2023届黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高三年级上册第一次月考数学试题

2023届黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高三上学期第一次月考数

学试题

一、单选题

1.设全集U=R,集合A={x||x-2kl},B={x|2'-4>0},则集合A(a8)=()

A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]

【答案】A

【分析】求解绝对值不等式和指数不等式，解得集合AB,再求结果即可.

【详解】因为A={x||x—2卜1}={X[1<X<3},8={巾”-420}={x|x±2},

故可得务8={x|x<2},A(^B)={A|1<X<2}=(1,2).

故选：A.

2.复数z满足(l+i)z=3+i,则|z|=()

A.&B.73C.2D.y/5

【答案】D

【分析】按照复数的运算法则求出z,再根据复数的模长公式求解即可.

【详解】由(l+i)z=3+i可得2=言=：+;:-：=2-i,

所以|Z|=J22+(—1)2=6,

故选：D.

3.已知函数〃力=》口3*-亍J,则“函数”X)为偶函数”是“a=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义求出当函数/(x)为偶函数时，实数。的值，再利用集合的包含关系判断

可得出结论.

【详解】若函数/(x)为偶函数，则对任意的xeR,=

因为〃—x)=/(x),则•3-a•3、)=•3'—•3-'),

即1.3'-a.=a-3,-1•3一，，即(a-：J(3*+3-')=

0,所以，。一一=0,解得a=±l,

aa

又因为{T』}{1},因此，“函数/(x)为偶函数”是“a=l”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知sin(a-?)=--，，则sin2«的值为()

A.；B.--C.立D.-日

222

【答案】B

【分析】

7tTC

【详解】因为sin2a=cosH-2aJ=cos|2--al-2sin2----a

所以sin2aV]=l-2x^=-i.

故选：B.

5.某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一

位医生.由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是()

A.90B.216C.144D.240

【答案】B

【分析】先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将他们分配到四个医院即可.

【详解】完成这件事情，可以分两步完成，

第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有以-1=9种方案；

第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有&=24种不同方案，

所以根据分步乘法计数原理得共有24x9=216种不同安排方案.

故选：B.

【点睛】本题考查分组分配问题和分步乘法计数原理，考查逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键

在于根据分组分配的方法先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，再将四组医生分别

分配到医院.

6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年,

英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯

得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问

题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，

构成数列｛q｝,则该数列共有()

A.202项B.203项C.204项D.205项

【答案】C

【分析】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列可得也,=5〃-4,由3=3-2可得数列仍“｝

的奇数项能被2除余1,%=4“T=H)〃-9,解10〃-942031即可.

【详解】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛〃,｝,则”=5"-4,

由g=曰-2可得数列｛〃｝的奇数项能被2除余1,

所以4=4,1=5(2"-1)-4=10〃-9，

由10〃一9<2031可得n<204,

故选：C.

7.已知(6+1)的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为A,则展开式中二项式

系数最大的项为第()项.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到

关于”的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.

【详解】(五+jj的展开式通项公式为"C；(五厂售J=C>2'x竽，

则第3项的系数为C：(2，倒数第3项的系数为C：2.2*2,

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为上，

16

「2221

所以与=/=2'所以C322=Cf.2i,解得〃=8,

C“-216

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项,

故选：c

8.已知关于x的方程x2+2=xku+«(x+2)在g,+8)上有两解，则实数4的取值范围为()

△1ln2~|(.9ln2~|

A.[1,1+丁]B・J历+丁]C.(1,2]D.(!,(?]

【答案】B

【分析】利用参变量分离法可将问题转化为氏=匚三皿在I：，一］上有两解，进而可将问题转

化为函数〃x）='+2-£n尤与在H收）上有两个交点,利用导数研究函数/（X）的单调性，利

x+22

用数形结合即可求出实数k的取值范围.

