCD的外心为点Q,则外接球球心O在过点。且垂直于平面ABCD

的直线上，

故0Q_L平面488,OQ//PN,

图4

连接OP,QN,OB,过点。作0M//QN交PN于点设四面体8cA尸的外接球的半径

为R,

则0B=0P=R,0M=QN=；,0Q=MN,

其中。8=¥，/W=g,设0Q=MN=h,则

2222

由勾股定理得OB=yl（）Q+QB=J店+；,Op=yJoM+PM=Jf+；

故亚+；=/（；_"+；,解得:人=0,

故R-.Io2+—=--,4nR2=2n,

V22

当G---P-1=--^--G---B-时，四面体BCD尸的外接球的表面积为2兀，D正确.

故选：BCD.

立体几何求外接球的表面积或体积问题，要先找到一个特殊平面，一般为直角三角形，矩形

或等边三角形，找到外心，从而找到球心的位置，设出未知数，再根据半径相等列出方程，

求出半径，进而求出外接球的表面积或体积.

12.已知抛物线C:/=2px（p>0）的准线x=-l与x轴相交于点K,过抛物线C的焦点厂的

直线/与抛物线C相交于八。两点，且只。两点在准线上的投影点分别为M、N,则下列结

论正确的是（）

A.p=2B.归。|的最小值为4

C湍筋为定值薮口./PKFOQKF

【正确答案】ABD

【分析】由焦点到准线的距离可得。的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直

线AW的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长

|尸。|的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出|AW|,|PF|,|0F|可

判断C不正确；表示出原〃:小，⑥°=』7，由怎K+AK°=O可判断D正确.

【详解】对于A,因为抛物线C:/=2px（p>0）的准线--1,

所以5=1,则。=2,故A正确；

.\x=my+\

对于B,抛物线C:/=4x,过焦点的直线为则2；，

=4x

整理可得_/_4〃?-4=0,设2（再,必》0（打必）,

可得%+%=4切，yt-y2=^,

22

x,+x=+y）+2=4/w2+2,xx==1

22t216

所以|「。|=阳+马+2=4，*2+4,当"?=0时取等号，

\PQ\最小值为4,所以B正确：

对于C,|MN\=-y2\=，（乂+%）--4",力=J16"『+16=4dm。+1>

|尸尸|=玉+1,|09|=》2+1,

所以|尸尸卜]。尸|=（西+l）（x2+l）=xlx2+xI+々+[=4"，+4,

2l6ffl2+l

|W|_（）_1

所以|PF||0尸广4（/+1）='所以C不正确;

对于D,2(而,必),。(々,%),长(-1,0),kPK=,kPQ=,

X］十1X2十i

k+k=%।%_必(》2+1)+%(占+1)_"(丁")“2(彳+1)

PKKQ

X,+1x2+l(x,+l)(x2+l)(x,+l)(x2+l)

乂午+%乎+%+84%%(必+y)+凹+87(-4)4W+4W

=44__________4___________________4__________Q

2

(x,+l)(x2+l)(x,+1)(x,+^4M?+4

所以/PKF=/QKF,故D正确.

三、填空题

13.数列｛。“｝满足log3a„+1=log,a„+1("eN*),且q+%+%=9,则bgg(%+%+%)=

【正确答案】-2

【分析】由log3%+l=log3a,,+i("GN),得bg3a,+i=bg3(3a.)，即。川=3。“，从而可得数

列｛4｝是以4=3为公比的等比数列，再根据/+%+%=(4+%+。5)/即可得解.

【详解】因为Iog3%+l=log3%(〃eN*),得log3am=log?(3%),

所以4+i=3%,

又因％+%+“5=9,所以q#0,

所以数列｛%｝是以4=3为公比的等比数列，

贝加+牝+%=(1+%+%)q?=81,

++a=2192

所以bgi(a3«57)-°g9=-.

9

故答案为「2

14.集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作

112

的概率分别降为万,5,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少

有2个正常工作，则E能正常工作.否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为

【正确答案】卷

【分析】根据题意可得集成电路E需要维修时，三个电子元件中只有一个或都不能正常工

作，再根据独立事件的乘法公式即可得解.

【详解】根据题意可得集成电路E需要维修时，三个电子元件中只有一个或都不能正常工

作，

112

因为三个电子元件能正常工作的概率分别降为;3,

所以三个电子元件不能正常工作的概率分别降为;，,；，

故集成电路E需要维修的概率为卜入：+葭1:+卜卜：+卜卜卜白.

22322322322312

故答案为.得

15.已知数列｛2｝的各项均为正数，卬=2,24=0,则数列7-------g―

前10项的和为.

【正确答案】黑

【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.

