广东省惠州市惠城区河南岸中学2023-2024学年九年级上学期开门考数学试卷

2023.2024学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（上）开

门考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.要使式子GT?有意义，则》必须满足（）

A.%>0B.%。-4C.xN—4D.%>—4

2.下列四个图象中，y不是x的函数的是（）

3.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为使在我心中》的绘画、书法、摄影等

艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50,

则这组数据的众数是（）

A.46B.45C.50D.42

4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.FTB.04C.OJD.>/-50

5.双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三

部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若宸宸学习成绩为90分，

体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为（）

A.84B.85C.86D.87

6.已知△4BC中，a、b、c分别是乙4、厶B、4C的对边，下列条件中不能判断△4BC是直角

三角形的是（）

A.=ZC-乙BB.a2=b2-c2

C.Q=3,匕=5,c=4D.a：b：c=2：3：4

7.平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则平行四边形的各边长为（）

A.4,4,8,8B.5,5,7,7

C.5.5,5.5,6.5,6.5D.3,3,9,9

8.在函数y=-2x+b的图象上有8（一2/2）两个点，则下列各式中正确的是（）

A.y1<y2B.%<y2C.%>y2D.%>y2

9.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形人B、D

的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为（）

A.4B.6C.8D.12

10.如图，正方形4BCD的面积为1,A/IBE是等边三角形，点E

在正方形ABCD内，在对角线4c上有一点P,使PD+PE的和最

小，则这个最小值为（）

A.1

B.V-2

C.<3

D.不能确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.已知a为正整数，且，京也为正整数，贝b的最小值为

12.甲、乙两个芭蕾舞团的女学员身高的方差分别是s%=1.5、s：=2.5,则女学员身高更

整齐的是芭蕾舞团（填“甲”或"乙”）.

13.在菱形4BCD中，对角线AC和BD相交于点0,AC=4cm,BD=8cm,则这个菱形的面

积是cm2.

14.将直线y=2%上平移5个单位，得到直线的解析式.

15.如图1,在矩形/BCD中，AB>AD,对角线AC,BC相交于点。，动点P由点4岀发，沿

AtBtC运动.设点P的运动路程为x,△40P的面积为y,y与％的函数关系图象如图②所示，

则BC边的长为.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

计算：G+-X/32+V(-2)2-|2-<6|,

17.（本小题8.0分）

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、ADk,且BE=DF,请判断AE与CF的数量

关系，并说明理由.

18.（本小题8.0分）

已知：直线y=/ex+b与直线y=相交于点P（2,m）,与x轴、y轴分别交于点4、B,点B的

坐标为（0,2）.求直线y=kx+b的函数解析式及点4的坐标.

19.（本小题9.0分）

为切实做好校内“午托”工作，某学校食堂为参加“午托”的学生提供了四种价格的午餐供

其选择，四种价格分别是46元；B：7元；C：8元；D：10元.为了解学生对四种午餐的购

买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如

部分同学购餐价格扇形统计图

（1）求被抽查的学生人数及m的值，并补全条形统计图;

（2）被抽查学生购买午餐费用的平均价为,众数为,中位数为

（3）若该校参加“午托”的学生有1200人，请估计购买7元午餐的学生有多少人？

20.（本小题9.0分）

明朝数学家程大位在他的著作德法统宗丿中写了一首计算秋千绳索长度的词居江月丿：

“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板髙离地…”翻译成现代文为：如图,

秋千。力静止的时候，踏板离地高一尺04c=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏

板升高离地五尺(BC=5尺)，求秋千绳索(04或0B)的长度.

21.(本小题9.0分)

为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，

某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是25元和8元.

(1)学校第一次购买甲、乙两种图书共100本，且恰好支出1820元，求第一购买了甲、乙两种

图书各多少本？

(2)若学校准备再次购买甲、乙两种图书共210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的

一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？

22.(本小题12.0分)

如图，在中，AC,BD相交于点0,AB=AD,AC=8,BD=6,CE//BD,BE//AC,

连接0E,BC与0E相交于点P,连接DP.

(1)求4B的长；

(2)求证：OE=AD；

(3)求DP的长.

OE

AB

23.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系中，直线，1：y=-刀+5与y轴交于点4,直线，2与x轴、y轴分别交

于点8(-4,0)和点C,且与直线，［交于点。(2,m).

(1)求直线％的解析式；

(2)若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF丄x轴，垂足为F,且与直线厶交于点G,当EG=6

时，求点G的坐标；

(3)若在平面上存在点“，使得以点4,C,D,H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出

点H的坐标.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：要使式子CTR有意义，

即x+420,

x>—4.

故选：C.

根据二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数.进行计算即可得出答案.

本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的

关键.

