曲线的参数方程和与普通方程的互化

关于曲线的参数方程和与普通方程的互化1、参数方程的概念第2页,共30页，2024年2月25日，星期天（1）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即叫做曲线的参数方程，t为参数。（2）相对于参数方程来说，直接给出点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。第3页,共30页，2024年2月25日，星期天第4页,共30页，2024年2月25日，星期天2、圆的参数方程第5页,共30页，2024年2月25日，星期天复习：1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为

(a,b),半径为r的圆。2.三角函数的定义？3.参数方程的定义？一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即第6页,共30页，2024年2月25日，星期天探求：圆的参数方程∵点P在∠P0OP的终边上,

如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得解:设P（x,y）,(1)我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，。第7页,共30页，2024年2月25日，星期天圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ

(θ为参数)第8页,共30页，2024年2月25日，星期天1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为

:______________;(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________.x=cosθy=sinθx=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圆的参数方程为

,则其标准方程为:_________________.x=5cosθ+1y=5sinθ-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ练习第9页,共30页，2024年2月25日，星期天3、参数方程和

普通方程的互化第10页,共30页，2024年2月25日，星期天（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。如：①参数方程消去参数

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）。注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.

第11页,共30页，2024年2月25日，星期天例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？第12页,共30页，2024年2月25日，星期天例、将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）注意取值范围。第13页,共30页，2024年2月25日，星期天（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程②在普通方程x2+y2=1中，令x=cos

,可以化为参数方程

（t为参数）

（

为参数）第14页,共30页，2024年2月25日，星期天例4

第15页,共30页，2024年2月25日，星期天第16页,共30页，2024年2月25日，星期天x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2、曲线y=x2的一种参数方程是（）.

注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以D第17页,共30页，2024年2月25日，星期天普通方程参数方程引入参数消去参数小结曲线的参数方程；1、2、曲线的参数方程与普通方程的互化：圆的参数方程；3、x=a+rcosθy=b+rsinθ

(θ为参数)第18页,共30页，2024年2月25日，星期天第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第19页,共30页，2024年2月25日，星期天圆的参数方程x2+y2=r2第20页,共30页，2024年2月25日，星期天第21页,共30页，2024年2月25日，星期天椭圆的参数方程：x轴：y轴：第22页,共30页，2024年2月25日，星期天圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ

(θ为参数)应用：(1)参数方程可以用来求轨迹问题.

(2)参数方程可以用来求最值.椭圆的参数方程：第23页,共30页，2024年2月25日，星期天例1如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点,点A(6,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？解：所以，点M的轨迹的参数方程是注意：轨迹是指点运动所成的图形；

轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆第24页,共30页，2024年2月25日，星期天变式

P是椭圆:上的一个动点,点B(6,2).当点P在椭圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹参数方程，解：所以，点M的轨迹的参数方程是它所表示的图形是以（3,1）为中心的椭圆。第25页,共30页，2024年2月25日，星期天例2说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；

已知点P(x,y)是圆

上的一个动点,求:

x+y的最小值。第26页,共30页，2024年2月25日，星期天第27页,共30页，2024年2月25日，星期天双曲线的参数方程

双曲线的参数方程可以由方程

与三角恒等式