2023-2024学年河北省保定市博野县数学九年级上册期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年河北省保定市博野县数学九上期末学业水平测试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若关于x的一元二次方程_?一4》+%=0有两个不相等的实数根，那么〃的取值范围是（）

A.写0B.k>4C.k<4D.JtV4且厚0

2.已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点_■一，下列说法正确的是（）

A.反比例函数的解析式是

B.两个函数图象的另一交点坐标为二一二

C当*<-2或。<2时，，〈一

r-

D.正比例函数与反比例函数都随―的增大而增大

nAzr

3.反比例函数丫=一纟的图象位于（）

x

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第二、三象限D.第一、二象限

4.已知抛物线y=-7+4x+3,则该抛物线的顶点坐标为（）

A.（-2,7）B.（2,7）C.（2,-9）D.（-2,-9）

5.关于x的二次函数y=x2-；„x+5,当迂1时，y随x的增大而增大，则实数股的取值范围是（）

A.m<2B.m=2C.m<2D./n>2

6.如图，当刻度尺的一边与OO相切时，另一边与。O的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）,圆的半径是5,那

么刻度尺的宽度为（）

B.4cmD.2cm

7.已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）

k

9.若点厶（内,乂）,例々，乂），。（%丹）在反比例函数旷=—（左<0）的图象上，且必>0>%>%，则下列各式正确的

是（）

A.xt<x2<x3B.x2<xt<x3C.xt<x3<x2D.x3<x2<x]

10.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）

A.每2次必有一次正面朝上B.必有5次正面朝上

C.可能有7次正面朝上D.不可能有10次正面朝上

11.将半径为5cm的圆形纸片沿着弦AB进行翻折，弦AB的中点与圆心O所在的直线与翻折后的劣弧相交于C点，

若OC=3cm,则折痕AB的长是（）

A.4V6cmB.6cmC.4cm或6cmD.4#cm或6cm

12.平面直角坐标系内点P（l,l）关于点。（-1,（））的对称点坐标是（）

A.（-2,-1）B.（-3,-1）C.（-1,-2）D.（-1,-3）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则EF=

-----------\D

B

14.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固

定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的

扇形）.转动一次转盘后，指针指向颜色的可能性大.

15.如图，平行四边形ABC。，O分别切于点及F,G,连接CO并延长交AO于点4,连接AG,AG

与HC刚好平行，若A5=4,A£>=5,贝！］。的直径为

16.如图，点0为等边三角形ABC的外心，连接。4,。氏

®ZAOB=C.

②弧AC以。为圆心，2为半径，则图中阴影部分的面积等于.

17.一次测试，包括甲同学在内的6名同学的平均分为70分，其中甲同学考了45分，则除甲以外的5名同学的平均

分为分.

18.如图，在AABC中，中线BF、CE交于点G,且CE丄BF,如果AG=5,BF=6,那么线段CE的长是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，

记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的

球都是黄色的概率.

20.（8分）已知：△A8C中NAC5=9O。，E在A8上，以AE为直径的。。与8c相切于O,与4c相交于尸，连接

AD.

（1）求证：AZ）平分NBAC；

（2）若。/〃A5,则80与C。有怎样的数量关系？并证明你的结论.

21.（8分）如图，已知二次函数y=-x2+2«u+3根2（根＞0）的图象与x轴交于两点（点A在点8的左侧），与

丁轴交于点C,顶点为点O.

（1）点3的坐标为,点。的坐标为；（用含有加的代数式表示）

（2）连接C2BC.

①若CB平分NOCD,求二次函数的表达式；

②连接AC,若CB平分NA8,求二次函数的表达式.

22.（10分）已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF相交于点G.

DEAD

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE丄CF,求证:~CF~~CD

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，要使——=—成立，完成下列探究过程：

CFCD

nfAr）ripcpr）prip

要使"转化成上之=匕，显然ADEA与ACFD不相似，考虑"需要ADEAs^DFG,只需NA

CFCDADCDADGD

CFDFDEAD

=N______；另一方面，只要工一=——，需要ACFDSACDG,只需NCGD=N________.由此探究出使——=——

CDGDCFCD

成立时，NB与NEGC应该满足的关系是.

DE

(3)如图③，若AB=BC=6,AD=CD=8,ZBAD=90°,DE±CF,那么庁的值是多少?(直接写出结果)

图①图②图③

23.(10分)如图，抛物线产ax2+"+4与x轴的两个交点分别为A(—4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为

D.E(1,2)为线段的中点，5c的垂直平分线与x轴、y轴分别交于尸、G.

