2024届北京市通州区九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2024届北京市通州区九年级数学第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”O

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，AABCgaAEF且点F在BC上，若AB=AE,NB=NE,则下列结论错误的是（）

A.AC=AFB.ZAFE=ZBFEC.EF=BCD.ZEAB=ZFAC

2.已知Sina=@，且α是锐角，则α的度数是（）

2

A.30oB.45oC.60oD.不确定

3.某校准备修建一个面积为20（）平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为X米，根据题意可列方

程为（）

A.X（χ-12）=200B.2x+2（X-12）=200

C.X（x+12）=200D.2x+2（x+12）=200

4.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

□□

主视图左视图

oπutra

A.长方体B.圆锥C.三棱柱D.圆柱

5.在及ZviBC中，ZC=90o,AB=13,AC=5,则S"A的值为

6.如图，在RtaABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC=3,CD=2,则COSA的值为（）

34√7

A.-B.-rD,也

4334

20,CD是。的弦,CDlAB9垂足为E,且BE:A£=1:4,则Co的长为（）

12C.16D.18

8.如果x：y=1：2,那么下列各式中不成立的是（)

x+y3y-χɪC.ɪ2x+1_2

A.B.------：D.7+T^3

丁2y2XT

9.在平面直角坐标系中，将二次函数y=3χ2的图象向左平移2个单位,所得图象的解析式为（）

A.y=3√-2B.y=3X2+2C.y=3(x-2)^D.y=3(x+2)2

10.在RtA4BC中，NC=90。，若COSB=—，贝!∣sinA的值为（）

2

1√3

B.一C.D

2^T

二、填空题（每小题3分,共24分）

2

11.如图，双曲线y=1（x>0）经过RtAQ钻斜边OB的中点。，与直角边AB交于点C.过点。作JDE_LQ4于点

E,连接。C,则AOBC的面积是.

43

12.如图，ZAOB=90o,且OA、OB分别与反比例函数V=-（X>0）、y=—（x<0）的图象交于A、B两点,则tan/OAB

的值是.

13.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞

行高度W单位：⑼与飞行时间x(单位：S)之间具有函数关系y=-5x2+20x,在飞行过程中，当小球的行高度为15机时,

则飞行时间是.

14.如图，在R∕ΔABC中，NABC=90。，BO为AC边上的中线，过点C作CEJ_8D于点£,过点A作BO的平

行线，交CE的延长线于点尸，在A尸的延长线上截取FG=30,连接BG、DF.若AG=26,BG=IO,则CF

的长为.

15.已知点4(3,山)、B(2,力)都在抛物线y=-(x+l)2+2上，则以与力的大小关系是.

16.已知正方形A5C。边长为4,点尸为其所在平面内一点，PD=亚,ZBPD=90°,则点A到8p的距离等于.

17.如图，RtAABC中，NA=90。，NB=30。，AC=6,以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面

积为.(结果保留兀)

11

18.化简：2(α—b)—3(—α+〃)=.

22

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，已知抛物线y=x1+2x的顶点为A,直线y=x+2与抛物线交于B,C两点.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)作CDLx轴于点D,求证：AODCsAABC;

(3)若点尸为抛物线上的一个动点，过点尸作PMLx轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以

O,P,M为顶点的三角形与aABC相似？若存在，请求出这样的尸点坐标；若不存在，请说明理由.

20.(6分)解方程：

(1)X2-2x-1=0；

(2)(2x-1)2=4(2χ-1).

21.(6分)如图，AC是。O的一条直径，AP是。O的切线.作BM=AB并与AP交于点M,延长MB交AC于点E,

交。O于点D,连接AD.

(1)求证：AB=BE;

(2)若G)O的半径R=5,AB=6,求AD的长.

22.(8分)抛物线y=0√+历+c的对称轴为直线X=1,该抛物线与X轴的两个交点分别为A和8,与)’轴的交点

为C,其中A(7,0),C(O,-3).

(1)写出点8的坐标；

(2)若抛物线上存在一点P,使得APOC的面积是ABoC的面积的2倍，求点尸的坐标；

(3)点”是线段BC上一点，过点M作X轴的垂线交抛物线于点。，求线段长度的最大值.