【详解】由已知可得％=立2三处在1?，+8]上有两解，

x+2L2)

2

A、x+2-x\nxr],、

令/(x)=----------------，€[-,+»),

x+22

则问题转化为函数y=F(x)与y=%在[g,+=o)上有两个交点，

h/,/、(2x-Inx-l)(x+2)-(x24-2-xInx)x2+3x-21nx-4

而/⑶=------------E------------=一率方—'

令g(x)=J+3x—2Inx-4,则g'(x)=2x+3—2=2白3七2=(21)(叶2),

XXX

因为X€["+8),所以g'(X)20恒成立，所以g(X)在[2+8)上单调递增，

22

又g⑴=0,

所以当xeg,l)时，g(x)<0,贝U/'(x)<()；

当xe[l,+<»)时，g'(xR0,贝lJ/'(x)20,

所以F（x）在弓,1）上单调递减，在口,内）上单调递增,

1_1.£

mi、i々1T71/1、49-211229In29In2

所以=/(1)=1,又/(-)=42/=£(彳+干)=6+丫,

N，+2乙1UD

2

作出函数/（x）的大致图象如图示：

要使得k=mnx在+8］上有两解，

x+2L2）

实数Z的取值范围为（1，^+警,

故选：B

二、多选题

9.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记事件A为“第

一次向下的数字为偶数”，事件8为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）

A.P（A）=-B.事件A和事件8互为对立事件

C.P（B|A）=1D.事件A和事件8相互独立

【答案】CD

【分析】根据独立事件的定义以及条件概率对有关选项作相应的分析和计算即可.

21

【详解】对于A,P（A）=-=~,可得A错误；

对于B,事件B第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，

就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件B不是对立事件，

可得B错误；

1

4-1

对于C,由P（AB）=2X]=L，可得P（8|A）=M^=-=

12-

444P（A）

2-

可得C正确；

对于D选项，由尸+可得尸（A）P（8）=P（A3）,

可知事件A和事件8相互独立，可得D正确；

故选：CD.

10.某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地

小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数

据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A.推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高

B.推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高

C.推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡

D.推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化

【答案】BC

【分析】根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可

【详解】对于A,从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高,

故A错误；

对于B,从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为45~50万元,其次是40-45万元及50~55

万元，减免后占比最多的为50~55万元，其次是55~60万元及45~50万元，明显增多，所以平均

年收入也有明显提高，所以B正确.

对C,从图中看出，推行减免政策后，年收入更加集中，所以减免后年收入更加均衡，所以C正确;

对于D,从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.

故选:BC

11.已知函数/(x)=sinx(2\/5cosx+sinx)-cos2x,则下列结论正确的是()

A.的图象关于直线》=,对称

B.在上的值域为1,1

C.若/■(内)=/(七)=2,则占一%=%兀，keZ

D.将/(x)的图象向右平移=个单位得g(x)=-2cos2x图象

【答案】CD

【分析】利用三角恒等变换得到/(x)=2sin12x-£|，代入验证后得到》哈不是函数的对称轴，

A错误；

B选项，整体法求解函数在:占上的值域：

C选项，解正弦方程得到％-赴=》=^+勺兀-(三+右兀)=(尢-&)TC=E；

D选项，利用左加右减及诱导公式求出平移后的解析式.

【详解】f(x)=sinX(2A/3COSX+sinx)-cos2x=2>/3sinxcosx+sin2x-cos2x

=V3sin2x-cos2x=2sin^2x--^-j,

A选项，当》=卷时，，偌)=2sin(2x号-如=0,故》=得不是的对称轴，A错误;

12.\I/O，1，

x€H1，等，则sinb«x-[E,/(x)=2sinf2x-^e[l,2],B错误；

l_42」6|_36」VL2JV67

令/(x)=2,BP2sin||=2,^2x-^=-+2te,eZ,

k6762

jr

解得：x=—+ku,eZ,

..7C.-fy+Mj=(^-A:2)7t=^>C正确;

则％一/=X=]+K兀

将的图象向右平移2个单位得ga)=2sin(2x-Uj=2sin(2x/J=-2cos2x,D正确.

