2023年高等教育自学考试《高等数学(一)》模拟试卷(五)

2023年高等教育自学考试《高等数学（一）》模拟试卷（五）

L单选题微分方程y'=y满足初始条件yk=i的特解为

A.ex

B.ex-l

C.ex+l

D.2-ex

正确答案：A

参考解析：

由得去=R，故].=&.，两边积分iny=x+。，又因用汽=1,故,=/

2.单选题下列广义积分中，发散的是

dx

忑

rLdx

B.L1+一

[Xe~xdx

C.J】

r-xdx

D.'x（lnx）2

正确答案：A

参考解析：根据广义积分发散的定义易知选A.

3.单选题下列反常积分收敛的是

r-xdx

J】忑

尸dx

C."1+x

r-xdx

D.'1+一

正确答案：D

Ldx

.:---j=arctai]x|；x为常数

参考解析：1+x

4单选题曲线P=在工=1处的切线方程为

A.x-3y-4=0

B.x-3y+4=0

C.x+3y-2=0

D.x+3y+2=0

正确答案：A

1-2311

所求切线斜率为：y=i(x-2)U=p所求切线方程为丁+1=三。-1)，

参考解析：即XT，，-4=0

5.单选题设z=exy,则dz-

A.exydx

B.(xdy+ydx)exy

C.xdy+ydx

D.(x+y)exy

正确答案：B

参考解析：

dz=(7(hjOdy=e”•ydz+e，'•zdy=(/dy+yd/)e。.

6.单选题对于函数f(x)，下列叙述正确的是

A.若X。为极值点，则f'(xo)=。

B.若f'(x°)=0,则x。为极值点

C.若X。为极值点，则f''(x0)=O

D.若x。为极值点,且，f'(x。)存在，则f'(x°)=O

正确答案：D

参考解析：由极值定义易知D正确.

sin2x-

-----.x<0

设函数/(x)={X",在x=0处连续，则彳=

7,单选题Ri"-2x+k.x>0

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

参考解析:

cin7X-

lim/(x)=liin——=2，lim/(x)=liin(3x2-2x+k)=k,欲使/(x)在x=0处连

x->0""1。-xx->0*x->0*

续,只需使lim/(x)=liin/(x),则k=2

x->0x->0*

8.单选题设f(x)=xln(l+x),则F(0)=

A.0

B.1

C.-1

D.2

正确答案：A

因/'(A)=ln(l+x)+—,故/(0)=0

参考解析：1+x

9.单选题微分方程cosydy=sinxdx的通解是

A.sinx+cosy=C

B.cosx+siny=C

C.cosx-siny=C

D.cosy-sinx=C

正确答案：B

由方程两边积分得|cosydy=|sinxdx,siny=-cosx+C

参考解析:

10.单选题曲线y=e*上拐点的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

由题意得：了=一2工。-',+4.\二""一,令y"=0,故土=一£，.=坐

故当—立时，vH>0；当一直<x<立■时，vH<0；当@<工时，vH>0

2222

参考解析：故点看，匕处都是拐点

求极限limJ33工

11.简单计算题^l-cos4x

l-cos3x3sill3x9

liin---------=liin--------=—

1-cos4.r—o4sin4x16

参考解析:

——dx

12.简单计算题x"+2x+2

---------av=——--------ax----------dx

Jx"+2.r+22Jx2+2x+2J.x'+2x+2

=—hi(.v2+2x+2)-oictaii(l+x)+C

参考解析：2

设f(x,y)=p+三,求g，—

13.简单计算题.“丁比6

参考解析：蜃7+屋/

求微分方程dr竺+?=。一》的通解

14.简单计算题dx-

会名铲布y=。。)/W+。］=e-T(x+C)

参考解析：」

15.简单计算题求函数f(x)=xL6x2+9x-4在闭区间［0,2］上的最大值和最小值.

因函数在闭区间［0,2］上连续，则必有最大值和最小值.

/'(x)=3x2-12x+9=3(.x-l)(x-3).令_f(x)=0,得驻点x=l,

参考解析./(0)=-4>/(1)=0./(2)=-2,最大值为/(1)=0,最小值为/(0)=-4

16.计算题求微分方程yy'=3(x+2)2(l+y2)的通解.

参考解析：

原方程为浜T=3(1+2)2",两边积分得通解In(l+y2)=2(r+2)3+C(C为任意数).

1+V

17.计算题求由圆面x2+(y-b)2Wa2(0〈a〈b)绕x轴旋转一周所形成的物体的体积.

222

V=n(〃+y/a—i)dx—K(6—Ja—工^)-dz

J—aJ-a

=4nby/a2—JC2dx

=87rbs/a2—i2dj-=8na2b'cos2tdz=2n:a2h.

参考解析:J0J0

18.计算题将一长为i的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成

圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少?

参考解析：

设正方形边长为工，圆形半径为r，则41+2“=/.r=:幺,令正方形与圆形的面积和为S,

则3=/+nr2=/+JT。-夕=x2+](/2—8Zr+16x2),

41tK4“

S'=21+』(-8/+32])=一幺+2工+"，令S'=0得,工=」一

47TnK4+K

且S'=2+§〉0,故S在工=霜时获极小值,所以两段铁丝分别长白,蚤-

K4十54+X4+7t

19.计算题

设D是工⑦平面上由直线丁=z.①=2和曲线=1所围成的区域,试求J〈dzdy

n

参考解析:

设？=/(“，,y),其中/具有二阶连续偏导数，求兵"•

20.计算题市◎'

—=vf，前为⑻)"+，("九)

参考解析：氏x

21.综合题证明方程x3-3x+l=0在区间(0,1)内有唯一实根.

参考解析：证明：令f(x)=x：[3x+l,因为f(0)=l>0,所以由连续函数的中值定理

知所讨论方程在(0,1)内有实根.

又由X£(0,1)时,f*(x)=3(x2-l)<0,可知f(x)在(0,1)上是严格单调递减的，

所以所讨论方程在(0,1)内仅有一个实根.____

证明：J'lnCjr+，1+7)>，1+♦—1,(I>0).

22.综合题

令F(x)=Zln(z+/1+f+z?+1.

则F"(x)=ln(x4-y14-x2)>0(x>0)♦

所以，当工)0时,F(H)是严格递增函数,

因此，当Z>0时，F(z)>F(0)=0,

即xln(x-|-14-x2)>/1+乙-1(x>0)

参考解析:

23.综合题某工厂生产两种产品I和H,销售单价分别为10元与9元，生产X

件产品I与生产y件产品n的总费用为C=400+2x+3y+0.01（3x，xy+3y?）（元）.

问两种产品的产量各为多少时，才能使总利润最大？

参考解析：由题意知销售两种产品的总收益为R=10工+9N，

则生产两种产品的总利润为L=R-C=81+6》-0.01（3〉+0+3y2）—400

生=8—0,01(6T+y)=0

令《‘，解得驻点(120,80),

华=6-0.01(x4-67)=0

在点(120,80)处泊=〃1=-0,06<0,B==-0.01,C=1皿=-0.06,

B