23.(8分)如图，抛物线y=αx2+2x+c(α<0)与X轴交于点A和点8(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与

y轴交于点C,OB=OC=I.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)如图1,连接BC,点。是直线5C上方抛物线上的点，连接。£>,CD,0。交BC于点尸，当SACOF：SACDF=IS

2时，求点。的坐标.

3

(1)如图2,点E的坐标为(0,--),在抛物线上是否存在点P,使NoBP=2N08E?若存在，请直接写出符合

2

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(8分)如图，AB是。的直径，直线MC与。。相切于点C.过点A作MC的垂线，垂足为。，线段AO与OO

相交于点E.

(1)求证：AC是ND43的平分线;

(2)若AB=IO,4。=4百，求AE的长.

25.(10分)某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80切1/〃的平均速度用6〃到达目的地.

(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度U与时间f有怎样的函数关系？

(2)如果该司机返回到甲地的时间不超过5用，那么返程时的平均速度不能小于多少？

26.(10分)如图，已知点C(0,3),抛物线的顶点为A(2,0),与y轴交于点5(0,1),尸在抛物线的对称轴上,

且纵坐标为L点尸是抛物线上的一个动点，过点尸作PM,X轴于点M,交直线CF于点"，设点尸的横坐标为，

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸在直线C尸下方的抛物线上，用含机的代数式表示线段P"的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的

坐标；

(3)当PF-PM=I时，若将“使ApCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使APC产的周长最小的

点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出APC尸的周长最小时“巧点”的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【分析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，∆ABC^∆AEF,可推出AB=AE,NB=NE,AC=AF,EF

BC.

【详解】V∆ABC^∆AEF

ΛAB=AE,NB=NE,AC=AF,EF=BC

故A,C选项正确.

V∆ABC^∆AEF

ΛZEAF=ZBAC

.∙.ZEAB=ZFAC

故D答案也正确.

NAFE和NBFE找不到对应关系，故不一定相等.

故选：B.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等.

2、C

【分析】根据sin60。=且解答即可.

2

【详解】解：∙..α为锐角，sinα=,sin60。=^^,

22

Λa=60o.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3、C

【解析】解：宽为X,长为x+12,.∙.xa+12)=1.故选C∙

4、D

【分析】首先根据俯视图排除正方体、三棱柱，然后跟主视图和左视图排除圆锥，即可得到结论.

【详解】V俯视图是圆，

二排除A和C,

Y主视图与左视图均是长方形，

.∙.排除B,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、

左面和上面看，所得到的图形.

5、D

【分析】利用勾股定理即可求得BC的长，然后根据正切的定义即可求解.

【详解】根据勾股定理可得：BC=VAB2-AC2=√132-52=12

ΛtanA=^12

ACT

【点睛】

本题考查了勾股定理和三角函数的定义，正确理解三角函数的定义是关键.

6、A

【分析】利用直角三角形的斜边中线与斜边的关系，先求出AB,再利用直角三角形的边角关系计算cosA.

【详解】解：∙.∙CD是RtaABC斜边AB上的中线，

ΛAB=2CD=4,

AC3

：.CoSA=-----=—.

AB4

故选A.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边的中线与斜边的关系、锐角三角函数.掌握直角三角形斜边的中线与斜边的关系是解决本

题的关键.在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.

7、C

【分析】连接OC,根据圆的性质和已知条件即可求出OC=OB=3AB=10,BE=∣AB=4,从而求出OE,然后根

据垂径定理和勾股定理即可求CE和DE,从而求出CD.

【详解】解：连接OC

VAB=20,BE-.AE^∖Λ

ΛOC=OB=ɪAB=10,BE='A3=4

25

ΛOE=OB-BE=6

TC/）是的弦，C0∙LΛB,

.∙.DE=CE=Joc'-0炉=8

ΛCD=DE+CE=16

故选：C.

【点睛】

此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.

8,D

x+VXJcIx+y3

【解析】试题分析：由题意分析可知：A中，--=-+1l,--=---^=彳，故不选A；B中,

y2y2

y-x,x.lI,,_工,XIy2x+l2

—-=i__=i--=τ»故不选;C中，_=彳=＞」=；；D中，一-≠-,故选D

yy22v2xly+l3

考点：代数式的运算

点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解

9、D

【分析】先确定抛物线y=3x∣的顶点坐标为(0,0),再根据点平移的规律得到点(0,0)向左平移1个单位所得对应

点的坐标为(-b0),然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可.