636

故选：CD

12.定义：在区间/上，若函数y=/(x)是减函数，且了=#(力是增函数，则称y=〃x)在区间/上

是“弱减函数''.根据定义可得()

A.〃x)=］在(0,+e)上是“弱减函数”

B.〃x)=j在(1,2)上是“弱减函数”

C.若〃X)=¥在(，％母)上是“弱减函数"，则”，>e

D.若/(x)=cosx+fcv2在卜身上是“弱减函数，，，则上4k对

\2；3兀兀

【答案】BD

【分析】根据y=W(x)在(。,+8)上的单调性可判断A；根据“弱减函数''的概念，利用导数判断单调

性即可判断BC;由“弱减函数”的概念可得/(x)=cosx+h2在用)上单调递减，

g(x)=")=xcosx+&在归)上单调递增，求导，分离参数，利用导数求最值即可判断D.

【详解】对于A选项，因为函数y=#(x)=l在(0,+8)上不是增函数，故A不满足条件；

对于B选项，r(x)=£f,当/(1,2)时,/'(x)<0,故函数y=/(x)在xe(l,2)上是减函数.

X22x-x2

令g(x)=V(x)=/,xe(l，2)，则g'(x)=—>0，

故函数g(x)=4,(x)在xe(1,2)上为增函数，故B满足条件；

对于C选项，若〃力=¥在(加,例)上单调递减，由-")=匕詈<0,得、>e,

故f(x)=(的单调递减区间为(e,+8).

若4(x)=lnx在上单调递增，则〃亚0.

故若/(刈=(在(根,”)上是“弱减函数”，则〃后6,故C错误；

对于D选项，若/(x)=cosx+fcr2在(o.])上单调递减，

蛆」尸(、)=一411尢+2"《0在(0b)上恒成立，即24《卓].

令始)=喑小，9,

则"(x)=xc°s"；sinx,ae(x)=xcosx-sinx,x€(0,]),

贝|Je'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

则8(x)在(05上单调递减，故夕(“<e(0)=0.

故〃(x)<(),/?(x)在(0,胃上单调递减，〃(力>«3=：

21

所以2人工一，解得左«一.

7171

若g(x)=4(x)=xcosX+收在10,；J上单调递增，

贝I」g'(x)=cosx-xsinx+3)20在(0马上恒成立,

xsinx-cosx

所以弘士

xsinx-cosx

令尸卜)=

x2cosx+2cosx

则F(x)=

所以F(x)在恒)上单调递增，尸但<尸图=：♦

所以然2±2,解得2

兀3兀

21

综上，—<k<—,故D正确.

3兀兀

故选:BD.

【点睛】总结点睛：

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立

问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、

极(最)值问题处理.

三、填空题

13.函数/(x)=x+31nx的图象在点(1,1)处的切线方程为.

【答案】4x-y-3=0

【分析】根据题意，先求出函数的导数，利用导数的几何意义，求出切线方程的斜率即可求解.

【详解】因为函数/(x)=x+31nx,所以广(%)=1+3,又因为点(1,1)在函数图象上，由导数的几何

意义可知：切线的斜率4=/《)=4,

所以所求切线方程为V-l=4(x-l),即4x-y-3=0或y=4x-3,

故答案为：4>丫-3=0或尸4厂3.

14.在正项等比数列｛%｝中，若4%=4,贝贝呜生+210824+1。8240=.

【答案】4

【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可求得结果.

【详解】因为正项等比数列｛6,｝中，44=4,

所以=440=4?=4,

所以log2%+21og24+log24。

=2+2=4,

故答案为：4

e2"x>0

15.设函数y(x)=，2/4.>若/(/(。))=4,则a=.

