曲边梯形的面积及定积分定义

关于曲边梯形的面积及定积分定义微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成的折线曲线？第2页,共37页，2024年2月25日，星期天曲边梯形的面积第3页,共37页，2024年2月25日，星期天1.5.1曲边梯形的面积直线x

0、x

1、y

0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？xyO1为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)演示第4页,共37页，2024年2月25日，星期天

当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值演示第5页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第6页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第7页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第8页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第9页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第10页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第11页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第12页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第13页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第14页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第15页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第16页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第17页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第18页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第19页,共37页，2024年2月25日，星期天观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。第20页,共37页，2024年2月25日，星期天分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面方案“以直代曲”的具体操作过程第21页,共37页，2024年2月25日，星期天（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作第22页,共37页，2024年2月25日，星期天（2）近似代替（3）求和第23页,共37页，2024年2月25日，星期天（4）取极限分割近似代替求和取极限第24页,共37页，2024年2月25日，星期天

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．任取xi

[xi

1，xi

]，以f(x

i)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．区间[xi

1,xi

]的长度Dxi

xi

xi

1

．曲边梯形的面积近似为：A

第25页,共37页，2024年2月25日，星期天分割近似代换求和取极限（类似方法求汽车行驶的路程）曲边梯形的面积近似为：第26页,共37页，2024年2月25日，星期天定积分的概念第27页,共37页，2024年2月25日，星期天第28页,共37页，2024年2月25日，星期天第29页,共37页，2024年2月25日，星期天第30页,共37页，2024年2月25日，星期天(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：第31页,共37页，2024年2月25日，星期天(2)近似代替、作和第32页,共37页，2024年2月25日，星期天第33页,共37页，2024年2月25日，星期天定积分的性质:第34页,共