【详解】解：抛物线y=3x∣的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向左平移1个单位所得对应点的坐标为(-1,0),

.∙.平移后的抛物线解析式为：y=3(x+1)ɪ.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常

可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶

点坐标，即可求出解析式.

10、B

【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin(90o-α)=cosa,cos(90o-a)=Sina解答即可.

【详解】解：解：T在AABC中，ZC=90o,

ΛZA+ZB=90o,

.*.sinA=cosB=ɪ，

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当NA+NB=90。时，SinA=CoSB是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、1

【分析】先证明aOEDs∕kθAB,得出相似比="=」，再根据反比例函数中k的几何意义得出

OB2

SAAOC=SADOK=-XZ=I,从而可得出AAOB的面积，最后由SAoBC=SAAoB-SAAoC可得出结果.

2

【详解】解：VZOAB=90°,DE±OA,

ΛDE∕∕AB,

ΛΔOED^ΔOAB,

YD为OB的中点D,

.OD_ɪ.S.ODE_(_ɪ

,

"^OB~2''SOAB~2一〃

2

・・,双曲线的解析式是y=-,

X

.1

♦∙SAAOC=SADOE=—X2=1,

2

•∙SAAOB=4SADOE=4,

∙*∙SAOBC=SAAOB-SAAOC=I>

故答案为：L

【点睛】

k1

主要考查了反比例函数y二—中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引X轴、y轴垂线，所得三角形面积为7∣k∣,是

X2

经常考查的一个知识点.

12、2

2

4

【分析】首先过点A作AC±x轴于C,过点B作BD±x轴于D,易得aOBDsaAOC,又由点A在反比例函数V=-

X

33

的图象上，点B在反比例函数V二--的图象上，即可得Sooc=2,SΔOBD=,然后根据相似三角形面积的比等于相

X2

似比的平方，即可得丝=立，然后由正切函数的定义求得答案.

OA2

【详解】解：过点A作AC,X轴于C,过点B作BD_Lx轴于D,

JNACO=NODB=90。，

ΛZOBD+ZBOD=90o,

VZAOB=90o,

ΛZBOD+ZAOC=90o,

ΛZOBD=ZAOC,

ΛΔOBD∞∆AOC,

,

,,5ΛOCIOAJ

43

・・・点A在反比例函数y=—的图象上，点B在反比例函数y=一-的图象上，

XX

.3

・・S∆OBD=—，S∆AOC=2,

2

.0B√3

••------------9

OA2

AtanZOAB=-

OA2

故答案为：立.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.注意掌握数形结合思想的应用，注

意掌握辅助线的作法.

13>Is或3s

【解析】根据题意可以得到15=-5x2+20x,然后求出X的值，即可解答本题.

【详解】Vy=-5X2+20X,

当y=15时,15=-5x2+20x,得xι=l,X2=3,

故答案为IS或3s∙

【点睛】

本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程

的知识解答.

14、12.

【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD,则可判断

四边形BGFD是菱形，则GF=1(),则AF=16,AC=20,在RtaACF中利用勾股定理可求出CF的值.

【详解】解：VAG√BD,BD=FG,

.∙.四边形BGFD是平行四边形，

VCF±BD,.,.CF±AG,

又T点D是AC中点，

ΛBD=DF=ɪAC,

2

.∙.四边形BGFD是菱形，

/.GF=BG=IO,则AF=26-10=16,AC=2×10=20,

T在RtZkACF中，ZCFA=90°,

.∙.AF2+CF2=AC2,即CF=√202-162=12,

故答案是：1

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是

菱形.

15、yι<y∖

【分析】先求得函数的对称轴为X=-1,再判断A(3,X)、8(2,%)在对称轴右侧，从而判断出X与的大小关

系.

【详解】V函数尸-(χ+l)∣+l的对称轴为X=-1,

.∙.A(3,yj、3(2,必)在对称轴右侧，

Y抛物线开口向下，在对称轴右侧y随X的增大而减小，且3>1,

.∙.J1<J>1.

故答案为：yι<yι.

【点睛】

本题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出答案是解

题关键.

