2024年中考数学专题提升20遇到中点如何添加辅助线

遇到中点如何添加辅助线方法一构造中位线方法归纳情形1：图形中出现两个及以上的中点，考虑构造中位线．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点．【结论】DE∥BC；DE＝eq\f(1,2)BC；△ADE∽△ABC.情形2：图形中出现一个中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线．如图，在△ABC中，D为AB的中点．【结论】AE＝CE；DE＝eq\f(1,2)BC；△ADE∽△ABC.1.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD交于点F，则eq\f(DF,BD)的值为________．第1题图2.如图，在△ABC中，D为AC的中点，E为AB上一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，若E为DF的中点，BE＝3，则AE的长为________.第2题图3.如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，CD是△ABC的角平分线，E是AC边上一点，连接BE，交CD于点F，若CE＝7，则eq\f(DF,CF)的值为________.第3题图方法二构造中线方法归纳情形1：遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题．如图，D为等腰△ABC底边BC的中点．【结论】AD⊥BC；AD平分∠BAC.情形2：遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线，利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”解题．如图，D为Rt△ABC斜边AB的中点．【结论】CD＝eq\f(1,2)AB.4.如图，将两个含30°且大小不一样的两个直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°)摆放在一起，E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．第4题图5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BM＝CM＝3，MN⊥AC于点N，则MN的长为________．第5题图6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点，点E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3eq\r(2)，则△DEF的周长为________．第6题图方法三构造倍长中线(类中线)方法归纳情形1：倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边的中线．辅助线作法一：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.辅助线作法二：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.【结论】△ACD≌△EBD.情形2：倍长类中线如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上一点，连接DE.辅助线作法一：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.辅助线作法二：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.【结论】△BDE≌△CDF.7.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，则BC的长为________．第7题图8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.证法一(构造倍长中线)：第8题图基础过关1.如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为()A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2第1题图2.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.AB＝AC.点D为BC边的中点，过点D作DM⊥DN分别交BA，AC的延长线于点M，N，若DM＝1，则DN的长为__________．第2题图3.如图，在△ABC中，D为AB的中点，连接CD，若∠ACB＝120°，∠DCB＝90°，BC＝2，则△ABC的面积为__________．第3题图4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，且EF⊥AB，连接DE，若AB＝4，BC＝8，则线段DE的长为__________．第4题图5.如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE.(1)如图①，求证：DE＝BF；(2)如图②，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．图①图②第5题图遇到中点如何添加辅助线1.eq\f(1,3)【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(DE,BA)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(DF,BD)＝eq\f(1,3).第1题解图2.9【解析】如解图，过点D作DG∥AB，交BC于点G，∵E为DF的中点，∴BE为△FGD的中位线，∵BE＝3，∴DG＝2BE＝6.∵D为AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∴AB＝2DG＝12，∴AE＝AB－BE＝12－3＝9.第2题解图3.eq\f(3,7)【解析】∵AC＝BC，CD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD，∵AC＝BC＝13，CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如解图，过点D作DG∥AC交BE于点G，∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位线，∴DG＝eq\f(1,2)AE＝3.∵DG∥AC，∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(DG,CE)＝eq\f(3,7).第3题解图4.eq\r(7)【解析】如解图，连接CE，由题意，得∠ABC＝∠CBD＝30°，∠A＝∠DCB＝60°，∠ACB＝∠CDB＝90°，∵AC＝2，∴AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∴DC＝eq\r(3)，∵E为AB的中点，∴CE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝2，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠DCB＝30°＋60°＝90°，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝eq\r(CE2＋DC2)＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7).