2023年山西省运城市景胜中学业水平考试数学试题（附答案解析）

2023年山西省运城市景胜中学业水平考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={0,1,2,3,4},A={1,2,3},3={2,4},则G(AuB)=

A.{2}B.{0}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.在复平面内，复数Z满足zi=I+i,则2=()

A.-1+iB.-1-iC.l+iD.1-i

3.已知函数/(%)=]：若f(a)=6,

则〃二()

[5x+6,x<0

A.0B.2C.-3D.2或3

4.从五件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一

件次品的概率是().

5.已知偶函数f(x),当x<0时，/(x)=V-2x+l,贝i」f(2)=()

A.3B.-3C.-5D.5

6.已知tan(a+^■，tan存乙

|=则tan(a-20=()

A.-2B.-Ac.WD.2

1311115

7.如图的曲线是幕函数y=x"在第一象限内的图象.已知〃分别取士2,土;四个值，与曲

线£、C”G、C,相应的〃依次为(

1cc1

C.--,-2,2,-

22

8.已知△ABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,cf若。=6,b=7,c=5,则sinC

A.B.-C.辿D.也

7776

9.如图，在正方体ABCO-A4G。中，E、F、G、”分别为AA、AB、BB,、B£

的中点，则异面直线E尸与G”所成的角等于（）

C.90°D.120°

10.在三棱锥P-4BC中，姑_1_平面ABC,AB=AC,ZBAC=90,且AB+PA=6,

当三棱锥尸-ABC的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（）

A.27兀B.367tC.54兀D.72兀

二、多选题

II.已知抛物线C：V=x的焦点为尸，准线交尤轴于点。，过点尸作倾斜角为，（，为

锐角）的直线交抛物线于48两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面仞尸沿x轴

折起，使平面平面瓦不，则以下选项正确的为（）

B.折叠前O尸平分NAD8

C.折叠后三棱锥七一八8体积为定值!

48

D.折叠后异面直线428万所成角随夕的增大而增大

12.如图，已知直线“〃2,点A是4,&之间的一个定点，点A到/-4的距离分别为1,

2.点8是直线4上一个动点，过点A作AC_LM,交直线乙于点C,GA+G8+GC=0,

试卷第2页，共4页

则（）

7

B.AGAB面积的最小值是:

c.|AG|>ID.G4GB存在最小值

三、填空题

13.若a,b>0,Ka2+b2=ab+3,则的最大值为.

14.设随机变量X服从正态分布N（2,〃），若尸（X5）=0.2,则P（X<3）=

15.已知“=（1,2）/=（2,-2）,c=（2,-l）,c〃（2a+4，则2等于.

16.数列｛。,,｝的前〃项和为S,,,若4，=而=耳，则5,=.

四、解答题

17.已知tana=2,求下列各式的值：

,八3sina-5cosa

(1)------——:

cosa+2sina

(2)2sin2a-3cos2cr.

18.如图，四棱柱ABC。-AgCQ的底面A8CD是菱形，平面A6CQ,AB=l,

AA=2,NB4D=60。，点P为OR的中点.

⑴求证：直线8R〃平面PAC；

(2)求证：BD{±AC;

(3)求二面角耳-AC-P的余弦值.

19.已知函数/(x)=-x2+，nr+2,xwR.

⑴当机=3时，求/⑴值；

(2)若Ax)是偶函数，求，(x)的最大值.

20.已知，椭圆C过点两个焦点为(-1,0),(1,0).

(I)求椭圆C的方程；

(II)E,尸是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与"的斜率互为相反数，证明

直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

21.已知数列仅,｝的前”项和为3，『=2.

从下面①②③中选取两个作为条件,剩下一个作为结论.如果该命题为真,请给出证明；

如果该命题为假，请说明理由.

①％=3《；②为等差数列；③a“+2-%=2.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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参考答案:

1.B

【详解】试题分析：AkJB={l,2,3,4},孰(478)={0}.故选8.

考点：集合的运算.

2.D

【分析】根据复数除法公式即可求解.

【详解】由zi=l+i得z=\i=—i(l+i)=l-i

故选：D

3.B

【分析】由题意分类讨论aNO,a<0,解方程可求解a

【详解】当aNO时，贝1」/(。)=/+。=6,解得：a=2或a=-3(舍去)

当“<0时，则/(a)=5a+6=6,解得：a=0(舍去)

综上所述：a=2

故选：B.