1β3√3+√5^3ΛΛ-√5

lo›--------------取---------

【分析】由题意可得点尸在以。为圆心，石为半径的圆上，同时点尸也在以30为直径的圆上，即点尸是两圆的交

点，分两种情况讨论，由勾股定理可求8P,4"的长，即可求点4到BP的距离.

【详解】•••点ρ满足PD=石，

.∙.点尸在以。为圆心，正为半径的圆上，

VZβPD=90o,

.∙.点尸在以80为直径的圆上,

.∙.如图，点尸是两圆的交点，

若点尸在Ao上方，连接AP,过点4作AHJ

•：CD=4=BC,ZBCD=90°,

ΛBD=4√2»

•：NBPD=9Q°,

.∙.BP=^BD2-PD2=36，

•：ZBPD=90°=NBAD,

.∙.点A,点3,点O,点尸四点共圆，

：.ZAPB=ZADB=45o,S.AHLBP,

：.ZHAP=ZAPH=45°,

：.AH=HP,

在RtAAHB中，AB1=AH1+Bti1,

：.16=AH2+（3√3-AH）2,

.∙.AH=NI上*5（不合题意），或4“二3百一百,

22

若点尸在。的右侧，

同理可得AH=N叵土近，

2

4<⅛LFK'-t∙Λu3^3+ʌ/ʒTɜvɜ-ʌ/ʒ

综上所述：AH=----匚或一）i———.

22

【点睛】

本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以。为圆心，石为半径的圆和以BO为直径的圆的交点是解决问题的

关键.

17、9√3-3π

【解析】试题解析：连结AD.

T直角AABC中，NA=90。，ZB=30o,AC=6,

ΛZC=60o,AB=6√3,

VAD=AC,

.∙.三角形ACD是等边三角形，

ΛZCAD=60o,

二ZDAE=30o,

.∙.图中阴影部分的面积=-×6×6√3-i×6×3√3-3°7z^x6-=9√3-3Λ-

22360

1

18、-Ci—4/>.

2

31

【解析】试题解析：原式=2。一人一一α-3b=7α-4b.

22

故答案为—a—4b.

2

三、解答题(共66分)

5577

19、(1)B(-2,O),C(1,3)；(2)见解析；(3)存在这样的点P,坐标为(-一，-一)或(-一，一)或(-

3939

5,15).

【分析】(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标;

(2)根据勾股定理可得NABC=90。，进而可求AODCs^ABC.

(3)设出P点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得P点的坐标.

【详解】(1)解：y=x2+2x=(x+D2-ι,

工顶点A(-1,-1)；

x--2CX=I

,解得:<或V

y=01y=3

ΛB(-2,0),C(1,3)；

(2)证明：VA(-1,-1),B(-2,O),C(1,3),

AAB=-2+1)2+(0+1)2=√2，

22

BC=1J(-2-l)+(0-3)=3√2»

22

AC=1J(-l-l)+(-l-3)=2√5，

Afi_√2_1

ΛAB2+BC2=AC2,

BC^3√2^3

.∙.NABC=9()°,

VOD=I,CD=3,

0。_1

CD~3,

ABOD

—=——，ZABC=ZODC=90o,

BCCD

Λ∆ODC^∆ABC;

(3)存在这样的P点，设M(x,0),则P(x,x2+2x),

ΛOM=∣x∣,PM=∣X2+2X∣,

当以O,P,M为顶点的三角形与AABC相似时，

PMABPMCB

有—-WC=9

OMBCOMAB

由（2）知：AB=及，CB=3√2,

①当也=竺时，则1×⅛LL=1,当P在第二象限时，χ<0,x2+2x>0,

OMBCIxl3

27

：.X+2X=L解得：Xl=O（舍），x2=-一，当P在第三象限时，x<0,x2+2x<0,

-X33

2q15

~—=—r解得：Xl=O（舍），x2=--,

-X33

②当丝=出时，则JJ⅛XL=3,同理代入可得：X=-5或x=l（舍），

OMAB∣χ∣

综上所述，存在这样的点P,坐标为（-：5,-5）或（-7；,7U）或（-5,15）.

3939

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角

形的性质及分类讨论等.

20、(1)x=2±√2s(2)X=*或X='.

22

【分析】(1)根据配方法即可求出答案.

(2)根据因式分解法即可求出答案.

