2023-2024学年北京市平谷区高一年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年北京市平谷区高一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知集合厶={》|()<^<3},集合8={x|xN2}.则集合AB=

A.{x|x<2}B.{x10<x<2}

C.{x12<x<3}D.{x|x>2)

【正确答案】C

【分析】已知集合A、集合8,由集合的基本运算，直接求解

【详解】集合A={x|0<x<3},集合8={中之2},则集合AB={x|2<x<3}.

故选：C

2.命题p:Vx>l,x(x-l)>0,则力是()

A.Vx>l,x(x-l)<0B.Vx<l,x(x-1)>0

C.注41，%(%-l)>0D.3A-0>1,XO(XO-1)<O

【正确答案】D

【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.

【详解】命题p：Wx>l,x(x-l)>0,则力.训

故选：D

3.下列函数中，既是奇函数又在((),+8)上是增函数的是()

A./(x)=x|x|B.〃x)=x+g

C.f(x)=\nxD./(x)=2v

【正确答案】A

【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.

【详解】对A,函数/(x)=x|x|,定义域为R,/(-x)=-x|-x|=-x|x|=-/(x),函数为奇

函数，当xe(0,+s)时，〃x)=x2,在(0,+巧上单调递增，A选项正确；

对B,函数/(x)=x+J,/[)=；+4>/[£|=；+2,不满足在(0,+功上是增函数，B选

项错误；

对C,函数/（x）=lnx,定义域为（（）,+“），不是奇函数，C选项错误；

对D,函数/（x）：2*,定义域为R,值域为（0,+8）,函数图象在x轴上方，不关于原点对

称，不是奇函数，D选项错误.

故选：A

4.已知实数a,4c满足av0<6<c,则下列式子中正确的是（）

A.b-a>c-bB.a2<beC.2~b<2-uD.\a\b<\c\b

【正确答案】C

【分析】ABD错误的选项可以取特殊值进行判断，C选项可以利用指数函数的性质判断.

【详解】对于A选项，例如。=-1力=1,。=20,则万一a=2,。一匕=19,不满足6-a>c-6,

A选项错误；

对于B选项，例如。=-5,b=l,c=2,a2=25,be=2,不满足/〈A,B选项错误；

对于C选项，由a<0<6<c•可知，4<-a,结合指数函数y=2、在R上递增可知，2f<2,

C选项正确；

对于D选项，例如。=-5力=l,c=2,|a|6=5,|c附=2,不满足|a附<|。g，D选项错误.

故选：C

5.5知。=3°2力=log（）,23,c=k>g32,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>hD.c>b>a

【正确答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.

【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，

2

a=3°,>3°=1>b=log（）23<log021=0,

e=log32,由0=log31<k>g32<k>g33=l,则

所以a>c>6,

故选：B.

6.若角a的终边与单位圆交于点（%.；），则下列三角函数值恒为正的是（）

A.cosatanaB.sinercos«C.sinatanaD.tana

【正确答案】A

【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.

【详解】由题意得：sina=g,cosa=x（）=±J二工=±2,，

AA选江京项，cosat.ana=cosa--s-i-n--a=sina=->10,

cosa3

B选项，sinacosa=g不可能正，可能负，不确定；

sin?exI

C选项，sinGftana=-------=丁可能正，可能负，不确定；

cosa9Ao

D选项，tana=包区=土变，错误.

cosa4

故选：A

7.函数/（x）=xlnx-3在下列区间内一定存在零点的是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【正确答案】B

【分析】构建新函数g（x）=lnx-j,根据单调性结合零点存在性定理分析判断.

【详解】令”x）=xlnx-3=0,则lnx-；=0,

构建g（x）=lnx-3,则g（x）在（0,+e）上单调递增，

3

■:^（2）=ln2--<0,/（3）=ln3-l>0,

•••g（x）在（0,+8）内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是（2,3）,

故函数/（司=短11%-3一定存在零点的区间是（2,3）.

