上海市奉贤区六校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年上海市奉贤区六校联考九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若两个相似三角形的相似比为1：2,则它们面积的比为（）

A.2：1B.1：72C.1：4D.1：5

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可得.

【详解】解：；两个相似三角形的相似比为1：2,

，它们面积的比等于（；）2=-=1：4,

24

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.

2.如图，在Rt^ABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,则cosA的值为（）

34

C.

53

【答案】C

【解析】

【分析】本题需先根据勾股定理得出A3的长,再根据锐角三角函数的定义即可得出cosA的值.

【详解】NC=90°，AC=3,8C=4,

:.AB=5,

AB5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数定义,在解题时要根据勾股定理解出AB的长是解本题的关键.

3.在,ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，AD:BD=1:3,那么下列条件中能够判断。?〃

是（）

DE1DE1AE1AE1

A.——B.——C.——D.——

BC2BC3AC4AC3

【答案】C

【解析】

【分析】根据给出的条件证明△AOESZXABC,根据相似三角形的性质得到NA£>E=NABC,证明

DE//BC.

【详解】解：要判断。石〃BC,

则要证明ZXADEcoAABC,

DF1DF1AFI

当*=_L,匕=上，丝=上时，不能得到△ADES/XABC,

BC2BC3AC3

.•.不能判断。石〃3C,

当处」时，

AC4

AD：BD=1：3,

AD1

••=,

AB4

.ADAE

ZA=ZA,

AADEcoAABC,

:.ZADE^ZABC,

：.DE//BC,

故选项C可以判断DE//BC,

故选：C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关

键.

4.在RtA3C中，ZC=90°,NB=a,AB=m,那么边8c的长为（）

A.m-sincrB.m-cosaC.m-tan«D.m-cota

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦函数定义可以求得cos8=cosa=+,将AB=m代入即可求得8C.

AB

【详解】解：如图，ZC=90°,NB=a,AB^m,

贝ijcosB=cosa,

AB

/.BC—AB-cosa=m-cosa.

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，本题中明确三角函数的定义求得cosa=变是解

AB

题的关键.

5.已知点。是线段的中点，下列结论中，正确的是（）

1—.1

A.CA=-ABB.CB^-ABC.AC+BC^QD.AC+CB^O

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出图形，因为点。是线段的中点，所以根据线段中点的定义解答.

1

【详解】解：A、CA^-BA,故本选项错误；

2

B、CB=—AB,故本选项正确；

2

C、AC+BC=Q＞故本选项错误；

D、AC+CB=AB＜故本选项错误.

C

-----------«-----------

故选B.

【点睛】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则.

6.如果点。是线段AB的黄金分割点（且AC）,那么下列结论错误的为（）

A.生=避二1B.3C是AC和AB的比例中项

AB2

cABV5-1cBC>/5+l

AC2AC2

【答案】C

【解析】

【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可.

【详解】解：点C是线段AB的黄金分割点（且BC>AC）,

.•.BC是AC和AB的比例中项，生=生=吏二［,

ABBC2

BC2V5+1

"AC=V5-1=2

故选项A、B、。不符合题意，选项C符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

..a2…a+b

7.若丁==，WJ——=.

b5b

7

【答案】y

【解析】

【分析】先设。=2%，则Q5A,然后将它们分别代入竺计算即可求出其值.

b

【详解】解：：==一，

b5

设a=2k,则b=5k,

.a+b_2k+5k_7

''~b5k5'

7

故答案为：y.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质，并运用设％法可使计算简便.

8.已知线段a=2厘米，c=4厘米，则线段”和。的比例中项6是_____厘米.

【答案】2垃

【解析】

【分析】根据线段比例中项的概念，可得a:b=>：c,可得〃=ac=8,故匕的值可求.

【详解】解：线段b是。的比例中项，

b"=ac—8>

解得6=±2近，

又线段是正数，

；)=2万

故答案为：2后.

【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方.求两条线段的比例中

项的时候，负数应舍去.

9.已知a与单位向量e的方向相反，且长度为5,那么e表示a为.

【答案】-5e

【解析】

【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答.

【详解】解：a的长度为5,向量e是单位向量，

.•.同=5同，

,4与单位向量©的方向相反，

a=-5e；

故答案为：一5e.

【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度

等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向.

10.计算：sin30。+血cos45。-tan60。=.