【详解】解：(1)-X2-Zx-I=Q,

.".x2-2x+l=2,

Λ(X-2)2=2,

**«x=2±∙^∕2•

(2)V(2x-1)2=4(2x-1),

二⑵-I-4)(2x-1)=0,

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.

48

21、（1）见解析；（2）AO=M.

【分析】（1）由切线的性质可得NBAE+NMAB=90。，进而得NAEB+NAMB=9（）O,由等腰三角形的性质得NMAB

=ZAMB,继而得到NBAE=NAEB,根据等角对等边即可得结论；

⑵连接BC根据直径所对的圆周角是直角可得NABC=90。，利用勾股定理可求得BC=8,证明△ABCsaEAM,可

得NC=NAME,—,可求得AM=竺，再由圆周角定理以及等量代换可得ND=NAMD,继而根据等角

EMAM5

48

对等边即可求得AD=AM=y.

【详解】（I）TAP是。。的切线，

ΛZEAM=90o,

ΛZBAE+ZMAB=90o,ZAEB+ZAMB=90o,

XVAB=BM,

ΛZMAB=ZAMB,

ΛZBAE=ZAEB,

ΛAB=BE;

⑵连接BC,

∙.∙AC是。。的直径,

ΛZABC=90o

在RtAABC中，AC=1O,AB=6,

.∙.Bc=√AC2-AB2=8»

由⑴知，NBAE=NAEB,

又NABC=NEAM=90°,

Λ∆ABC(^∆EAM,

ACBC

AZC=ZAME,

^EM~~AM

108

即hπ一=——

12AM

48

ΛAM=—

5

又"D=NC,

二ND=NAMD,

48

AAD=AM=—.

5

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，准确识图，正确

添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

O

22、(1)(3,0)；(2)点P的坐标为(6,21)或(-6,45)；(3)Mo长度的最大值为

【分析】(1)抛物线的对称轴为x=l,点A坐标为(-1,0),则点B(3,0),即可求解；

(2)由SAPOC=2SABOC,则X=±2OB=6,即可求解；

(3)设：点M坐标为(x,x-3),则点D坐标为(x,x2-2x-3),贝!∣MD=x-3-x?+2x+3,即可求解.

【详解】解：(1)抛物线的对称轴为X=1,点A坐标为(一L0),则点3(3,0),

故：答案为案,0)；

(2)二次函数表达式为：y=fl(x+l)(x-3)=a(x2-2x-3),

即：-3α=-3,解得：a=Λ,

故抛物线的表达式为：y=d-2x-3,

119

所以∕

SBOC=OB∙OC=5X3X3=5

由题意得：SPoC=2SBoc=9,

设P(x,X2-2Λ-3)

I3

则SPoC=9=3OC・|x|=-∙H

所以W=6则X=±6,

所以当X=6时，Λ2-2X-3=-21,当X=-6时，/-2^-3=45

故点P的坐标为(6,21)或(-6,45)；

(3)如图所示，

将点8、C坐标代入一次函数y="+人得表达式得

c=-3k=T

,，解得：〈，

3k+b=0伍=-3

故直线BC的表达式为：

y=χ-3,

设：点M坐标为(X，X-3),则点。坐标为(x,X2-2Λ-3),

3Q

贝IJMD=X-3-Y+2X+3=-(X——)2+^,

24

9

故MN长度的最大值为

4

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图

形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

132

2

23、(1)y=-x+2x+lt(2)点。(1,4)或(2,1)；(1)当点尸在X轴上方时，点尸(§，豆)；当点尸在X轴下

764

方时，点(---，——)

39

【分析】(I)C=1,点5(1,0),将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+l,解得α=-1即可得出答案；

2

⑵由SACOF:SACOF=L2得。尸：FD=I:2,由DHHCO得CO：DM=Is2,求得DM=I,而DM=-X+2x+3-(-X+3)=2,

即可求解；

⑴分点P在X轴上方、点尸在X轴下方两种情况，分别求解即可.