第4题解图5.eq\f(12,5)【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，根据勾股定理得，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝eq\r(52－32)＝4.又∵S△AMC＝eq\f(1,2)AC·MN＝eq\f(1,2)AM·MC，∴MN＝eq\f(AM·CM,AC)＝eq\f(12,5).第5题解图6.6＋3eq\r(2)【解析】如解图，连接BD，在等腰Rt△ABC中，∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A＝∠DBF，AD＝BD，∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.在Rt△DEF中，DE＝DF，∴EF＝eq\r(2)DE，∴DE＝DF＝eq\f(EF,\r(2))＝eq\f(3\r(2),\r(2))＝3，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝3＋3＋3eq\r(2)＝6＋3eq\r(2).第6题解图7.6【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠AED＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.第7题解图8.证法一：证明：如解图①，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ACD和△GBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝GD,∠ADC＝∠GDB,CD＝BD))，∴△ACD≌△GBD(SAS)，∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE.第8题解图①证法二：证明：如解图②，延长ED至点H，使ED＝DH，连接CH，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD,∠BDE＝∠CDH,ED＝HD))，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠CHD＝∠EAF，∴CH＝AC，∴AC＝BE.第8题解图②基础过关1.B【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别为AC，BC中点，∴DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB＝3cm，∴∠ABD＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF，∴△ABF∽△EDF，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(DE,BA)＝eq\f(1,2).∵BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝4cm，DE⊥BC，∴S△BDE＝S△CDE＝eq\f(1,2)BE·DE＝eq\f(1,2)×4×3＝6cm2，∴S△DFE＝eq\f(1,3)S△BDE＝2cm2.∵DG∶GC＝1∶2，∴S△DGE＝eq\f(1,3)S△CDE＝2cm2，∴S四边形DFEG＝S△DFE＋S△DGE＝4cm2.第1题解图2.1【解析】如解图，连接AD，∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝∠BAD＝45°.∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∠MDC＋∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN.∵∠MAD＝180°－∠BAD＝135°，∠NCD＝∠180°－∠ACD＝135°，∴∠MAD＝∠NCD.∴在△AMD和△CND中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADM＝∠CDN,AD＝CD,∠MAD＝∠NCD))，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴DN＝DM＝1.第2题解图3.2eq\r(3)【解析】如解图，延长CD至点H，使DH＝CD，连接AH，∵在△ABC中，D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△BCD≌△AHD(SAS)，∴∠BCD＝∠AHD＝90°，BC＝AH，∴S△BCD＝S△AHD，S△ABC＝S△ACH.∵BC＝2，∴AH＝2.∵∠ACB＝120°，∴∠ACH＝120°－90°＝30°，∴AC＝2AH＝2×2＝4.在Rt△ACH中，CH＝eq\r(AC2－AH2)＝2eq\r(3).∴S△ACH＝eq\f(1,2)AH·CH＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝2eq\r(3).第3题解图4.2eq\r(21)【解析】如解图①，延长EF至点G，使EF＝GF，连接CG，∵F是BC的中点，∴BF＝CF＝4，在△BFE和△CFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CF,∠BFE＝∠CFG,EF＝GF))，∴△BFE≌△CFG(SAS)，∴∠B＝∠BCG.∵∠B＋∠BCD＝180°，∴∠BCG＋∠BCD＝180°，即D，C，G三点共线．∵AB＝4，∴BE＝AE＝2.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝eq\r(BF2－BE2)＝2eq\r(3)，∴EG＝2EF＝4eq\r(3).∵CG＝BE＝2，DC＝AB＝4，∴DG＝DC＋CG＝6.∵∠G＝∠BEF＝90°，在Rt△DGE中，由勾股定理得，DE＝eq\r(EG2＋DG2)＝2eq\r(21).【一题多解】如解图②，延长DE至点H，使DE＝HE，连接BH，过点E作EM⊥BC于点M，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝2.∵∠AED＝∠BEH，DE＝HE，∴△AED≌△BEH(SAS)，∴AD＝BH＝8，∠A＝∠EBH.∵∠A＋∠ABC＝180°，∴∠EBH＋∠ABC＝180°，即C，B，H三点共线．∵F是BC的中点，∴BF＝FC＝4.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝eq\r(BF2－BE2)＝2eq\r(3)，∴S△BEF＝eq\f(1,2)BE·EF＝eq\f(1,2)BF·EM，即eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×4×EM，∴EM＝eq\r(3).在Rt△BEM中，由勾股定理得，BM＝eq\r(BE2－EM2)＝1，∴HM＝8＋1＝9，∴HE＝eq\r(HM2＋EM2)＝2eq\r(21)，∴DE＝HE＝2eq\r(21).图①图②第4题解图5.(1)证明：∵△ACD和△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，∴AD＝CD，CE＝BE，∴∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE，∴CD∥BE，∴∠DCE＝∠FEB.∵EF＝A