【答案】——A/3

2

【解析】

【分析】根据sin3(T=:，cos45°=—1tan60°=V3.即可.

22

i万

【详解】Vsin30°=-,cos45°=J，tan600=6，

22

，sin30°+>/2cos45°-tan60°

，+应X立—6

22

=3-3

2

故答案为：6•

2

【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握sin3(r=1，cos45°=—.tan600=百的值.

22

11.计算：2(a—Z?)—3(6(+—Z?)—.

【答案】-a-3b

【解析】

【分析】根据向量的计算法则求解即可.首先去括号，再将同一向量的系数相加减即可求得答案.

1-

【详解】解：2(a-b)-3(a+-b)

3

=2a_2/j-3a-b

=-a-3b.

故答案为：-a-3b*

【点睛】此题考查了向量的运算.题目比较简单，先去括号，再加减运算即可.

12,已知浸ABCs△A18]G，顶点A、B、C分别与A、B]、G对应，AB：4旦=3：4，BE、

gg分别是它们的对应角平分线，则座：用耳=.

【答案】3：4

【解析】

【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可.

【详解】解：•.”Cs^AgG，

BE：=AB：A4=3：4，

故答案为：3：4.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的

比都等于相似比是解题的关键.

13.如图，在平面直角坐标系内有一点P（5,12）,那么OP与x轴正半轴的夹角a的正弦值

【解析】

【分析】过点尸作孙，x轴于点A,由P点的坐标得24、。4的长，根据勾股定理求出0P，然后根据正

弦函数的定义得结论.

【详解】解：过点尸作轴于点A,

P（5,12）,

..（M=5,PA=\2,

：.OP=\?>,

PA12

・••O尸与X轴正半轴所夹的角的正弦值为：sinZPOA=——=—.

OP13

、,一、、12

故答案为：—.

13

【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理.解决本题的关键是构造直角三角形.

AE1

14.如图，已知A。为角平分线，DE//AB，如果——=一，AB=6,那么。E=.

AC3

【答案】4

【解析】

DEEC

【分析】由DE〃A8可得f=再根据题干条件，即可求解.

ABAC

【详解】解：；O£〃AB，

DEEC

rAE1

又----——,

AC3

DEEC2

-7c-3*

AB-6,

:.DE=4.

故答案为：4•

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.

15.如图，已知A8_L8£>，ED工BD，C是线段BO的中点，且4。1CE,AB=BD=8，那么。£=

【答案】2

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定及己知可得到s二CDE,利用相似三角形的对应边成比例即可求得

EZ)的长.

【详解】解：C是线段的中点，30=8,

BC=CD=4,

ABA.BD，ED上BD，

:.ZB=AD=90°,ZA+ZACB=90°,

AC1CE,即NEC£>+ZACB=9()°,

:.ZA^ZECD,

:._ABCs_CDE,

ABBC

'^CD~~DE'

84

/.一=---9

4DE

DE=2，

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是推出.ABCs.CDE.

16.如图，在中，AO是中线，G是重心，AB=°,GD=b，那么8G=.（用a、表示）

【解析】

【分析】根据重心定理求出4G，再利用三角形法则求出BG即可.

【详解】解：根据三角形的重心定理，GD=-AD,

3

于是AG=2GD=2b-

故86=46—48=%—a.

故答案为：2b—a.

【点睛】此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理（三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角

2

形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的§）,难度不大.

17.已知菱形A3C。的边长为6,对角线AC与8。相交于点0，。£，回，垂足为点E，AC=4,

那么tanZBOE=.

C

【答案】20

【解析】

【分析】根据菱形对角线互相垂直，和OE_LAB,证明△OBEsCO,可得NBOE=NBAO,根据

4。和的值，利用勾股定理求出。B,即可求得tan/BOE的值.

【详解】解：菱形对角线互相垂直，OE1AB,

.-.ZOEA=ZAOB=90°,

ZOBE=ZABO,

:：OBEsABO,

：.ZBOE=ZBAO,

AO=—AC=2,AB=6>

2

:.OB=VAB2-(9A2=V62-22=40，

tanZBOE=tan/BAO=—==20.

OA2

故答案为：2夜.

【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，三角形正切函数的计算，菱形对角线垂直平分的性质，本

题中求证Z.BOE=ZBAO是解题的关键.