【答案】ln2

【分析】由题意可得：当x>0时，则/(x)<0,当x40时，则〃x)N3,因为/(〃a))=4,则〃a)40

且[f(a)[+2〃a)+4=4,解得〃a)=T,可得-e2a=-4,运算求解.

【详解】当x>0时，则/(x)=-e2，<0,当xSO时，贝iJf(x)=x2+2x+4=(x+iy+3N3

V/(/(a))=4,则/⑷40且"(叫2+2〃。)+4=4

.♦./(a)=T或/(。)=0(舍去)

若〃a)=T,则—e?"=-4

a=—In4=In2

2

故答案为：ln2.

16.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D,已知射线A8,AC为湿地

两边夹角为g的公路(长度均超过4千米)，在两条公路A8,AC上分别设立游客接送点E,F,

且AE=AF=&千米，若要求观景台。与两接送点所成角NEDF与/BAC互补且观景台。在瓦■的

右侧，并在观景台。与接送点E,F之间建造两条观光线路DE与。尸，则观光线路之和最长是

(千米).

【答案】2

【分析】根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】在△AEF中，因为AE=A尸=6，Z£AF=|,

所以EF=AE=AF=,

2兀

又/£DF与N84C互补，所以NED/

在..力£尸中，由余弦定理得：EF2=DE2+DF2-2DEDF-COSZEDF,

即DE2+DF2+DEDF=3,即(OE+。尸『一OE-OF=3,

因为DE-DF4；(DE+DF)2,

所以(OE+OFy-OE-OFuSNlOE+OEf-llDE+OFy,

所以。E+OF42,当且仅当£>E=£)R=1时，取等号，

所以观光线路之和最长是2.

故答案为：2

四、解答题

17.A8C内角A,B,C所对的边分别为mb,c9已知b+c=a(cosB+cosC).

(1)求A；

(2)若sinA+sinC=2sin8,求sinB+sinC.

【答案】(1)];

(2)r

【分析】(i)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解作答.

(2)利用正弦定理角化边，结合勾股定理及直角三角形边角关系求出sin'sinC即可作答.

【详解】(1)在ABC中，由正弦定理及人+c=a(cosB+cosC^,sinB+sinC=sinA(cosB+cosC),

于是得sin(A+C)+sin(A+8)=sinAcosB+sinAcosC,化简整理得cosAsinC+cosAsinB=0,

即cosA(sinC+sinB)=0,而sin8>O,sinC>0,则cosA=0,又OVAVJT,

所以A=1.

c2b

(2)因为sinA+sinC=2sinB,由正弦定理得：a+c=2b,贝!|1+—=匚，

aa

由⑴知，在RtZXABC中，ZBAC=；,b2+c2=a2,即⑶+⑶=1,于是解得。=)="

2⑺⑴a5a5

be437

显然有sin8=t,sinC=2,即sinB=—,sinC=「,则sin8+sinC=一,

aa555

7

所以sinB+sinC.

18.若数列｛%｝满足：q=l,%=5,对于任意的〃eN",都有“"+2=6”,+|-9%.

(1)证明：数列｛(+「3a”｝是等比数列；

(2)求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

⑵%=(2〃+1)X3"2

【分析】(1)由%+2=6。“+|-9。“，得。随一3%=3(。向一3。“)，即可得证；

(2)由数列｛《向-3%｝为等比数列，可得数列历向-3%｝的通项公式，再利用构造法求得数列｛4｝

的通项公式.

【详解】(1)由4+2=6。“+|-94，得%+2-3%+1=34川一9。“=3(4,用一3%),

且生—3q=5-3=2,

所以数列｛《用-3%｝为等比数列，首项为2,公比为3

(2)由(1)得”向-3a“=2x3"'

等式左右两边同时除以3向可得：黄一含J，即爵一争J，

且黑=!’