4.A

【分析】记五件正品为a,"c，d,e,次品为A,由列举法结合概率公式得出所求概率.

【详解】记五件正品为a,Ac,4e,次品为A,从五件正品、一件次品中随机取出两件的所

有基本事件为：{a,/>},{a,c},{a,d},{a,A},{a,e},{b,c},{h,d},{8,A},{c,d},{c,A}{b,e},

{d,A},{c,e},{4*{"},共15种，其中取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的有

5种,即所求概率为1=

故选：A

5.B

【分析】利用偶函数定义，结合已知解析式求解可得.

【详解】因为/(X)为偶函数，

所以“2)=〃—2),

又当x<0时，/(X)=X3-2X+1,

所以/(一2)=(-27-2x(-2)+l=-3,

答案第1页，共12页

所以〃2)=〃-2)=-3.

故选：B

6.B

【分析】利用二倍角正切公式求得tan(k+2£j,再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，

即可求得答案.

【详解】由tan信+£)=；得，tane+26)=——~\=-^-=-,

S)316J…匕+勾1一铲4

而tan(«+5=g,

Jr71

(„兀、tan(a+-)-tan(2/7+-)

故tan(a-2")=tan(a+2)一(2,+工)=-------1------------

')I+tan(a+—)-tan(2/?+-)

66

!_3

=^4_=-1,

411

24

故选：B

7.A

【分析•】作直线X=2分别与曲线。卜。2、。3、。4相交，结合函数y=2'的单调性即可判断.

【详解】因为函数>=2、为增函数，所以22>2：>2^>2-2，

所以作直线x=2分另IJ与曲线£、C”G、Q相交，交点由上到下分别对应的n值为2.1,-1-2,

由图可知，曲线G、C2、C3、C4相应„值为2,1-1,-2.

故选：A

8.C

答案第2页，共12页

【分析】根据余弦定理求得cosC,判断角C的范围，继而求得答案.

【详解】因为4=6,6=7,c=5,所以cosC="―+b_£_=3、+二勿=\,

2ab2x6x77

则C为锐角

故sinC=>/1-cos2C=,

7

故选：C.

9.B

【分析】连接AR,BG，AG，证明异面直线EF与G”所成的角是NA8G或其补角，由正方

体性质即可得结论.

【详解】如图，连接A8,8G，AG，

由题意GH//BQ,所以异面直线EF与GH所成的角是或其补角，

由正方体性质知V48£是等边三角形，NABG=60°,

所以异面直线EF与GH所成的角是60。.

故选：B.

10.B

【分析】设43=x,则三棱锥P-ABC的体V=-!/+/,构造函数

6

/(》)=-,V+f(0<x<6),利用导数求最值可得X,再求三棱锥P-ABC外接球半径可得

O

答案.

【详解】设AB=x,则/<4=6-x,故三棱锥P-ABC的体积

V=--ABACPA=-X2(6-X)=--%3+X2,

3266

答案第3页，共12页

设fM=——x3+x2（0<x<6）,则f\x）=--x2+2x（0<x<6）,

62

由广。）>0,得0c<4,由（。）<0,得4Vx<6,则/*）在。4）上单调递增，

在（4,6）上单调递减，从而/（初皿=〃4）号，

即三棱锥P-A8C体积的最大值是g,此时x=4,即A8=AC=4,PA=2,

因为24,平面A8C,A8_LAC,把三棱锥P-ABC不成一个长方体，则三棱锥P-A8C与所

补成的长方体有相同的外接球，

所以外接球的半径R=]"2+42+22=3,则三棱锥尸-ABC外接球的体积为彳兀R'=36兀.

故选：B.

【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定理证明

6+1^,=0,即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式运算求解；

对于D：根据题意利用悄尸|=匚枭，忸日=五£^结合空间向量可得

I/UIX111皿\|2

\cos（D^DB）\=Jz--1,再根据复合函数单调性分析判断.