18.如图，在梯形ABCO中，AD〃BC,AC与6。相交于点。，如果S.C=2SACD，那么5人。。：

SABC=------•

【答案】I：3##-

3

【解析】

【分析】首先根据SABC=2SAQ，可得A£>：BC=\：2；然后根据.•.二AQDsqCQB,可得AO：

OC=OD：OB=AD：BC=1：2.进而可得、.。。：SBOC=1：4，SAOI)：SAC,B=1：2,SA0D：

SMCD=1：2,设S*。=3分别表达So。和S"c进而可得结论•

【详解】解：在梯形ABCD中，AD//BC,SABC=2SA°，

..AD：BC=1：2：

AD/IBC,

:._AODs二COB，

：.AO：OC=OD：OB=AD：BC=1：2.

,,AOD:SMe=1：4，SA。。：S"OB=1：2，,AOD:^AOCD=:2，

设sA8=々，则sBOC=4k,SAOB=S℃D=2k，

―SABC—SA0B+SBOC=6k,

一SCOD:SABC=2k：6k=1：3.

故答案为：1：3.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握.

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.已知：土=上=三，2x-3y+4z=33,求代数式3x-2y+z的值.

234

【答案】12

【解析】

【分析】设比值为Z,用％表示出X、＞、Z,然后代入等式求出从而得到X、y、Z,再代入代数式进

行计算即可得解.

【详解】解：设土=2=1=&,则x=2Z,y=3Z,z=4k,

234

2x-3y+4z=33,

:.4k-9k+16k=33,

解得：k=3,

:.x-6,y=9,z=12,

.,.3x-2y+z=3x6-2x9+12=18-18+12=12.

【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值.利用“设七法”表示出x、V、z求解更简便.

20.如图，已知4D〃8£〃C户，它们依次交直线4、4于点A、B、C和点。、E、F.

(1)如果AC=14,BC=8,DE=9,求EE的长；

(2)如果OE:OF=2:5,AD=7,BE=11>求CF的长.

【答案】(1)EF=n

(2)CF=17

【解析】

AUDE

【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理得到——=——，把已知数据代入计算即可；

BCEF

(2)连接AF，交BE于H,先证明△EEZ/s/XRM，根据相似三角形的性质求出”E，进而求出

BH，再证明△ABHSAAC户，根据相似三角形的性质计算，得到答案.

【小问1详解】

AD//BE//CF,

ABDE

"~BC~~EF'

AC-14»BC—S,DE-9,

,14-8_9

••—,

8EF

解得：EF=12；

【小问2详解】

连接A”，交BE于H,

AD//BE//CF,

ABDE2

,AC-PF-5'

AD//BE，

HEEFmHE3

ADDF75

解得：HE言,

34

:.BH=BE—HE=——，

5

BE//CF,

AABHsAACF,

34

BHAB

即3_2,

~CF~~AC

CF-5

解得：CF=17.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关

系是解题的关键.

21.如图，在48c和VA0E中，ZBAD^ZCAE,ZABC^ZADE.

(1)求证：—

BCAC

（2）判断△ABO与ZVICE是否相似？并证明.

【答案】（1）见解析（2）△A5O与A4CE相似，理由见解析

【解析】

npAp

【分析】（1）根据两个角相等的三角形相似，可以得到一ABCsVADE，然后即可得到釜=笠

£?CAC

A0ARAD

（2）根据_A8CsvADE可以得到一=—,从而可以得到芸=隼，再根据NRM>=NC4E,即

ADAEACAE

可得到△A3。与AACE相似.

【小问1详解】

证明：ZBAD=ZCAE,

ZBAD+ADAC=ZCAE+ADAC,

:.ZBAC-ZDAE,

又ZABC^ZADE,

ZABCSVADE,

DE_AE

,BC-AC!

【小问2详解】

△A3。与AACE相似，

证明：由（1）知：ABCSVADE，

ABAC

'AD-AE）

ABAD

'AC-AE'

*ZBAD=ZCAE,

.•..AS。与八4。£相似.

【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，解答本题的关键是明确题意，能合理运用已经得到的结论解决

后面的问题.

4

22.已知：如图，在ABC中，AB=AC=15,tanA=-.求：

3

（2）N8的余弦值.