2.【答案】D

【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都

有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，

选项A、B、C中的图象，y是％的函数，故4、B、C不符合题意；

选项。中的图象，y不是x的函数，故。符合题意.

故选：D.

设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么

就说y是x的函数，由此即可判断.

本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义.

3.【答案】C

【解析】解：「SO出现了2次，出现的次数最多，

这组数据的众数是50.

故选：C.

根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，依此即可得出答案.

此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个.

4.【答案】B

【解析】解：4、/^=嘗，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

8、E是最简二次根式，故此选项符合题意；

c、CN=/馬=音，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D、<50=5<7,不是最简二次根式，故此选项不符合题意.

故选：B.

根据最简二次根式的定义即可选出正确选项.

本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数

或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，他的综合评价得分为管J85X2=86（分）.

故他的总成绩是86分.

故选：C.

根据加权平均数的计算方法即可求解.

本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答.

6.【答案】D

【解析】解：•乙4=NC—

，Z.C=Z.A+CB.

vNA+4B+4。=180°,

・・・2ZC=180°.

・•・ZC=90°.

此时，是直角三角形.

B.,:a2=b2—c2,

・••a2+c2=h2.

・•.△ABC是直角三角形.

Ca=3,b=5,c=4,

・•・a2+&2=c2.

・•.△ABC是直角三角形.

D.va：b：c=2：3：4,

・••设a=2%,b—3%,c-4x.

・

••Q2+力2=4%2+9%2―13%2,C2——16/,

・•・a24-b2c2.

不是直角三角形.

故选：D.

根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题.

本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和

定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：设两邻边分别为x,y,

,^__(2(x+y)=24

由题HH意可rz得s員-/2，

解得O

所以平行四边形的各边长为5,5,7,7,

故选:B.

利用平行四边形两组对边相等，进而再利用周长及两边的关系建立方程组即可求解.

主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：①平行四边形两组

对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行

四边形的对角线互相平分.

8.【答案】A

【解析】解：•••一次函数解析y=-2x+b中的—2<0,

该函数图象上的点的y值随x的增大而减小.

又：1>-2,

"yi<72-

故选：A.

根据一次函数图象的增减性即可得到结论.

本题考查了一次函数图象上点坐标特征.熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方.

根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B-S正方形E-S正方形D~S正方形c=S土方形E解得即可•

【解答】

解：由题意：S正方形A+S正方形B~S正方形E，S正方形D~S正方形c-S正方形E，

"S正方形A+S正方形B~S正方切—S正方形c

•••正方形4、B、。的面积依次为6、10、24,

"一S正方形c=6+10,

:•S正方形c=8.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】解：•••正方形中B与。关于AC对称，

•••PB=PD,

PD+PE=PB+PE=BE,此时PC+PE最小,

•••正方形4BCD的面积为1,AABE是等边三角形，

BE=1,

PD+PE最小值是1,

故选：A.

由正方形的对称性可知，PB=PD,当B、P、E共线时PO+PE最小，求岀BE即可.

此题主要考查轴对称-最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题.

11.【答案】3

【解析】解：v<12^=2/^.且开方的结果是正整数，

•••3a为某数的平方，

又「3x3=9,9是满足题意最小的被开方数，

a的最小值为3.

故答案为：3.

首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可.

本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数.先化简再讨论是本题

的关键.

12.【答案】甲

【解析】【分析】

根据方差的意义求解即可.

本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度

越大，稳定性也越小；反之，则宜与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

【解答】

解：5=L5、s；=2.5,

•1•s懦<S；,

•••女学员身高更整齐的是芭蕾舞团甲，

故答案为：甲.

13.【答案】16

【解析】解：AC=4cm,BD=8cm,

二菱形的面积=jx4x8=16(cm2).5-------------------V)

故答案为，16.

C.

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可得到结论.

本题主要考查利用对角线求菱形面积的方法，熟记''菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解决

问题的关键.

14.【答案】y=2x+5

【解析】解：直线y=2%上平移5个单位，得到直线的解析式为y=2%+5,

故答案为：y=2x+5.

根据“上加下减”的原则进行解答即可.

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.

15.【答案】4

【解析】解：从图象看，当点P到达点B时，△AOP的面积为6,此时AAOP的高为^BC,

40P的面积=gx4Bx=6,解得4B-BC=24①,

而从图②看，AB+BC=10(2),

联立①②并解得｛纵二:.

故答案为：4.

当点P到达点B时，AAOP的面积为6,此时AAOP的高为^BC,则6=gxABx《BC),解得4B・

BC=24,而4B+BC=10,即可求解.

本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关

系，进而求解.

16.【答案】解：原式=，石+2—(，石—2)

=2/7-V-6+2-/7+2

=4.

【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算法则，本

题属于基础题型.