I\八，l+sin'e

【详解】由题意可得：抛物线。:丁二了的焦点为尸（；,。），准线x=q,贝

设直线48:工=冲+；,4（%,乂）,3（工2，%），

1

x=my+—,,°1

联立方程■4,消去x得y__“zy_；=0,

24

j=尤

可得△=4-4x根2+]>0,必+%=相，必%=一；

则才+£=（乂+为,-4yy2=nr+\,

对于选项A：因为|洗8|u'l+nj?,加2-4xj=

m2+1,

答案第4页，共12页

点到直线A8:x-g，-=0的距离方_2_।

14J4行一^

可得折叠前△43。的面积山.=[x"+1）/1,=业*,

2、W1+二4

所以当〃?=0时，折叠前△ABD的面积的最小值为《，故A错误;

4

对于选项B：因为

c1/'11

Vv2/ny,y2+-（＞',+y2）+

kAD+kBD=—^+—^Ji+__________Z_______________，L______0

，阴+;，佻+;（冲l++j（町+

x'+4超+彳

即折叠前直线ARB。关于x轴对称，所以折叠前。尸平分一皿?，故B正确;

对于选项C：因为平面ADF,平面8£/，则可知点4到平面8。尸的距离即为点A到x轴

的距离|引，

V3DF的面积=|xlx|y2|=l|y2|,

所以折叠后三棱锥体积匕”「=上|仆；%|=占加2|=±（定值），故C正确；

341248

11

对于选项D：由抛物线的性质可知”八川二2二1二5二1

1-cos02（l-cos。）'1+cos02（l+cos0）

可得益=（+M耳8s0=^^，%=|AF|sin0=1fl

&=；-|"|8S'=x=-忸F|sin°

根据题中所给的空间直角坐标系，可得

f*os。osin®j（/os®sin。。[，心,0,o],产化0,0

（4（1一cos。）2（1-cos6）J（4（l+cos。）2（l+cos6）JI4）U

「I灯1+cos。1_sinI1八sin。

贝UDA=-----------+—,0,-----------=—7-----------,0,—；----------T

4（1-cos。）42（1-cos0）j（2（l-cos，）2（1-cos。）

uir’1-cos^1sin。0、cos0sin0

FB

\4（1+856）一厂2（1+856）',2（1+cos6）'2（1+cos。）

答案第5页，共12页

cos。

I/LUXULI\|4(1-COS2

可得卜。S啊=

2222

sin。cos。sin。

++

2(1-cos。)2(l-cos/9)2(1+COSe)2(1+cos9)

cos8__________

4sin2.cosd_/l-sin26>/21

l+sin;(9」_Vl+sin2(9Vl+sin26»Vl+sin26>>

4(l-cos6>)24(l+cos61)2

I/UinuunxiI2

所以咐RE?”

即折叠后异面直线AR8厂所成角的余弦值为、，

Vl+sin26>

因为y=sin6在10马上单调递增，则y=2-1在卜再上单调递减,

v211+snr。I2)

且y=五在定义域内单调递增，则)，=J2,_］在卜1上单调递减，

V1+sin-6V2)

所以折叠后异面直线AD,BF所成角随9的增大而增大，故D增大；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

(I)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；

(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值).

12.ABC

【分析】取BC中点尸，利用向量运算判断A；设的)=9,利用三角形面积公式结合正弦

函数性质判断B；利用数量积的运算律计算判断CD作答.

【详解】取BC中点F,连接GF,如图，

由GA+G8+GC=0,得GF=g(GB+GC)=_gGA,因此点AG,F共线,

2211

且AG=—AF=—x—(AB+AC)=—(AB+AC),A正确；

3323

答案第6页，共12页

TTTT

设N8AO=e(0<6<5),由于。EJ_4，DEJ_/2，而ACLAB,则/"。=5-6,

21

由AO=2,AE=1,得48=-----,AC=——,显然点G为；ABC的重心,

cos8sm8

111222

则△G4B的面积SG.=qS=-x-ABxAC=-x---------------=---------->-,

CAB3232cos6sin63sin263

当且仅当2”?即e｛时取等号'B正确;

22

|AG\=^\AB+AC\=^y]AB2+AC114sin0""cos0

3Vcos20sin'0

4sin20竺幺，即tan®=变时取等号，C正确;

,当且仅当

cos20sin?。2

1121

由AG=§(A8+AC),得G4=-§(A8+AC),GB=AB-AG=-AB--AC9

i1221sl

H^GA.GB=--(AB+AC).(2AB-AC)=--(2AB--AC)=--(-^--^)

1_8sin20cos28、人sin202八小、m.r8sin26>cos2<9

=30z+W3)，令"嬴7tan-匹(。,+8)'则7+=7+8f—,

rcos26sin29

而函数17+8~在(。收)上单调递增,值域为r所以6—和+8~)值域为心

无最小值，D错误.