故选：B.

8.已知函数定义域为力，那么“函数f（x）图象关于y轴对称”是“SeO,都存在

当€。，使得/区）=/（々）成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.

【详解】解：函数"X）定义域为£>,若函数"X）图象关于y轴对称，则VxeO,则-xw£>,

且/（x）=y（-x）,

所以％e。，都存在X?=fe。，使得满足/区）=/（-玉），即JG）=f（X2）成立，故充分

性成立；

若函数〃x）=|x-1|,其定义域为R,满足％eR,都存在多=2-々eR,使得

/'（々）=卜2-1|=|2-%一1|=|1一蜀=后一1|=/（4）成立，

但是函数/（X）的图象不关于y轴对称，故必要性不成立；

故“函数”X）图象关于y轴对称”是“气€力，都存在修€。，使得，占）=/。2）成立”的充

分不必要条件.

故选：A.

9.中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药

量）（单位：毫克）随时间X（单位：h）的变化情况如图所示.在药物释放过程中，y与X

成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为丫=（a为常数）,据测定,当空气

中每立方米的含药量降低到g毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释

放开始到学生能进入教室，至少需要经过（）

D.lh

【正确答案】C

【分析】根据函数图象经过点（021）,求出。的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即

得.

【详解】由题意知，点（021）在函数y=（丄］"的图象上,

所以不厂

解得a=0.2,

所以>=閉x-0.2

【9丿313丿3

所以2x—0.4>1,

解得x>0.7,

所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.7小时.

故选：C.

10.已知三角形ABC是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC的顶点A与原点重

合.A8在x轴上，然后将三角形沿着x轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时,

将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；

②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；

③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是手

④完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是号.

其中说法正确的是（）

A.①②B.①@④C.②③④D.①@

【正确答案】D

【分析】依题意将一AfiC沿着x轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点A轨迹，由题目中“一

个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.

如上图，沿着X轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：

第一步，―ABC绕点8顺时针旋转至线段落到x轴上8G位置，得到△A8C，此时顶点

A的轨迹是以B为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点A由原点。沿44,运动至A位置；

第二步，△44G绕点cjii页时针旋转至线段CM落到x轴上G4位置，得到△&B：G，此时

顶点A的轨迹是以G为圆心，|£A|为半径的一段圆弧，即顶点A由A沿A4运动至为位置,

落到x轴，完成一个周期.

对于①，•.•|AB|=|4G|=|G阕=2,•,.一个周期|他|=6,故①正确；

对于②，如图所示，完成一个周期，顶点A的轨迹是AA和A4组成的曲线，不是半圆，故

②错误；

TT2冗

对于③，由已知，幺旳=”瓦甘=

47r47r

.**AA［的弧长4=ZA}BA-\BC\=—,A4的弧长厶=/4。出二彳，

•••完成一个周期，顶点A的轨迹长度为三47r+/4冗=与Rjr，故③正确；

对于④，如图，完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的图形为扇形B44一扇形GA4与

的面积和,,:=4G4=y,

・w_12兀_2_4兀

,•3扇形5AA一»扇形qA4-2*丁*Z--，

♦.•等边一A3C边长为2,二SA“,=G，

•••完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是与+g+抬=等+石，故④错误.

，正确的说法为：①③.

故选：D.

方法点睛：分步解决点A轨迹，第一步是_ABC绕点8滚动得到△A4G，第二步是△AB|G

绕点G滚动得到△人员G,再将两步得到的点A轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确.

二、填空题

11.sin——.

3---------

【正确答案】£

2

【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.

【详解】sin-=sin^+-^=-8111—=--

313丿32

故4

本题主要考查诱导公式，属基础题.

12.函数/(x)=x/1+lnx的定义域为.

【正确答案】1+8)

【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.

【详解】函数〃x)=Jl+lnx有意义,则有解得xzg,即函数定义域为1+8

故“a)

13.函数/(x)=Y—x+1在区间［0,3］上的值域是.