【答案】⑴S状=90;

（2）的余弦值为更

5

【解析】

【分析】Q）过点。作CDJ_A5,垂足为。，在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD=4左，则

AD=3k,从而利用勾股定理求出AC=5Z,进而可得Z=3,然后可得AO=9,CD=12,最后利用三

角形的面积公式，进行计算即可解答；

(2)在Rt_BC。中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【小问1详解】

解：过点。作CDLAB,垂足为。，

CD4

在RtZXABC中，tanA=——=一，

AD3

.•.设8=4%,则AD=3A,

•••AC=y/AD2+CD2=7(3A:)2+(W=5k，

AC=15,

5*=15,

:・k=3,

・・・AO=9,0)=12,

*e.3八ARC=_AB,CD

=-xl5xl2

2

=90；

【小问2详解】

解：在RtBCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12,

BC=yjcif+BD2=V122+62=6后,

・•.COS人处=二=立,

CB6V55

的余弦值为好

5

【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

23.如图，在中，点。、E分别在边A3、AC上，AC=3CE,AD^2BD,已知=BC=b•

（1）用向量a、人分别表示向量BE、AE'

（2）作出向量0c分别在DA、8c方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）.

2212

【答案】（1）AE=——a+-h,BE^-a+-b

3333

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用三角形法则求解即可：

（2）证明小〃3C,利用平行四边形法则解决问题即可.

【小问1详解】

AC=AB+BC，

AC=-a+b'

AC=3CE,

2

/.AE^-AC,

3

-22

AE——ciH—b>

33

BE=BA+AE,

2212

BE=ci—aH—b——ciH—b；

3333

【小问2详解】

,AC-3CE,AD=2BD,

,ADAE

:.DE//BC,

过点C作CT//AB交DE的延长线于点T,DB，OT即为所求.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三

角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型.

24.如图，已知在四边形ABCO中，AD〃BC,E为边CB延长线上一点，联结QE交边A6于点尸，联

FGAD

结AC交。E于点G,且一£=—.

DGCE

(1)求证：ABhCD.

(2)如果AE?=AG-AC，求证：——=——

AGAD

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据AD/BC,得工4DG二CEG,再根据相似三角形的判定和性质，即可；

（2）由A£2=AG-AC，则.AEG_ACE,得ZAEG=ZACE=NZMG,可得..EDA,再

根据相似三角形的性质，即可.

【小问1详解】

,/AD//BC,

:.ZADE=/CED,ZCAD=ZACE,

i,ADGe^CEG,

ADAG

~CE~~CG

FGAD

~DG~~CE

AGFG

~CG~~DG

*'.,AFG.CDG，

：.ZACD^ZCAF,

：.ABCD.

【小问2详解】

AE2=AGAC>

4g=旭且/E4c是公共边,

ACAE

AEGACE,

ZAEG^ZACE,

ABCD,

ZDAG^ZACE,

ZAEG^ZDAG,

NADG是公共角,

ADGEDA,

AEDE

75一茄,

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

25.已知：如图1，在梯形ABCO中，AD//BC,NBCD=90°,BC=11,8=6,cotZABC^-

2

点七在边上，且AE=3ED,EF〃AB交BC于点、F，点、M、N分别在射线EE和线段8上.

备用图

(2)如图2，当点〃在线段FE上，且设RW-cosNEFC=x,CN=y,求y关于x的

函数解析式，并写出它的定义域;

(3)如果.AA/N为等腰直角三角形，求线段FM的长.

【答案】(1)CF=5

/c、5x?-14x—15/\

（2）y=----------------（04x41）

2x-6、）

(3)FM为小或小层或电5

33

【解析】

【分析】(1)过A作AHJ.BC,于是得到AH=C£>=6,解直角三角形即可得到结论;

(2)过M作MPLC。于P,MKLBC于K，反向延长交AO于Q，则KQ_LAO,解直角三角

形求得MK=2x=PC,NP=y-2x,MP=CK=5-x=QD,于是得到AQ=8-（5-x）=3+x,

QM=6-2x,推出△AMQs二PMN,根据相似三角形的性质列方程即可得到结论;

(3)①当M在线段上户上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到QM=MP,列方程得到

6-2x=5—x,解方程即可得到结论；②当M在山的延长线上时，根据已知条件得到VAQM丝AMNH,

由全等三角形的性质得到AQ=M"，由(2)知FK=X,CK=5-x=MH,MK=2x=CH,列方程

即可得到结论.③当NAM0=9O。时，过点N作PQLCD交AB，AG于点P,H,作MR1BC交

BC的延长线于点R,交直