(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点。的坐标；

(2)在直线E尸上求一点〃，使厶。”的周长最小，并求出最小周长；

(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？并求出最大面积.

24.(10分)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,CD上一点E,连接AE,将4ADE绕点A旋转90°得AAFG,

连接EG、DF.

(1)画出图形;

(2)若EG、DF交于BC边上同一点H,且△GFH是等腰三角形，试计算CE长.

25.(12分)如图，已知抛物线y=x2+Z>x+c与x轴相交于A(-1,0),50)两点，与y轴相交于点C(0,-3),

抛物线的顶点为D.

(2)若尸是直线BC下方抛物线上任意一点，过点尸作丄x轴于点"，与5c交于点M,设尸为y轴一动点，当

线段PM长度最大时，求丄CF的最小值；

2

(3)在第(2)问中，当PH+//F+丄CF取得最小值时，将厶。“尸绕点。顺时针旋转60。后得到△OATP,过点尸，作

2

0P的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点Q、R、S

为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

26.如图，已知点。在。的直径延长线上，点C为)0上，过。作互>丄AD,与AC的延长线相交于E,CD

为的切线，AB=2,A£=3.

(1)求证：CD=DE；

(2)求BD的长；

(3)若厶CB的平分线与)0交于点F,P为AHC的内心，求P尸的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【解析】根据判别式的意义得到厶=（-1）2-lk>0,然后解不等式即可.

【详解】•.•关于X的一元二次方程X?-4x+k=0有两个不相等的实数根，

AA=（-4）2-4女>0

解得：k<l.

故答案为：C.

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的

关系：（1）△>（）方程有两个不相等的实数根；（2）△=（）方程有两个相等的实数根；（3）△<（）方程没有实数根.

2、C

【解析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解.

【详解】解：..正比例函数.的图象与反比例函数.一的图象相交于点_

正比例函数=2>,反比例函数

力一为

两个函数图象的另一个角点为■；

.二，3选项错误

•正比例函数••••-_l中，随.的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内\随的A增大而减小，

灼=;'

二选项错误

:当*<-2或0<x<2时，1；<V.

选项0正确

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键.

3、B

【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0,位于一、三象限，k<0,位于二、四象限.

【详解】解：•.•反比例函数的比例系数-6<0,.•.函数图象过二、四象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键.

4、B

【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标.

【详解】二•抛物线y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

...该抛物线的顶点坐标是(2,7),

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

5、C

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可.

【详解】解：二次函数了=必-”a+5的开口向上，对称轴是x=£,

•.•当时，y随x的增大而增大，

m一

:.—W1,

2

解得，机式2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

6、D

【解析】

连接。4,过点。作。。丄AB于点O,

'：OD±AB,

：.12412(9-1)=4cm,

"：OA=5,贝!]OZ)=5-OE,

在我込。!。中，

Ofic-OD1=AO?,即52—(5—DE)2=/

解得。E=2cwi.

故选D.

7、B

【解析】根据左视图的定义：由物体左边向右做正投影得到的视图（不可见的用虚线），判断即可.

【详解】解:根据左视图的定义可知：该几何体的左视图为：|

故选:B.

【点睛】

此题考査的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义：由物体左边向右做正投影得到的视图（不可见的用虚线），是

解决此题的关键.

8、D

【分析】由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可.

【详解】根据给出的俯视图，这个立体图形的第一排至少有3个正方体，第二排有1个正方体.

故选：D.

【点睛】

考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考査.如果掌握口诀“俯视图打地

基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

9、C

【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可.

k

【详解】解：反比例函数为丁=嚏伙<0）,，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大,

又y>0>%>%，-V]<0,无2>%3>°，Xy<x3<x2.

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键.

10、C

【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是丄，进而得出答案.

2

【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是!，

2

所以掷一枚质地均匀的硬币10次，

可能有7次正面向上；

故选：c.

【点睛】

本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

11、D

【分析】分两种情况讨论：AB与C点在圆心同侧，AB与C点在圆心两侧，根据翻折的性质及垂径定理和勾股定理计

算即可.