【详解】由-%。“+|-2a：=0=>(a„+l-2an)(a„+1+q)=0nan+l=2an,或all+t=-an,

当。的=-。“时，即芳=T，所以数列｛对｝是以T为公比的等比数列，这不符合数列｛对｝的

各项均为正数；

当°,川=加“时，即子=2,所以数列｛%｝是以2为公比的等比数列，又q=2,

所以a“=2x2i=2",

2"11

因为(%+1)应+1)-(2”"+1)(2"+1)-2"+12"+1+1'

所以，前10项的和为

(。角+1)(%+1)

11111111682

―+11+,,,+'—,=

2'+122+122+123+12,°+12"+1320492049

682

故

2049

16.在直四棱柱/8C。-44GA中，底面Z8CD为正方形，AAt=2AB=2.点尸在侧面

BCCd内，若4c，平面BDP,则点尸到CD的距离的最小值为.

【正确答案】4

【分析】建立空间直角坐标系，设出P点坐标，利用4c，平面8D尸列方程,求得P到CD

的距离的表达式，进而求得所求的最小值.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，

4(l,0,2),C(0,l,0),S(l,l,0),^C=(-l,l,-2),设p(x,l,z),而=(x,o,z).

由于％CJ■平面

…A.C-DB=-\+\+0=0

所以｛J-----所以x+2z=1.

AlCDP=-x+\-2z=0

由于比•丽=0，即CPJ.OC,

P到CD的距离为|CP|=Jx2+z2=-^(1—2z)2+z2=yj5z2—4z+l,

-421aL=,/4、|+1邛.

所以当z=-A=q时,

即P到CD的距离的最小值为手.

75

故

5

四、解答题

17.己知数列｛%｝是公比为2的等比数列，其前"项和为5,,,%,4%-1,2s4成等差数列.

（1）求数列｛““｝的通项公式；

（2）令6,=%+噫+”,求数列也｝的前〃项和7；.

【正确答案】（1）q=2"；（2）7],=2"'-2+彗

【分析】（1）由%,4%-1,2s4成等差数列，可得2（4%-l）=q+2s…利用等比数列通

项公式和求和公式，求解可得q=2,结合夕=2,即得解

（2）代入%=2”可得，=2"+〃，分组求和即得解

【详解】（1）由《，4%-1,2s4成等差数列，且公比2,

所以2（4%-1）=%+2s4,

即8al.2?-2=%+2x%。"）,

'11-2

整理得32%-2=%+30%,解得4=2,

所以数列｛q｝的通项公式为a”=2x2"T=2”.

(2)4=a“+log2%=2"+〃.

所以｛%｝为等比数列，令q,=",%-c“T=l,故仁｝为等差数列

因此分组求和可得：

1=4+4+4+…+如]+bn

=(2,+1)+(2?+2)+仅3+3)+…+[2"-'+(〃-1)]+(2"+")

=(2i+22+23+―+2"T+2")+a+2+―+〃)

_2(l-2")〃(〃+1)

1-2+-2-

=2“+i2i+

---T~

18.已知圆C的圆心为原点，且与直线3x+4y-10=0相切，直线/过点加(1,2).

(1)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)若直线/被圆C所截得的弦长为20,求直线/的方程.

【正确答案】(1)尸2或4x+3y-10=0

(2)3x-4y+5=0或x=l

【分析】(1)首先根据圆与直线3x+4y-10=0相切的几何特征求解圆的方程，再分别讨论

斜率存在与斜率不存在两种情况，采用待定系数法，根据圆心到直线的距离等于半径求解切

线方程即可；

(2)首先根据弦长求出圆心到直线的距离d,再分别讨论斜率存在与斜率不存在两种情况,

采用待定系数法，根据圆心到直线的距离求解直线方程即可.

【详解】(1)圆心解0)到直线3x+4y-10=0的距离d==2，

圆C的半径为2,所以圆。的方程为》2+/=4；

当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为1<,，不相切.

直线斜率存在，设直线/：y-2=k6-1),

,\2-k\4

由"=7=7=2,得％=0或4=一:

Jl+/3

所以切线方程为V=2,或4x+3y-10=0.

（2）设圆心到直线的距离为d,则24/一屋=26，由/'=2,解得4=1.

当直线斜率不存在时，直线方程为x=l,

圆心（0,0）到直线/的距离d=l,即直线/被圆C所截得的弦长为2百，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线/：y-2=kG-1）,

则"=33=1,解得：k=J

yJk2+\4

故/的方程是y-2=：（x-l）,即3x-4y+5=0,

综上所述，直线/的方程为3x-4y+5=0或x=l.

19.江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”

指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、

地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是

首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.

（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科

要求的概率；

（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科

组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

【正确答案】（1），

【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；

（2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可.

