【高考数学】2024届广西柳州市高三下学期数学仿真模拟试题（含解析）

【高考数学】2024届广西柳州市高三下学期数学仿真模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（

）A．70% B．60% C．50% D．40%2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为A．1 B．-2 C．-1 D．03．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有A．60种 B．48种 C．30种 D．10种6．已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．7．椭圆的离心率为e，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（

）A．必在圆内 B．必在圆上C．必在圆外 D．与圆的关系与e有关8．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若，则（

）A． B． C． D．10．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．11．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当，时，与平面所成角为B．当时，有且仅有一个点，使得C．当，时，平面平面D．若，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若＝＋是偶函数，则实数a＝______．13．已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则．14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，F是PB中点，(1)求证：平面PBC；(2)求二面角的余弦值.16．已知数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)对任意．将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价x（百元）123456产品销量y（件）9186p787370附：参考公式：，．参考数据：，，．(1)求p的值；(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望．18．已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若为的导函数，设．证明：对任意，．19．M是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求动点M的轨迹方程E；(2)设，，过点的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线，的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程．1．C【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．【详解】由题意可得如下所示韦恩图：所求比例为：．故选：C．2．C【分析】先由复数的乘法运算将复数整理，再由复数的基本概念即可求出结果.【详解】为实数，，得．答案：【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的基本概念，属于基础题型.3．C【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4．A【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．C【详解】根据题意，分步进行：①从名志愿者中选派人参加活动，有种选法；②将人分为组，有种分法；③将组进行全排列，对应星期六和星期日，有种情况，则共有，故选C.6．B【分析】由正弦定理可求得外接圆半径r，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，从而得解.【详解】设的边长为a，则，所以，

设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，得，则球心到平面的距离，当共线且位于之间时，三棱锥的高最大，为，此时三棱锥的体积也最大，最大值为故选：B．7．A【分析】由恒等式以及韦达定理即可得到关于的表达式，然后证明一定小于2，即可得到A正确.【详解】根据题目条件有，.由和是方程的两个根，故由韦达定理得，，从而.这表明点一定在圆内，A正确.故选：A.8．D【分析】由的奇偶性可判断也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．【详解】，，由于是定义在上的奇函数，即，，故为奇函数，对于任意的，，有，，当时，有，即，，单调递增，，，，整理可得，，解可得，或，故选：D9．AC【分析】利用幂函数、对数函数、指数函数的性质，结合特殊值法即可得解.【详解】对于A，因为在上单调递增，，所以，即，故A正确；对于B，取，满足，但，故B错误；对于C，因为，所以，则，故C正确；对于D，取，此时，故D错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论．【详解】根据条件“对任意的，，有”，则：A中，无法确定是否一定成立，故A错误；B中，，一定成立，故B正确；C中，，一定成立，故C正确；D中，将看成一个整体，则，故，故D正确.故选：BCD．11．AC【分析】利用线面夹角定义直接判断选项A，结合平面基本定理和勾股定理即可判断选项B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断面面垂直，即可判断选项C，结合长度关系，判断点轨迹，即可判断选项D.【详解】当，时，与重合，由已知得，平面，所以就是与平面所成的角，因为，所以，所以，即与平面所成角为，A正确；

当时，取线段中点分别为，连接，因为，即，所以，则点在线段上，设，则，则，，，若，则，则，则，所以或，则点与、重合时，，即当时，存在两个点使得，故B错；

当，时，，则，所以是中点，取中点，中点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，，，设平面和平面的一法向量分别为，则，，解得，，令，，可得，，因为，所以，即平面平面，C正确；

若，因为，所以点在平面上，又，所以点只能落在两点上，故D错.故选：AC12．【分析】由函数是上的偶函数，则，代入计算并验证即可求出a.【详解】函数是上的偶函数，则，＝＋＝，＝＋＝，故，即，因为，所以函数是偶函数，符合题意，故答案为：13．3【分析】根据直线与圆相切可得，进而联立直线与抛物线方程，可得，即可根据两点间的距离公式求解.【详解】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率，设方程为，则，解得，故直线方程为，联立与可得或，故，故，故答案为：3

14．【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则的面积为，则，所以，显然，故，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式，从而得解.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质依次证得平面，平面，从而得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，假设，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）平面，平面，，四边形为正方形，，又平面，平面，又平面，为中点，，又平面，平面.（2）易知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的法向量，则，令，则，故，设平面的法向量，则，令，则，故，设二面角的余弦值为，结合图形可知为锐角，所以，所以二面角的余弦值为.16．(1)(2)【分析】（1）根据的关系，作差即可求解，（2）根据，即可由等比求和公式求解.【详解】（1）当时，由，得当时，两式相减，得当时，综上可知，（2）由题意,故，,17．(1)(2)(3)见解析【分析】（1）根据平均数的计算即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解，（3）由超几何分布的概率公式即可求解.【详解】（1）由，得，解得．（2），而，，，所求的线性回归方程为：；（3）由（2）可知，，故有效数据为，的取值可能为0，1，，，则的分布列为01.注：若第（2）问代整数计算：所求的线性回归方程为：由（2）可知，，故有效数据为的取值可能为则的分布列为01218．(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为(3)证明见解析【分析】（1）求导，可得切点处的导数值，即可求解直线方程，（2）求导，判断导函数的正负即可求解函数单调性，（3）构造函数和，利用导数求解函数的单调性，进而可求解最值，即可求证.【详解】（1），，函数在点处的切线方程为：.（2）函数的定义域为，令，当时，，故在单调递减，，当时，单调递增,当时，单调递减,的单调递增区间为，单调递减区间为.（3），令，当时，单调递增；当时，单调递减，，令，当时，单调递增，故，，，.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决