17.【答案】解：AE=CF,AE〃CF.理由如下:

在平行四边形48CD中，AD//BC,AD=BC.

vBE=DF,

CE=AF,

••・四边形4ECF是平行四边形.

:.AE=CF,AE//CF.

【解析】只要证明四边形4ECF是平行四边形，则可知线段4E与线段CF有怎样的数量关系和位置

关系.

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.平行四边形

的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们

的区别与联系.

18.【答案】解：把P(2,m)代入y=得：m=1,

•••P(2,l),

把P(2,l)、B(0,2)分别代入y=kx+b得：db=(

解得：卜=T,

lb=2

1.r

・•・y=--x+2.

令y=0得：—得刀+2=0,

解得：x=4,

•••点力的坐标为(4,0).

【解析】先求出P点坐标，再根据P和B点坐标求出直线、=/^+6的函数解析式即可.

本题考查了一次函数的解析式、交点坐标，明确一次函数的相关性质并数形结合，是解题的关键.

19.【答案】7.68元8元8元

【解析】解：(1)被抽查的学生人数有：6+12%=50(人)，

m%=l-12%-36%-14%=38%,即m=38；

7元的人数有：50x36%=18（人），

6x6+18x7+19x8+7x10

(2)被抽查学生购买午餐费用的平均价为:=7.68（元）,

50

•••8出现了19次，出现的次数最多,

二众数是8元;

♦.•共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数,

中位数是：等=8(元);

故答案为：7.68兀，8兀，8兀;

(3)根据题意得:

1200x36%=432(A),

答：估计购买7元午餐的学生有432人.

(1)根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体1减去其它所占的百分比，求出

m的值，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分比，求出7元的人数，从而补全统计图；

(2)根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；

(3)用该校的总人数乘以购买7元午餐的学生所占的百分比即可.

此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题

的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

20.【答案】解：设。4=0B=x尺，

vEC=BD=5尺，AC=1尺，

EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺，

在中，0E=(x-4)尺，08=x尺，EB=10尺，

根据勾股定理得：/=(%—4)2+102,

整理得：8x=116,即2x=29,

解得：x=14.5.

则秋千绳索的长度额14.5尺.

【解析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.设04=0B=x尺，

表示出0E的长，在直角三角形0E8中，利用勾股定理列出关于*的方程，求出方程的解即可得到

结果.

21.【答案】解：(1)设购买甲种图书a本，乙种图书b本，根据题意，得：

(a+b=100

(25a+8b=1820)

解甌謂

答：购买甲种图书60本，乙种图书40本；

(2)设购买费用为w元，购买乙种图书工本，则买甲种图书(210-x)本，根据题意，得：

w=25(210—%)+8%

=-17x4-5250,

由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：

210—x>

解得x<70,

・・•w=-17%+5250,-17<0,

w随X的增大而减小，

当％=70时，状最小=-17X70+5250=4060元，

此时210-70=140元，

答：当购买甲种图140本，购买乙种图书70本时，购买费用最少，最少费用是4060元.

【解析】(1)根据题意列方程组解答即可；

(2)设购买费用为w元，购买乙种图书x本，数量根据题意w与x的关系式，并根据题意列不等式得

出工的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可.

本题考查二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找岀所

求问题需要的条件.

22.【答案】解：(1)•.•四边形4BCD是平行四边形，AC=8,BD=6,

DO=BO=^BD=3,AO=^AC=4,

y.'-AB=AD,

：.AO1BD,即乙408=90°,

在RtAAOB中，根据勾股定理可得：AB2=AO2+BO2,

AAB=«42+32=5.

⑵•••CE//OB,BE/IOC,

••・四边形BOCE是平行四边形，

又•：厶AOB=90°,

平行四边形80CE是矩形，

:.0E=BC,

•••四边形4BCC是平行四边形，

・•.AD=BC,

0E=AD.

(3)如图所示，过点P作PF_LBD交BD于点F,

图1

•••四边形BOCE是矩形，

11

・・・P04EO,PB=”C,E0=BC.

:・PO=PB,

又・・.PFA.BD,

113

・・・尸0=加0=/3=全

又,；PB=3BC,

.••PF是△OBE的中位线，

：.PF=^CO=^x4=2,

在RtAOOF,根据勾股定理可得：DP2=PF2+DF2,

；.DP2=22+(|+3产

••DP=J22+(|+3>=粤.

【解析】(1)证四边形4BCD是菱形，得。A=4,0B=3,ACLBD,再由勾股定理即可求解；

(2)证四边形BOCE是平行四边形，再由菱形的性质得AO=BC,AC1BD,贝IJ/BOC=90。，即可

得出结论；

(3)过点P作PF丄BC交BC于点F,求出F0=|,由三角形中位线定理求出PF=2,然后由勾股定

理求解即可.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；

熟练掌握矩形的判定与性质