【详解】（1）用。力分别表示“选择物理”“选择历史”，用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”“选

择生物”“选择思想政治，，“选择地理，，，

则所有选科组合的样本空间

Q={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd9bee,bcf.bde,bdj,bef},=12,

设〃="从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选

科要求”则M=[acd,ace,acf,ade,adf),n^M)=5,

l7〃⑼12

(2)设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分

别是由题意知事件M，N2，M相互独立.

由⑴知P(NJ=P(M)=尸(M)$.

记％="甲、乙、丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要

求’‘，

则N=NMMuN\N2N3UN\N风uN\NM

易知以上子事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得

P(N)=P(NMM)+P(N瓦%)+尸(而2%3)+尸(乂乂%3)

55J51,555

1212(12)121212

二325

~864,

20.已知正项数列{叫前〃项和为S“，且满足4s“=(%+1R

⑴求4；

(2)令4=装，记数列也“}前"项和为7；，若对任意的〃均有

(3"+4)〃?>(2〃-5)(y-T„)-2"恒成立，求实数机的取值范围.

【正确答案】(l)a.=2〃-M〃eN*)

【分析】(1)根据。“与S,,的关系即可求解;

(2)利用错位相减法求解得力,，参变分离即可求，〃的范围.

【详解】(1)因为4s“=(%+1)2,

当〃22,〃eN•时，有4S,i=(a,i+l)2,

两式相减得

22

4a„=an-a„.｝+2an-2a„_t,移项合并同类项因式分解得

(勺+凡一1)(。“-《1-2)=0,

因为%>0,

所以有。“一《1-2=0,

在4s“=(%+1>中，当"=1得％=1，

所以数列｛见｝是以1为首项，以2为公差的等差数列,

故有％=2〃-l("eN.)

(2)由(1)知"=^7="X(；)"T,

T,23n

,u=i+z+L”+尸

4"442434"

1_±，，

4"n441/7

士=—上-----=——x--------,

4"444"'4'〔I41334l41

4

.163n+4

"~9~9x4"

由题意，对任意的”eN,,均有例+外/心⑵一乂?-公丁恒成立,

(2〃-5)(3〃+4)

/.(3〃+4)m>・2",

9x4'i

42〃一5

即阳恒成立,

设。“=票

2〃—32〃—57—2〃

所以「---------------------------

q,+c.2〃+12〃2"+'

当"43时，c„+1-c„>0,即c“+i>c”；

当〃24时，c〃+i-J<0,即cn+l<cn,

所以％的最大值为=白3，

16

月LLI"9以加2-4x—3=一1.

91612

故〃?的取值范围是

21.如图，在三棱柱/5C-4AG中，底面是边长为2的等边三角形，

CC,=2,ZACC,=60°.D,E分别是线段ZC,CG的中点，二面角G-/。一8为直二面角.

（1）求证：4c，平面5DE；

（2）若点尸为线段4G上的动点（不包括端点），求锐二面角尸-8O-E的余弦值的取值范围.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵

【分析】（1）首先证明4c然后证明平面/4GC,可得即可证明；

（2）首先证明平面N8C,然后以。为坐标原点，丽，刀,西所在直线为x）,z轴建

立空间直角坐标系，设P（x,y,z）,于=2场（0<2<1）,算出两个平面的法向量，然后求出

二面角的余弦值，然后可得答案.

【详解】（1）连接"G，由题设知四边形44CC为菱形，••.4C_LNC1,

分别为AC,CC,中点，DE//AC„.-.AXC1DE；

又。为/C中点，

B

因为二面角C,-AC-8为直二面角，

即平面44CCJ.平面ABC,平面/&GCn平面ABC=AC,BD^^ABC,

BD1平面AA,C,C,又4。u平面AA,CiC,:.BD14c

又BD\DE=D,BD,u平面BDE,&C_L平面BDE.

（2）•••CA=CC,=2,ZACC,=60°,

•・.△4CG为等边三角形，・•.CQLZC,

•••平面AA,C,C1平面/8C,平面44GCCl平面ABC=AC,CQu平面NCG4，

•・・«。，平面/8。，

则以。为坐标原点，丽，万口函所在直线为x）,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

二八

则0（0,0,0）,8（b,0,0）,E1（）,-；，¥）,£（0,0,b）,q（J

3,l,^）,C（0,-l,0）,4（0,2,6）,

二.DB=

设尸（x,y,z）,于=/1场（0<2<1）,则k，y,z-6）=

X=>/3A.,y=A,,Z=y/3,.'.,.,.DP•

由（1）知：4C，平面2。瓦.•.平面BDE的一个法向量加=石|=（0,3,0）；

设平面PBD的法向量万=(区瓦。)