高中数学同步讲义（人教A版必修二）第25讲 8.1基本立体图形（第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征）（教师版）

第02讲8.1基本立体图形（第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征）课程标准学习目标①了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。②了解简单组合体的概念及结构特征。③了解简单组合体的概念及结构特征1.通过阅读课本解圆柱、圆锥、圆台、球的定义；2.在棱柱、棱锥与棱台学习的基础上，进一步掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；3.了解简单组合体的概念及结构特征．灵活运用各种知识解决组合体问题；知识点01：圆柱（1）圆柱的定义以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱【即学即练1】1（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】解：对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形；故选：D知识点02：圆锥（1）圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：棱锥和圆锥统称为锥体（2）圆锥的图形（3）圆锥的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.知识点03：圆台（1）圆台的定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：棱台和圆台统称为台体（2）圆台的图形（3）圆台的表示用表示它的轴的字母表示，如图，圆台【即学即练3】（2024上·上海青浦·高二上海市朱家角中学校考期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为【答案】【详解】根据题意，作出圆台的图形，如图所示：圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的高．故答案为：．知识点04球的结构特征（1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球（2）相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段【即学即练4】（2024·全国·高一假期作业）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【答案】B【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B.题型01圆柱的结构特征【典例1】（2023上·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期中）我国古代数学名著《数书九章》中的一个问题，其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为一丈，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几丈几尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少长是．【答案】尺【详解】将圆柱形圆木沿一条母线剪开,两个侧面展开图沿母线拼接，得如下长方形尺，尺，

所以葛藤最少长为尺.故答案为：尺【典例2】（2023·上海·高三专题练习）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围．【答案】【详解】解：如图1，设上底面圆心记为，下底面圆心记为，连接，过点作，垂足为点，则，根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.【变式1】（2023·高一课时练习）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线.若直线与所成角的大小为，则.【答案】/【详解】如图，过点A作与母线平行的母线,则即为直线与所成角，故，在中，,则,故答案为：【变式2】（2023下·全国·高一专题练习）轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高.【答案】该等边圆柱的底面周长为，高为【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形设图柱的底面半径为r，则.轴截面ABCD的面积，解得.所以该等边圆柱的底面周长为，高为.题型02圆柱截面有关计算【典例1】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，

且在AB的延长线上．则，由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，，则，当三点共线时取等号，当时，最小，最小值为，即的最小值为，故选：C【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)当x＝3时，S最大，最大值为6.详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴当x＝3时，S最大，最大值为6.【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（

）A． B．4 C． D．【答案】A【详解】如下图所示：设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得，连接AE，则，连接BE，则，故，故.故选：A.【变式2】（2023上·上海浦东新·高二校考期末）从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）.若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为.（1）求圆锥筒的容积；（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积最大时的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设圆锥筒的半径为，容积为，∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，∴，解得，∴，∴.∴圆锥筒的容积为.（2）设内接圆柱高为则有，由圆锥内接圆柱的轴截面图，得，所以内接圆柱侧面积，所以当时内接圆柱侧面积最大.题型03圆柱展开图及最短距离问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，问题转化为在上找一点，使最短，作关于的对称点，连接，令与交于点，则得的最小值就是为．故选：A【典例2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形，在圆柱中，因为，可得，即矩形中，，，则最短路径的长度为．故选：A.

【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为．

【答案】【详解】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，

，，过作，为垂足，所以，即可把放在一个直角边为和的直角三角形中，根据勾股定理可得：.故答案为：.【变式1】（2024·广东·高三学业考试）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（

）

A．61 B． C． D．【答案】A【详解】圆柱形柱体的高为11，外圆周长6，又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：．故选：A．

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（

）A．10cm B．5cmC．5cm D．cm【答案】D【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，

展开后，∴，即为所求最短距离．故选:D.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，圆柱高为2，底面半径为1，则在圆柱侧面上从A出发经过母线到达的最短距离为.【答案】【详解】把圆柱侧面沿母线剪开摊平为一个矩形，如图，，所求最短距离为．故答案为：．题型04圆锥的结构特征【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：C.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？【答案】答案见解析【详解】如图，因为所有过直线与圆锥所截的面，都是圆锥的轴截面，例如图中面与面，所以圆锥的轴截面有无穷多个，因为圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线称为圆锥的母线，所以圆锥的母线有无穷多条，例如图中等，故此，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.【变式1】（2023上·四川乐山·高二统考期末）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（

）A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球【答案】A【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥故选：A【变式2】（2023上·上海·高二专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为；母线的长为.【答案】2【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.故答案为：；；题型05圆锥截面有关计算【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径r满足，解得，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，则，.故选：D.