-3-

【正确答案】1,7

4_

【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.

1Q

【详解】/(X)=V—X+l=(X—；)2+1

所以,在［O')上单调递减,在(别上单调递增,

=/(0)=1,/(3)=7,所以F3值域为1,7.

「31

故答案为.-,7

_4_

14.已知函数〃x)=k)g2(x+l),若〃x)>N，则X的范围是.

【正确答案】（。,1）

【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.

【详解】作出函数y=bg2（x+l）和函数y=|x|的图像，如图所示,

两个函数的图像相交于点（0,0）和（1,1）,当且仅当xw（o,i）时，y=log2（x+l）的图像在

的图像的上方，即不等式f（x）＞|x|的解集为（0,1）.

故（0,1）

15.在平面直角坐标系xO），中，设角a的始边与x轴的非负半轴重合，角a终边与单位圆相

交于点尸］1，为），将角口终边顺时针旋转兀后与角夕终边重合，那么cos?=.

3

【正确答案】--##-0.6

【分析】先根据三角函数的定义算出cosa,然后根据a,夕的关系结合诱导公式计算cos夕.

3

【详解】根据三角函数的定义，cosa=1,由题意，p=a-Tt,于是

cosp=cos（a-7t）=-cosa.

故-5

16.已知某产品总成本C（单位:元）与年产量Q（单位:件）之间的关系为C=40Q2+16000.设

年产量为。时的平均成本为了（。）（单位：元/件），那么了（。）的最小值是.

【正确答案】1600

【分析】由题意得到年产量为。时的平均成本为/（。）='|=40。+的黑，再利用基本不等

式求解.

【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量。（单位：件）之间的关系为

C=40e2+16000.

所以年产量为Q时的平均成本为〃Q）=W=40Q+幣•号^=1600,

当且仅当40。=竺詐，即Q=20时，f（Q）取得最小值，最小值为1600,

故1600

三、双空题

2'—1,x＜。

17.已知函数=,(16、、，a为常数.

~x\X-------|,XNQ

I3丿

（1）当。=3时，如果方程〃司-左=0有两个不同的解，那么k的取值范围是.

（2）若/（X）有最大值，则〃的取值范围是

【正确答案】（T7）[0,3]

【分析】（1）通过讨论y=2T和＞'=r（a果的单调性得出函数“X）在a=3时的单调性,

将方程/（x）-&=0有两个不同的解转化为函数/（x）与直线y=k有两个不同的交点的问

题，即可得出k的取值范围.

（2）根据⑴中得出的―和y=的单调性，分类讨论“不同情况时“X）

图象的情况，即可得出“的取值范围.

【详解】解（1）由题意，

在＞=2、-1中，函数单调递增，且y＞-1,

16

对称轴X-b_M_8,

2a2x（-1）3

•••函数在x=g处取最大值，为丫=一但1+3、号=竺,

3'（3丿339

函数在18q）上单调递增，在（3+8）上单调递减，

2'—1,x<。

在/(无)=,a为常数中,

一为,x>a

2"-l,x<3

当a=3时，f(x)=-16

-xX--,x>3"

函数在(-8,3)上单调递增，在B”)上单调递减，

当x<3时，/(x)=2r-l</(3)=23-1=7,

V/(x)=2x-l>-l,

.•.当x<3时，-l</(x)<7,

当x23时，/(x)=-x2+y.r</(3)=-32+yx3=7,

.,.函数在x=3处取最大值7,

♦.•方程/(同一々=0有两个不同的解，

即〃x)=%有两个不同的解，

；・函数/(x)与直线y=Z有两个不同的交点,

一1<A<7,

.•.左的取值范围为(-1,7),

(2)由题意及(1)得，

在y=2*-l中，函数单调递增，且>>-1,

在y=-x（x-与）中，对称轴x=|,在x=g处取最大值

且在卜8,斷上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

2X-\,x<a

函数/（X）=|（⑹、，。为常数

一》卜一7\X~a

：f（x）有最大值,

二y=2*_l在x="的值要不大于y=_x（》_?）在x=a的值,

16

当a<0时，y=2'-l图象在y=-xx上方,

16

显然y=2*-1在x=。的值要大于y=-xx在x=a的值，不符题意，舍去

当aNO时，由（1）知,

(x-9)在x=a的值,

当04aV3时y=2*-l在x=a的值不大于y=-x

综上，0<a<3.