【详解】⑴：OB=OC=L

...点C的坐标为C(0,1),C=I,点B的坐标为5(1,0),

将点8的坐标代入抛物线表达式：产&+2x+l,解得：α=-l,

2

故抛物线的表达式为：j=-x+2x+ls

⑵如图，过点。作。轴于点”，交BC于点

'."DH//CO,

：.CO：DM=OFtFD=It2,

2

：.DM=-CO=I,

3

设直线BC的表达式为：y=kx+b,

b=3

将C(0,1),8(1,0)代入得上，，C

3k+b=Q

{k=-∖

.∙.直线BC的表达式为：y=-x+l,

设点。的坐标为(x,-x2+2x+l),则点Λf(x,-x+l),

：.DM=-X2+2x+3-[-X+3)=2,

解得：x=l或2,

故点。的坐标为：(1,4)或(2,1)；

⑴①当点尸在X轴上方时，

¾OG=OE,连接BG,过点5作直线PB交抛物线于点P,交y轴于点M,使NGBM=NG3。,

则N05P=2N08E,过点G作如图，

V点E的坐标为(0,

•：NGBM=NGBO,GHLBM,GO±OB,

3

GH=GO=OE=-,BH=BO=I,

2

设M∕∕=x,则MG=

在AOBM中，OB2+OM2=MB2,即3?+

解得：X=2,

I295E53〃

故MG=X2+—,贝UOM=MG+GO=—+—=4,

4222

点M的坐标为(0,4),

设直线BM的表达式为：y=kx+b,

'3k+b=Q

将点8(1,0)、M(0,4)代入得：，

。=4

k=—

解得：J3,

b=4

4

・,・直线的表达式为：j=-yx÷4,

y=-X2+2x+3

解方程组’4

y=——x+4

*3

解得：X=1(舍去)或g,

1432

将X=§代入户-1*+4得产至，

132

故点尸的坐标为(§,y);

②当点尸在X轴下方时，如图，过点E作EN_1_5尸，直线尸3交y轴于点

y

VNoBP=2N0BE,

.∙.8E是NObp的平分线，

3

：.EN=OE=-,BN=OB=I,

2

F(I卜

设MN=X,则ME=SjMN2+EM

2(3Γ~,~~9YZ\2

^RtLOBM,OB2+OM2=MB2,即3+[]+<x+jj=(x+3),

解得：x=2,

25,,53,

ʌME==-,贝r（JOAf=ME+EO=—+—=4,

222

点M的坐标为（0,-4）,

设直线的表达式为：y=kx+h,

'3k+b^0

将点8（1,0）、M（O,-4）代入得：〈，，，

b=-4

∖k-i

解得：3,

Z?=-4

4

二直线8M的表达式为：y=gX-4,

ʃ=-X2+2x+3

解方程组4

y=—x-4

3

7

解得：X=1（舍去）或一］,

7464

将X=——代入y=7-4得y=-J,

33-9

764

故点尸的坐标为--）；

1ɜɔ764

综上，点尸的坐标为：（丁方）或（一-y）.

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其

中第（1）问要注意分类求解，避免遗漏.

24、（1）见解析；（2）AE=6

【分析】（1）连接OC,可证得OC〃AD,根据平行线性质及等腰三角形性质，可得NDAC=NCAO,即得AC平分

ZDAB；

（2）连接BC,连接BE交OC于点F,通过构造直角三角形，利用勾股定理和相似三角形ACFSABcA求得

CF=2,再求得OF,即可求得答案.

【详解】（1）证明：如图，连接。C,

D

∙.∙MC与。相切于点C,

，NoCM=90°,

•：ADVDM,

：.ZAZw=90°,

.,./LOCM=ZADM，

：.OCI/AD,

.∙.ΛDAC=ΛACO,

•：OA=OC,

.∙.ZACO=ZCAO,

：.ZDACZCAB,

.∙.AC是NZMB的平分线;

(2)解：如图，连接BC,连接BE交。。于点F,

=AB是。的直径,

.∙.ZACB=ZAEB=90°,

•：AB=IO,AC=4底

:∙BC=√AB2-AC2=2√5'

,：OCHAD,

:∙NBFO=NAEB=90，

ʌZCFB=90∖R为线段BE中点,

VZCBE=ZEAC=ZCAB,ZCFB=ZACB,

：.NCFBABCA,

：.CF:BC=BC:AB,

即：CF:2辨=2非：1。,

.∙.CF=I,

'：OC=-AB,

2

：.OC=5,

.∙.OF=OC-CF=3,

•••。为直径AB中点，尸为线段BE中点，

."∙AE-IOF-6.

【点睛】

本题考查了切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形中