【典例2】（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（

）A．8 B． C． D．【答案】A【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选：A.【典例3】（2023上·重庆·高二校联考开学考试）已知圆锥的底面面积为，高，则该圆锥的母线长为【答案】11【详解】

如图，作出圆锥的轴截面，点为底面圆心.设圆锥的底面半径为，母线为由已知可得，，解得，所以.又，所以，，解得，即.故答案为：11.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】设底面圆的半径为，，解得，由圆锥母线长为2，可得圆锥轴截面的顶角为，当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，此时.故选：C.【变式2】（2024·广东惠州·统考一模）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是.【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，所以，解得，因为，所以，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是，故答案为：【变式3】（2023上·全国·高三专题练习）在半径为的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为（精确到）．【答案】【详解】如下图所示：在圆锥中，为圆的一条直径，由题意可知，，，所以，，由，故.故答案为：.题型06圆锥展开图及最短距离问题【典例1】（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，

，，在中，，，，解得：，即灯光带的最小长度为.故选：C.【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（

）A． B．16 C．24 D．【答案】A【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题可得，则，在中，，则小虫爬行的最短路程为.故选：A.【典例3】（2023·上海宝山·统考一模）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为

【答案】【详解】连接，依题意平面，而平面，所以，，是的中点，则，由于，所以，则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，

将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，

连接，交于，在三角形中，由余弦定理得，所以的周长最小值为.故答案为：【变式1】（2024·全国·高一假期作业）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故选：A【变式2】（2023上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．【答案】【详解】把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径.依题意：小虫爬行的最短路程为.因为母线长，所以在中．则由弧长公式得：．设圆锥底面圆的半径为r.则，解得故答案为：【变式3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为公里.

【答案】50【详解】

如图，将圆锥沿剪开，则圆锥的母线即扇形的半径，圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为，所以圆心角，即.又，，所以，.所以，这段铁路的长度为公里.故答案为：50.题型07圆台的结构特征【典例1】（2023下·陕西榆林·高一校考期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．故选：A【典例2】（2023·上海金山·统考一模）设圆台的上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该该圆台的高为.【答案】【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，

梯形的高即为圆台的高，即高为，故答案为：【变式1】（2023下·全国·高一随堂练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截得圆台的圆锥的母线长为，求圆台的母线长．【答案】．【详解】设圆台的母线长为，由截得圆台上、下底面的面积之比为，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为，．过轴作截面，如图所示．则，，所以，所以，解得，即圆台的母线长为．【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）—个圆台的母线长为5，两底面直径分别为2和8，求圆台的高.【答案】4.【详解】圆台的轴截面如图所示，其中，，，为高，过点作于点H，则，在中，，，∴.故圆台的高为4.

题型08圆台展开图【典例1】（2023下·山东潍坊·高一统考期末）如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（

）

A．1 B． C． D．4【答案】C【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，所以在圆锥中有：，所以，又在圆锥中有：，所以，所以该圆台的高为：，故选：C.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.【答案】.【详解】如图所示：沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长.设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角，，且B、C分别为所在弧的中点，所以在等腰三角形中，，则是等边三角形，因为，所以，而，C为的中点，所以，即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为.【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．【答案】．【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中与相似，得，可求得．设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，扇形所在圆的周长为．所以的长度为所在圆周长的，所以．所以在中，，所以，即所求绳长的最小值为．【变式2】（2023下·高一课时练习）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.

【答案】【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，

则，，解得，，故.故BM间细绳的最短长度为.题型09球的结构特征【典例1】（2023上·四川乐山·高二统考期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（

）A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球【答案】D【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意．故选：D．【典例2】（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】设球心到墙角的距离为，球心半径为，则，则距离为棱长为1的正方体的对角线长，即，则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于.故选：D.【变式1】（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）下列几何体是旋转体的是（

）A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球【答案】D【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体；一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体．故选：D【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）东方明珠广播电视塔是上海的标志性文化景观之一，塔高约468米，上球体的直径为45米，且上球体的球心O到塔底的距离与塔高的比值为黄金分割比(约为0.618)．若P为上球体球面上一点，且与地平面(塔顶与O的连线垂直地平面)所成的角为，P在上球体的上半部分，则P到地平面的距离约为(

)A．297米 B．300米 C．303米 D．306米【答案】B【详解】∵上球体的球心O到塔底的距离米，∴P到地平面的距离为米．题型10球的截面性质及计算【典例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥市第八中学校联考期末）已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，如图所示，因为，所以，所以，解得，所以.故选：B.【典例2】（2023下·上海杨浦·高二统考期末）如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（

）

A．2 B．3 C． D．4【答案】D【详解】如图所示，为球面上一点，则，球心到平面的距离为3，即，且，则小圆的半径长即为，在中，由勾股定理可得，解得.故选：D【典例3】（2024·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬（即地球球心和该地的连线与赤道平面所成的角为），且.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为万里.【答案】6【详解】由题意可知，赤道周长为万里，则地球半径万里.