.-.0D1AB

.•.△AOE是直角三角形，

AD6沿着弦AB进行翻折得到ACB

：.ED=CE=-CD

2

OD=5cm,OC=3cm

..CD=2cm

/.CE=—CD=lcm

2

.・.OE=OC+CE=3+l=4（cm）

在RtAAOE中

\OA=5cm

AE=A/0A2-0E2=A/52-42=3（cm）

AB=2AE=3x2=6（cm）

如图：

D

E是弦AB的中点

.-.OD±AB

••.ABOE是直角三角形

AFB沿着弦AB进行翻折得到A。？

.•.EF=CE」CF

2

OD=5cm,OC=3cm

..CD=2cm

CE=；(DF-CD)=1(2OD-CD)=4cm

.•.OE=CE_OC=4-3=l(cm)

在RtABOE中

OB=5cm

BE=^OBr-OE1=>/52-l2=276(cm)

,-.AB=2BE=276x2=476(cm)

故选：D

【点睛】

本题考査的是垂径定理，掌握翻折的性质及垂径定理并能正确的进行分类讨论画出图形是关键.

12、B

【解析】通过画图和中心对称的性质求解.

【详解】解:如图，

点P(l,l)关于点Q(T,O)的对称点坐标为(-3,-1).

故选B.

【点睛】

本题考査了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、5cm

【分析】先求出BF、CF的长，利用勾股定理列出关于EF的方程，即可解决问题.

【详解】•••四边形ABCD为矩形，

.,.ZB=ZC=90°s

由题意得：AF=AD=BC=10,ED=EF,

设EF=x,贝!|EC=8-x；

由勾股定理得：BF2=AF2-AB2=36,

，BF=6,CF=10-6=4；

由勾股定理得：x2=42+(8-x)2,

解得：x=5,

故答案为：5cm.

【点睛】

该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.

14、红

【解析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大.

【详解】•••转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，

转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大.

故答案为：红.

【点睛】

本题考査了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大.

15、2百

【分析】先证得四边形AGCH是平行四边形,则AH=CG,再证得OH=OC,求得A"=1,£>£=,证得DOYHC,

根据R90CE〜R9D0E,即可求得半径，从而求得结论.

【详解】1•四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

,JAG//HC,

二四边形AGCH是平行四边形，

:.AH=CG,

VCG.C£是。。的切线，且切点为G、E，

ACG=CE=AH,NGCH=NHCD,

'：AD//BC,

:.NDHC=NGCH,

：.NDHC=NHCD,

二三角形DHC为等腰三角形，

二DH=DC=AB=4,

：.AH=AD-DH^5-4^1,

：.CE=AH=\,OE=OC—CE=4—1=3,

连接OD、OE,如图，

VDE.是。。的切线，且切点为E、F,

...DO是/尸OE的平分线，

又：DH=DC,

：.DOA.HC,

：.ZDOC=90°,

•；CD切OO于E，

：.OEA.CD,

■:NOCE+NCOE=90°,NDOE+NCOE=90°,

:.NOCE=NDOE,

・•・R9OCE〜R9DOE,

OECE口口OE1

••--=----f即--------,

DEOE3OE

；•OE=6，

•••。。的直径为：2G

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理,相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得*DHC

为等腰三角形是解题的关键.

4

16>120-71

3

【分析】①连接0C利用等边三角形的性质可得出_AOCM_COB3二BOA,/AOB=NAOC=/BOC,可得出

NAO3的度数

2

②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式S=处匚求解即可.

360

【详解】解：①连接OC,

A

C

•.•O为三角形的外心，

/.OA=OB=OC

:.AOC=COBBOA

:.NAOB=NAOC=40c

.../AOB=120°.

②；AOC=..COB=.BOA

••AOB~°AOC

，阴影部分的面积即求扇形AOC的面积

2

.._120x^x2_4万

•扇厶区—―360—"T

4乃

...阴影部分的面积为：—.

3

【点睛】

本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式，利用三角形外心的性

质得出OA=OB=OC是解题的关键.

17、1.

【分析】求出6名学生的总分后，再求出除甲同学之外的5人的总分，进而求出平均分即可.

【详解】(70X6-45)4-(6-1)=1分，

故答案为：L

【点睛】

此题考査平均数的计算，掌握公式即可正确解答.

9

18、

2

172

【分析】根据题意得到点G是AABC的重心，根据重心的性质得到DG=—AD,CG=-CE,BG=-BF,D是BC的

233

中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5,再根据勾股定理求出GC即可解答..