故选：ABC

【点睛】思路点睛：利用向量解决问题，可以选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表

示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

13.3

【分析】根据从而可得必+322",求解即可.

【详解】因为a?+匕2=“6+3,所以q〃+3=42+力?2,ab&3,

当且仅当4=匕=石时，等号成立,

所以质的最大值为3.

故答案为：3

14.0.8

【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率.

【详解】解：因为P(XN3)=尸(XMl)=0.2,

所以尸(X<3)=l-P(X23)=1-02=0.8,

答案第7页，共12页

故答案为：0.8.

15.-2

【分析】根据向量平行列方程，化简求得4的值.

【详解】24+6=（2,4）+（2,-2）=（4,2）,

由于C〃（2a+b）,所以2/t=jU=-2.

故答案为：-2

,4

16.y/0.8

【分析】利用裂项求和法求得正确答案.

【详解】5=-~~~~-

41x22x33x44x5

,111111114

=]--------1-------------1------------k---------=1-------=-

223344555,

4

故答案为：—

17.⑴g

（2）1

【分析】(1)根据丝4=tana,分式同除cosa可得.

cosa

(2)根据sin%+cos2a=1先将2sin%-3cos%转化为空~女°鼠",再将分式同除cos%

sirra+cos-a

可得.

*、4皿、/・、3sina-5cosa3tana-53x2-51

【详解】(1)------------=--------=-------=-

cosa+2sinal+2tana1+2x25

/c、c-2r22sin2a-3cos2cr2tan2a-32x22-31

(2)2sm-a-3cosa=---；-----；——=---；----=——；-----=1

sirra+cos,atan-a+l2~+1

18.(1)证明见解析；

（2）证明见解析:

81底

o----•

85

【分析】（1）设AC和8。交于点0,连接PO,根据线面平行的判定定理求解；

（2）由线面垂直可得线线垂直，再由菱形对角线垂直可得线面垂直，即可得证;

答案第8页，共12页

(3)连接87,Bfi,可证明N50P为二面角片-AC-P的平面角，利用余弦定理求解余

弦值即可.

【详解】(1)设AC和3。交于点。，连接P。，如图,

由于P,。分别是DR,8。的中点，故.P0〃BD、,

：POu平面PAC,8。仁平面P4C,所以直线8。〃平面PAC.

(2)在四棱柱A8C£)-ABCP中，底面ABCD是菱形，则

又。R_L平面ABC。，且ACu平面ABC。，则力。_LAC,

：B£>u平面80。百，ROu平面B。。用，BDcD、D=D

：.ACJL平面用.

BD、u平面BDD[B],BD、J.AC.

(3)连接用P,BQ,

因为PA=PC,。是AC中点，所以POLAC,

因为AC_L平面8。"与，80u平面B。。与，所以B0L4C,

NB0尸为二面角瓦-AC-P的平面角,

4P=,『+12=0，

PO2+OB^-PB^7廊

由余弦定理可知cosN80P=

2Po385

答案第9页，共12页

...二面角片-AC-P的余弦值为逅.

85

19.(1)4

(2)2

【分析】(1)先得到函数f(x),再求值；

(2)先利用函数是偶函数，求得Ax),再求最值.

【详解】(1)解:当帆=3时，/(x)=-/+3x+2,

所以/(1)=一/+3*1+2=4；

(2)因为/(X)是偶函数，

所以/(-x)=/(x)成立，

即一(—x)+???(—x)+2=-X2—2-—+tnx+2成1A

所以机=0,贝!]/(x)=-x2+2,

所以f(x)的最大值为2.

20.(1)—+-^-=1(2)直线AE的斜率为定值;

432

X2V23

【详解】试题分析：(1)由题意c=l,设椭圆方程为一二+4=1,将A(l,；)代入即可求出

从=3,则椭圆方程可求.

(2)设直线AE方程为：y=Z(x-l)+I，代入入三+工=1得

243

(3+4k2)x2=4^(3-2k)x+4^2-12Zr-3=0,再由点4(1,|)在椭圆上，根据结直线AE的斜率

与AF的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解.

(1)由题意c=l,设椭圆方程为三+耳=1,

\+b2b2

323

因为点41,立在椭圆上，所以1|，解得从=3,/舍去

2