故(-1,7)；[0,3].

思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将

问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分

析求解.

四、解答题

3兀

18.已知cosa=-g,ae2,71

(1)求sina,tana；

cos（3兀+a）

（2）求.（兀—7—的值.

sinl2+aJian（兀一a）

44

【正确答案】（l）sina=tana=--.

【分析】(1)由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可;

(2)结合第(1)问结果，由诱导公式进行运算即可.

【详解】(1)sin2a=l-cos2cr=l-f-1^=£，

.sina4

••tanOL---------=—.

cosa3

cos（3兀+a）cos（乃+a）-cosa

（2）原式.，兀Y/、cosa（-tana）（sii

（2丿'丿Ico

--c-o-s-a=—3—

sina4

19.己知函数/（力=戸+mc-2/n+l（meR）

⑴若函数f(X)在区间(-1,3)上单调，求实数胆的取值范围;

⑵解不等式/(x)<2x+l.

【正确答案】⑴(YO,-6]U[2,+8)

(2)当机=-2时，不等式/(x)<2x+l的解集为0,

当相>一2时，不等式f(x)<2x+l的解集为(—犯2),

当m<-2时，不等式f(x)<2x+l的解集为(2,-m),

【分析】(1)根据二次函数的性质确定参数加的取值区间；

(2)由题化简不等式/(x)<2x+l,求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式

〃x）<2x+l的解集.

【详解】(1)函数/(力=』+侬-2租+1的对称轴x=-£,

函数/(x)在区间(T,3)上单调

依题意得或一：23,

22

解得机22或机V-6,

所以实数机的取值范围为(e,-6]u[2,+8).

(2)由/(x)<2x+l,

即x2+mx—2m+\<2x+I,

即x2+(WJ-2)X-2/T?<0,

令x2+(加一2)x-2m=0=>(X-2)(X+〃2)=0

得方程的两根分别为2,-，"，

当2=-m，即,〃=—2时，不等式〃x)<2x+l的解集为0,

当2>-以,即m>—2时,不等式〃x)<2x+l的解集为(-〃?,2),

当2<-/n,即“<—2时,不等式〃x)<2x+l的解集为(2,一间，

综上，当隕=-2时，不等式f(x)<2x+l的解集为0,

当机>-2时，不等式/(x)<2x+1的解集为(-m,2),

当初<一2时，不等式/(x)<2x+l的解集为(2,-m),

20.给定函数/Xx)=2二-1.

X+1

⑴求函数/(X)的零点；

(2)证明：函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增；

⑶若当xe(0,+8)1f寸，函数/(x)的图象总在函数g(x)=or-3图象的上方，求实数a的取值

范围

【正确答案】(l)x=l,》=-；；

(2)见解析；

(3)(-co,2].

【分析】⑴令人刈=0求解即可；

（2）根据函数单调性的定义证明即可；

（3）由题意可得〃＜2三x+42在xe（0,Ko）上恒成立，令〃（x）=2,-xj+2*,x＞0,利用函数的单调

X+1XX+1X

性的定义可得〃（X）在（0,转）上单调递减，且有“（X）＞2,即可得。的取值范围.