【详解】解：延长AG交BC于D点,

•.•中线BF、CE交于点G,

1•△ABC的两条中线AD、CE交于点G,

...点G是△ABC的重心，D是BC的中点,

222

.*.AG=-AD,CG=-CE,BG=-BF,

333

•；AG=5,BF=6,

DG=—,BG=4.

VCE±BF,即NBGC=90°,

.,.BC=2DG=5,

在RtABGC中，CO《BC?-BG?=代。=3，

39

:.CG=JCG==,

22

9

故答案为：

2

【点睛】

本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边

中点的距离的2倍.理解三角形重心的性质是解题的关键.

三、解答题（共78分）

4

19、一

9

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概

率公式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得:

开始

红黄黄

/T\/N/1\

红黄黄红黄黄红黄黄

•••共有9种可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况,

4

•••两次摸出的球都是红球的概率为：一

9

【点睛】

此题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.解题关键是求出总情况和

所求事件情况数.

20、（1）见解析；（2）BD=2CD证明见解析

【分析】（1）连接0。.根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：ZOAD=ZODA；再由切线的性质及平

行线的判定与性质证明ZOAD=ZCAD；

(2)连接OH根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得N5AC=60。，根据平行线的性质得出CD=AF：CF,

ZDFC=Z^AC=60°,根据解直角三角形即可求得结论.

【详解】(1)证明：连接OD,

：.OD=OA,

:,NOAD=NODA,

•・・欣7为。。的切线，

；・/0DB=9。。,

VZC=90°,

：・NODB=NC,

:.OD//AC9

:.ZCAD=ZODA9

:.ZOAD=ZCAD9

，AD平分NA4G

(2)连接。凡

,:DF〃AB,

：.ZOAD=ZADF9

平分N5AC,

1

:.ZADF=-ZOAF,

2

VZADF=-ZAOF

29

:.ZAOF=ZOAF9

9

：OA=OF9

:.ZOAF=ZOFA9

•••△AO尸是等边三角形，

/.ZBAC=60°,

,:ZADF=ZDAF,

:.DF=AF9

9：DF//AB,

：.BD：CD=AF：CF,NO尸C=N5AC=60。，

BDDF

------------=2,

DCCF

：.BD=2CD.

【点睛】

本题考査了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定

理，数形结合做出辅助线是解本题的关键

21、(1)(3m,0),(/«,4-nr)；(2)®y=—x2+^^-x+l>®y=-x2+x+—

3.55

【解析】(1)令尸0,解关于x的方程，解方程即可求出x的值，进而可得点8的坐标；把抛物线的解析式转化为顶

点式，即可得出点。的坐标；

(2)①如图1,过点。作£>//丄A3,交.BC于点E,作。尸丄y轴于点尸，则易得点C的坐标与CF的长，利用8〃

的长和N8的正切可求出HE的长，进而可得OE的长，由题意和平行线的性质易推得。=让，然后可得关于小的

方程，解方程即可求出，〃的值，进而可得答案；

(3)如图2,过点8作8K〃y轴，过点C作CK〃x轴交8K于点K,交DH于点G,连接AE,利用锐角三角函数、

抛物线的对称性和等腰三角形的性质可推出N1=N2=N3=N4,进而可得AC=A£,然后利用勾股定理可得关于

”，的方程，解方程即可求出机，问题即得解决.

【详解】解：(1)令y=0,则+2mx+3>=0，

解得：x,=3m,x2=-m,

.,.点8的坐标为(3m,0)；

Vy--x2+2mx+3m2(x—m)'+4m2,

:,点D的坐标为(m,4加2).

故答案为：(3m,0),

(2)①如图1,过点。作丄AB于点"，交BC于点E,作。尸丄y轴于点R则C(0,3加?)，,DF=m,

CF=4m2-3/=m2,

VBC平分/OCD,

：.ZBCO=ZBCD,

•：DH//OC,

:.NBCO=NDEC,

：.NBCD=NDEC,

:.CD=DE,

VtanZABC==m,BH-2m,

OB3m

，HE=2m\

ADE=DH-HE=4nr-2m2=2m2,

■:CD=DE,

・•・CD2=DE2,

m2+m4=4m4,

解得：m—（〃z=—Y3舍去），

33

2

...二次函数的关系式为：y=-X+=^-X+U

3

图1

②如图2,过点3作BK〃y轴，过点C作CK〃x轴交BK于点K,交DH于点G,连接AE,

22

DGm小BK3m

VtanZ1----=——=m,tanZ2----=-----=m，

CGmCK3m

tanZ1=tanZ2,

，N1=N2,

*：EA=EB,

：.Z3=Z4,

又；N2=N3,

:.N1=N2=N3=N4,

VZDCB=Z1+Z2,Z4EC=Z3+Z4,

AZDCB=ZAEC=ZACE，

...AC=AE,

:.AC2AE2EH2+AH2，

即m2+9m4=4m4+4m2»

解得：m—2/lZ（〃?=舍去），

55

2

.•.二次函数的关系式为：y=-x+^lx+l.