3,3

所以数列｛枭｝为等差数列，首项为g,公差为最，

a..1,1、22〃+l

所rrH以I#W〃T)丁丁，

所以q=号U*3"=(2〃+I)x3"2.

19.函数f(x)=Asin(s+s)+8的部分图象如图所示，其中A>0,0>0,|^|<-|.

(I)求函数y=/(x)解析式;

rr

(ID求xe0,-时，函数y=/(x)的值域.

【答案】(I)t(x)=2sin(2x+£|+2；(H)[1,4].

【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出4,由周期求出。，由/=4求出。的值，可得函数

的解析式；

(II)由已知可求范围2x+^TTeTC77r,利用正弦函数的图象和性质可得sin(2》+T二T\卜--I,1

oooI6J2

即可求解.

【详解】(I)根据函数/(x)=Asin((av+(p)+8的一部分图象，其中4＞0,。＞0,时＜5,

—r/口T127157r兀."

可得A=4—2=2,3=2,-=-——：.a)=2.

44/126

又/⑥=4,得2sin(2x*+0)+2=4,

,717tc,兀

・・—卜中=2%用H—,1即3rl(p—2k兀H—,

326

〃x)=2sin(2x+?J+2；

71

(II)*.*XG0,—,

nIn

.・.2x+-e,sin2x+—e,1,Ay=2sinl2x+—+2e[l,4].

6ITI(>2

【点睛】本题主要考查由函数y=Asin(5+s)的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正

弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

20.已知｛可｝是公差为2的等差数列，««>0,且％是2a2和%-2的等比中项.

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足2+%++—=2””,求也｝的前〃项和，.

a\a2an

【答案】⑴％=2〃

⑵1=(1).2"+2+8

【分析】(1)根据已知条件求得4，由此求得｛可｝的通项公式.

(2)根据已知条件求得利用错位相减求和法求得却

【详解】(1)依题意，｛%｝是公差为2的等差数列，«,>0,且%是2%和%-2的等比中项,

即a：=2%x(〃5-2),即(4+6『=2(“+2)x(“+6)=q=2,

所以=2+2(〃-1)=2〃.

(2)依题意2+%++4=2向①，

4%4

当〃=1时，」•=2~,4=8,

当〃N2时，—+—++姐=2〃②，

a

\。2an-\

①-②得：飨=2"也=2〃x2"=〃x2〃+i,

an

所以"小f8,nf=l”

7；=8+2X23+3X24+■+MX2"+I(3),

27；,=16+2X24+3X25++nx2"+2@,

34

③-④得：-7；I=2+2++2"+’_〃X2'"2=^^J_〃X2"+2=([_〃).2"+2_8,

所以7；,=(〃-l>2"+2+8.

21.《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持

脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持

农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前，脱贫地区相关设施建设情况如

何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决

方案，通过调查发现有;的受调查者赞成方案A,有!的受调查者赞成方案B,有，的受调查者赞成

方案C,现有甲、乙、丙三人独立参加投票(以频率作为概率).

(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；

(2)若某人选择方案A或方案8,则对应方案可获得2票，选择方案C,则方案C获得1票，设X是

甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴寿;

1O

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】(1)利用对立事件和互斥事件的概率公式求解；

(2)先求出X的所有可能取值为3,4,5,6,再求出对应的概率即得分布列和数学期望.

【详解】(1)解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为++=

22336618

所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为1-75=911.

(2)解：X的所有可能取值为3,4,5,6,

因为尸(X=3)=

尸(X=5)=C；x,x[l2i2_75_25

3_125

P(X=6)=C；x=---，

216

所以X的分布列如下:

X3456

1525125

P

2167272216

21.5.25.125II

助以E(X)=3x---F4xf-5x---F6x---=—.

'721672722162

22.已知函数/(x)=lnx-"L^(x)=«(x-2)e'-t-l,其中aeR.

X

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当0<a<g时，是否存在和马，且苍工々，使得/(xj=g(%)(i=l,2)?