【详解】（1）解：因为〃x）=2二-1,所以XH—1,

X+1

?r2

令/。）=-----1=0,则有2x2=x+l，

x+l

即2x,-x-l=0,解得了=1或》=一：；

（2）证明：任取X|，W€（0,+8）,为＜々，

2x22x；_2X]2(x+1)-2石(玉4-1)_2(大一工2)(%£+玉+W)

则/a）—/（w）=12

%+1尤2+1(x+l)(x2+l)(x+l)(x2+l)

因为—以*:爲;尸＜。,

即f（%）-）V°=/（X|）＜f（x2），

所以函数fM在区间（0,+8）上单调递增;

（3）解：由题意可得至-l＞ox-3在xe（0,+8）上恒成立,

x+l

2x

即。〈，士+W2在Xw(0,+8)上恒成立，

X+1X

..,2x222_2_八

令〃(xx)=------+-=-----------+2=----------F2,x>0,

x+lxxx+lx(x+l)

2

因为x＞0,+2>0+2=2,

x(x+l)

22

当x趋于+8时,趋于0,+2趋于2,

x(x+l)Mx+1)

所以〃(x)e(2,+8),(x>。),

2x

所以由上+*2在）上恒成立可得。＜2,

X+1X

故。的取值范围为（v，2].

21.如图，四边形Q43C是高为2的等腰梯形.OA//BC,OA=4,CB=2

（2）记等腰梯形OABC位于直线x=机（0＜，〃＜4）左侧的图形的面积为了（〃?）.

①当机=3时，求图形面积/（加）的值；

②试求函数y=/（加）的解析式，并画出函数），=/（附的图象.

【正确答案】（1）腰OC所在直线方程为丫=加，腰AB所在直线方程为丫=-&+46；

⑵①/W）=-^,

O

m2,0</„<1

2

②/（"?）=，<m<3图象见解析.

2

nr-4y/3m+11\/3,3<m<4

2

【分析】（1）由已知，解三角形求点。AaC的坐标，利用待定系数法求其方程；

（2）①解三角形结合三角形面积公式求0＜帆＜1时/（⑹的解析式，由此求机=g时的

值；

②分别在条件。〈机41,1＜机43,3Vm44下求/（〃?），由此可得函数＞=/（，"）的解析式,

作出函数y=f（㈤的图象.

【详解】（1）过点C作CE丄04,垂足为E,过点8作丄。4,垂足为尸，又OAMBC,

BC=2,

所以四边形3CEF为矩形，且E尸=2,

因为四边形。WC为等腰梯形，0A=4,OC=A8=2,

所以。E=AF=1,CE=BF=6,

所以0（0,0）,C（1,6）,B（3,6）,A（4,0）,

设直线0C的方程为丫=h，则6=2x1,所以k=G，

所以腰OC所在直线方程为y=V3x,

e\fi=3s+t.[s=-\[3

设直线A8的方程为卜=5汗+/,则八）,所以「，

0=4s+/^=4V3

所以腰AB所在直线方程为y=--y/3x4-45/3,

y\CB

丄丄

A

0\EFA^.X

x=m

(2)①当0<m41时，设直线-1=机与直线。4,。。的交点分别为加,2,则MN//CE,

所以,OMN~OECf所以-=——OM,又「OM=m,CE=6r,OE=\,

OE

所以MN=6m，

所以f(m)=S=；x〃zxGmA/32

OMN=——m

2

故当T时，f⑹邛,

y\CB

/\.

►

0MEFAX

人rri

②由①知，当0<机41时，

当1〈加43时，设直线*=机与直线QAOC的交点分别为G,H,则GH//CE,

由已知四边形CEG”为矩形

（）

所以/根=s0CE+SCECH=T+（/77-1）V3=6m——,

yA

'CHB

/\

>

0EGFAX

x=m

当3<〃?W4时，设直线x=m与直线。4OC的交点分别为K,L,则也〃

所以一A/tL'AFB,

所以必=竺，又AK=4-九BF=G,AF=1,所以MN=6(4-加)，

17DA17\/

所以/(皿)=$3吐_54M=(2+?這一；(4-〃?)・退•