55

【点睛】

本题考査了二次函数的图象与性质、抛物线图象上点的坐标特征、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角

形的外角性质、勾股定理、锐角三角函数和一元二次方程的解法等知识，综合性强、难度较大，正确作出辅助线、利

用勾股定理构建方程、熟练掌握上述知识是解答的关键.

DFQx/5

22、(1)证明见解析；(2)DGF,CDF,ZB+ZEGC=180°；(3)—=­.

CF20

【分析】(1)根据矩形性质得出NA=NFDC=90。，求出NCFD=NAED,证出AAEDs^DFC即可；

DFAD

(2)当NB+NEGC=180。时，一=—成立，分别证明即可；

CFCD

(3)过C作CN丄AD于N,CM丄AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,ABAD^ABCD,推出NBCD=NA

=90°,证ABCMs/^DCN,求出CM=丄X,在RtACMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程

5

(x-2)2+(竝x)2=22,求出CN=^,证出AAEDs/lXNFC,即可得出答案.

59

【详解】(1)证明：•.•四边形ABCD是矩形，

.•.ZA=ZFDC=90°,

VCF±DE,

.,.ZDGF=90°,

.•.ZADE+ZCFD=90°,NADE+NAED=90°,

...NCFD=NAED,

VZA=ZCDF,

.,.△AED^ADFC,

•DEAD

"CF~CD!

DEAD

(2)当NB+NEGC=180。时，——=-~

CFCD

npAnnpCFDFDF

要使"=叱，转化成匕=匕，显然4DEA与KFD不相似，考虑竺需要ADEASADFG,只需NA

CFCDADCDADGD

CFDF_

=NDGF;另一方面，只要一=—,需要ACFDSACDG,只需NCGD=NCDF.

CDGD

当NB+NEGC=180。时：：四边形ABCD是平行四边形，

.,.ZB=ZADC,AD/7BC,

.•.ZB+ZA=180°,

VZB+ZEGC=180°,

.•.NA=NEGC=NFGD,

VZFDG=ZEDA,

.".△DFG^ADEA,

•DE_DF

"'~AD~~DG'

VZB=ZADC,ZB+ZEGC=180°,ZEGC+ZDGC=180°,

.*.ZCGD=ZCDF,

VZGCD=ZDCF,

/.△CGD^ACDF,

•DF_CF

''~DG~~CD'

.DECF

,•耘—而‘

•DE-AD

''~CF~~CD'

DEAD

即当NB+NEGC=180。时，一=——成立；

CFCD

(3)过C作CN丄AD于N,CM丄AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,

VZBAD=90°,即AB丄AD,

.*.NA=NM=NCNA=90。，

:.四边形AMCN是矩形，

，AM=CN,AN=CM,

AD=CD

•.,在ABAD和ZkBCD中，＜AB=BC,

BD=BD

.".△BAD^ABCD(SSS),

.,.ZBCD=ZA=90°,

.,.ZABC+ZADC=180°,

VZABC+ZCBM=180°,

.*.ZMBC=ZADC,

VZCND=ZM=90°,

/.△BCM^ADCN,

CMBC

:.——=一，

CNCD

.CM275

•.---=----9

X5

・••CM年

在RtZkCMB中，CM=f±x,BM=AM-AB=x-2,由勾股定理得：BM2+CM2=BC2,

A（X-2）2+（述x）2=22,

，人亠、20

x=0(舍去)，x=一，

VZA=ZFGD=90°,

AZAED+ZAFG=180°,

VZAFG+ZNFC=180°,

AZAED=ZCFN,

VZA=ZCNF=90°,

AAAED^ANFC,

DEAD9亚

•'­CF-GV-20-•

【点睛】

本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和

判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好.

