【数学】正弦定理学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理预习案【预习目标】1.会推导正弦定理，熟记正弦定理；2.会利用正弦定理解决“已知三角形两角和一边，解三角形”，；重点：正弦定理及其简单应用．【思考】若已知三角形两角及一边，是否也有公式直接解三角形的呢？例如：在三角形ABC中,若A=60°,B=45°,b=4,这个三角形唯一确定吗？是否也有公式解三角形的呢？知识链接：在直角∆ABC中，各角的正弦如何表示？======你有何结论?【探究】对锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍成立？提示：对于一般三角形，可分为锐角三角形和钝角三角形（根据个人学习情况可独立探究或根据提示完成）锐角三角形：====同理可得：你有何结论?（2）钝角三角形：====同理可得：你有何结论?于是，我们得到了三角形中边角关系的另一个重要定理:正弦定理语言叙述：符号表示：注意：正弦定理实际上是个等式，分别为：，，.利用正弦定理可以解决“已知两角和任意一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边及一边的对角，解三角形”的问题.关于正弦定理还可以用向量来证明，有兴趣的同学可以阅读教材45-46页的内容，其他的证明方法，请同学们阅读本课时的拓展材料《正弦定理的证明方法》.【辨析】判断正误，正确的写正确，错误的写错误．（1）正弦定理不适用于直角三角形．()（2）在中必有．()（3）在中，若，则必有．()（4）在中，若，则必有.()（5）正弦定理只适用于锐角三角形.()（6）在中，等式总成立.()（7）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.()（8）在中，若，则.()（9）在中，若，则

()【试一试】1.在∆ABC中，已知c=√3，A=75°，B=60°，求边b.2.在∆ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，求AC.在三角形ABC中,若A=60°,B=45°,b=4,解这个三角形正弦定理学案（1）（课堂探究）学习目标1.知道正弦定理比值的几何意义，掌握三角形正弦面积公式.2.通过探究掌握正弦定理及其变形，并能应用．(重点、难点)3.能利用正弦定理判断三角形的解的个数.【课前检测】1.在中，如果，那么的长为（

）A．72 B． C． D．302.记的内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【探究1】正弦定理比值的几何意义如图，已知在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，⊙O为∆ABC的外接圆,设⊙O的半径为R,过圆心O作直径A1B,则∵∠A与∠A1是同为∴,又∵A1B为∴圆周角∠BCA1=,即∆ABC∴sinA===,即sinA=,∴asinA=，同理可得,故满足===2R（R为∆ABC的外接圆半径）【探究2】正弦定理的变形已知在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，由正弦定理===2R（R为∆ABC正弦定理还可以写成连比式：a:b:c=.2.边化角公式：a=，b=，c=.3.角化边公式：sinA=，sinB=，sinC=.【做一做】1.在△ABC中，，则的值是（

）A．B．C．D．2.已知△ABC外接圆的半径为1，则a∶sinA=（

）A．1∶1 B．2∶1C．1∶2 D．无法确定3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sinB＝()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)【探究3】三角形的面积公式如图，已知在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，作边a上的高ℎ,∵在Rt∆ABC中，∠ADB=90°∴sinB=,则ℎ=,∴S∆ABC同理可得S∆ABC=,S即“任意三角形的面积等于任意与它们夹角乘积的一半”【做一做】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则.【探究4】已知两边及其中一边的对角解三角形问题：已知中，，，，则（

）A． B．或 C． D．或【对点练习】1.在中，，，，则角等于（）A．或 B． C． D．2.在中，已知，，，则角的值为（）A．或 B． C． D．或【探究5】利用正弦定理判断三角形的解的个数问题：在中，已知，则满足条件的三角形（

）有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定【对点练习】1.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定2.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解D．有解但解的个数不确定正弦定理作业1.的内角的对边分别为，已知，则（

）A．6 B． C．8 D．2.在中，，且的面积为，则（

）A． B．3 C．2 D．3.在中，，的面积为2，则三角形外接圆的半径为（

）A． B． C． D．4.已知的内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（

）A． B．C． D．6.在中，内角所对的边分别为，则的面积为.7在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，且，求周长8.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.拓展材料——正弦定理的证明方法3.向量法证明正弦定理4.如果想避开分类讨论,可以把三角形放在平面直角坐标系中,利用坐标法．证明如下：以C为原点,以射线CA为轴的正半轴建立平面