设某地随着地球自转，所形成圆的半径为，则万里，则该圆的周长万里.故答案为：6.【变式1】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则S表示的曲线的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在空间中，集合表示以点A为球心，半径的球面，记表示平面，可知，所以S表示的曲线球A与平面所截得的圆周，设其圆心为，半径为，

可知，则，所以S表示的曲线的长度为.故选：B.【变式2】（2023下·北京东城·高一北京二中校考阶段练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30°，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬30°纬线的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】按照纬线的垂直方向，作图如下，为所求纬线圈的直径，过圆心作的垂线，垂足为，连接，在直角三角形中，，则北纬纬线的长为．故选：A．

【变式3】（2023上·上海·高二专题练习）已知球的半径为10，若它的一个截面圆的面积为，求球心与截面圆圆心的距离（）.【答案】8【详解】

如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由图易得与圆面垂直，在中，由可得，又，所以()，即球心与截面圆圆心的距离为8.题型11球面距【典例1】（2023下·高一课时练习）如图，设地球的半径为，在北纬圈上有两个点、．在西经，在东经，则、两点间的球面距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】如图示：取球心为，取北纬纬线圈的圆心为，则⊥平面，则，，所以，因为在北纬圈上有两个点、，在西经，在东经，所以，在中，，所以为等边三角形，则，所以、两点的球面距离为.故选：A【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，，且，那么A，B两点的球面距离为，球心到平面的距离为.【答案】【详解】解：如图所示：因为，所以是截面的直径，又，所以是等边三角形所以，故两点的球面距离为于是,所以球心到平面的距离：故答案为：；【变式1】（2023·全国·高一专题练习）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的顶点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，由正弦定理可得，，又，所以，为等边三角形，则，因此，、两点间的球面距离为.故选：C.【变式2】（2023·上海浦东新·校考一模）在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是【答案】【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为2π．题型12简单组合体【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（

）A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B．一个球、一个长方体、一个棱台构成C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成【答案】B【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选：B.【典例2】（2024·全国·高一假期作业）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（

）A．该几何体为圆台B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体C．该几何体为圆柱D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体【答案】B【详解】由题意可知形成如图的几何体，

该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.故选：B【典例3】（2024上·贵州·高三统考开学考试）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为2R，由题意知，解得．因为AB与圆弧相切于点B，所以．在Rt△ABO中，，又，所以．由对称性知，，则，所以．故选：D.【变式1】（2024·全国·高一假期作业）如图所示的简单组合体的组成是（

）A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱【答案】B【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.【变式2】（2024上·河南漯河·高三漯河高中校考阶段练习）设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，，…，，遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于正四面体，其离散曲率；对于正八面体，其离散曲率；对于正十二面体，其离散曲率；对于正二十面体，其离散曲率；因为，所以，故选：B.【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是.①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．【答案】④【详解】平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面.故答案为：④.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·高三课时练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（

）．A． B． C．3 D．2【答案】B【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,所以.所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.故选：B2．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校联考阶段练习）已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】设圆的半径为，则底面圆的周长为.由题意得：弧长度为.根据圆锥侧面展开图的特点，可得：，解得.故选：A.3．（2023下·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台C．棱柱的侧面都是平行四边形D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥【答案】C【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形构成的几何体是棱锥,所以选项A错误；对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，所以选项B错误；对于C，根据棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，选项C正确；对于D，直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，所以选项D错误.故选：C.4．（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）下列命题正确的是（

）A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径【答案】A【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.故选：A.5．（2023下·甘肃酒泉·高二校考期末）以下说法正确的是（

）A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；B．球的大圆的半径等于球的半径；C．球面和球是同一个概念；D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.【答案】B【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误，对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确，对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误，对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误，故选：B6．（2023·高一课前预习）如图是由哪个平面图形旋转得到的（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.7．（2023·全国·高一专题练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（

）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台【答案】C【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.故选：C8．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为，，.故选：C.9．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（

）A． B．C． D．与直角圆锥的母线长有关【答案】B【详解】

设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得，.故选：B10．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬（即地球球心和该地的连线与赤道平面所成的角为），且.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（

）A．万里 B．万里 C．万里 D．万里【答案】A【详解】由题意可知，赤道周长为万里，则地球半径万里.设某地随着地球自转，所形成圆的半径为，则万里，则该圆的周长万里.故选：A.二、多选题11．（2023下·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是A． B． C． D．【答案】AD【详解】设底面半径为,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则,所以；同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则,所以.故圆柱的底面半径为或.故选：AD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（

）A．圆锥侧面积为B．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为C．圆锥的体积为D．过顶点的截面三角形的面积最大值为【答案】AB【详解】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，所以圆锥侧面积为，故A正确；设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为，又因为扇形的面积为，所以，故B正确；如图所示，圆锥的高为，圆锥的体积为，故C错误；如图，在中，，所以，所以轴截面三角形中，，设过过顶点的截面三角形，其中，如下图所示：过顶点的截面三角形的面积为，当时，过顶点的截面三角形的面积最大值为，故D错误.故选：AB.三、填空题13．（2023上·上海浦东新·高二校考期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为.【答案】【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得，由余弦定理可得，则为钝角，故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为.故答案为：.14．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为．【答案】【详解】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点，沿将侧面展开后，最短路程，如图所示，其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，即，所以蜗牛爬行的最短路径为.故答案为：.15．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学