23、(1)y=—gf—x+4顶点。的坐标为(一1,

【分析】(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标;

(2)根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若aCDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由

于EF垂直平分线段BC,那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的

解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证

△CEG-ACOB,根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系

数法求出直线EF的解析式，由此得解；

(2)过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N

的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出aKEF的面积，由此可得到关

于AKEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标.

16a—4b+4=01

【详解】(1)由题意，得，C,“八解得。=一一，b=-l.

4a+2b+4=02

1Q

所以抛物线的解析式为丫=-；/-》+4,顶点。的坐标为(一1,万).

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点因为E尸垂直平分8C,即C关于直线EG的对称点为B,连结80交于E尸

于一点，则这一点为所求点“，使O/7+CH最小，即最小为

DH+CH=DH+HB=BD=4UM2+DM2=1V13.而CD=十仁一力=—

75+3713

的周长最小值为CD+DR+CH=

2

2k,+b,=0

'13

设直线8。的解析式为广hx+B,贝人,,9解得K=--，加=2.

_k,+h=一2

112

3

所以直线BD的解析式为尸-]X+2.

由于BC=2yj5，CE=BC/1=75，RtACEGsACOB,

得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.3,GO=1.3.G(0,1.3).

13

同理可求得直线EF的解析式为j=-x+-.

联立直线30与Ef的方程，解得使AC。”的周长最小的点”(士3，—15

48

1,

(2)设KQ,-一厂-r+4),<t<XE.过K作X轴的垂线交E尸于N.

2XF

niI12”/3、1235

贝!|KN=VK-VN=—t—Z+4-(—1-\—)=114—.

222222

11329

所以SAEFK=SAKFN+SAKNE=-KN(/+2)+—KN(1一力=2KN=~t2~2t+3=-(/+-)2+一.

2224

329335

即当仁一二时，AE尸K的面积最大，最大面积为二，此时K(一二，—).

2428

【点睛】

本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面

积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大.

24、(1)见解析；(2)CE=3-2正

【分析】（1）根据题意作图即可;

（2）根据旋转的性质得到DE=FG,AADF.△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=20，再根据等腰三角形的性

质得到GF=FH=2夜=DE,故可求出CE的长.

【详解】解：（1）如图所示：

（2）由旋转得，AD=AF=5,DE=GF

,:ZBAD=90°

.•.△ADF为等腰直角三角形，

；.A、B、F在同一直线上

.\BF=2=BH

/.△BHF为等腰直角三角形，

.".HF=V22+22=272,

,:AGFH是等腰三角形且NGFH=9（F+45o=135。

.,.GF=FH=2V2=OE

VCD=AB=3

.,.CE=CD-DE=3-2V2.

【点睛】

此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.

25、（1）8（3,0）,D（1,-4）；（2）卫士上叵；（3）存在，S的坐标为（3,0）或（-1,-2石）或（-1,2石）

4

或（-1,--）

2

【分析】（1）将A（-1,0）、C（0,-3）代入待定系数法即可求得抛物线的解析式，再配方即可得到

顶点。的坐标，根据）=0,可得点5的坐标；

(2)根据8c的解析式和抛物线的解析式，设尸(x,炉-2*-3),则x-3),表示PM的长，根据二次函数的

最值可得：当时3，的最大值，此时尸(3士，-1—5进而确定尸的位置：在x轴的负半轴了取一点K,使

224

NOCK=30。，过户作尸N丄CK于N,当N、尸、H三点共线时，如图2,最小，即「小■//?!■丄Cf的值最小,

2

根据含30°角的直角三角形的性质，即可得结论；

(3)先根据旋转确定。的位置，与点A重合，根据菱形的判定画图，分4种情况讨论：分别以。。为边和对角线进

行讨论，根据菱形的边长相等和平移的性质，可得点S的坐标.

【详解】(1)把4(-1,0),点C(0,-3)代入抛物线＞=1+如+，，得：

•••抛物线的解析式为：y=*2-2x-3=(x-1)2-4,

二顶点0(1,-4),

当y=()时，x2-2x-3=0,解得：x=3或T,

:.B(3,0)；

(2),:B(3,0),C(0,-3),

设直线BC的解析式为：y=kx+b,

3k+b=0k=1

则,。，解得：

b=-3h=-3'

二直线BC的解析式为：y=x-3,

设尸(x,x2-2x-3),则M(x,x-3),

39

.,.PM=(x-3)-(x2-2x-3)=-x2+3x=-(x-----)2+—,

24

3315

当时，