2023年数学高考真题II卷及解析

新高考二卷参考答案

1.(2023•新高考II卷•1•★)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

答案：A

解析：(l+3i)(3—i)=3-i+9i-3/=6+8i,所以该复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

2.(2023•新高考H卷★)设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2],若则。=()

2

(A)2(B)1(C)-(D)-1

3

答案：B

解析：观察发现集合A中行元素()，故只需考虑B中的哪个元素是0.

因为OeA,AcB,所以OwB,故。一2=0或2a-2=0,解得：。=2或1,

注意0eB不能保证AcB,故还需代回集合检验，

若°=2,则4={0,-2},B={1,0,2),不满足4=8,不合题意；

若”=1,则A={0,-1},3={1,-1,0},满足A=故选B.

3.(2023•新高考H卷・3某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，

拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样

结果共有()

(A)C蓝C2种(B)C2V案种(C)C：〉C*种(D)C2.C案种

答案：D

解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，

设初中部抽取x人，则一匚=——----解得：x=40,所以初中部抽40人，高中部抽20人，

400400+200

故不同的抽样结果共有C禽C禽种.

4.(2023•新高考H卷★★)若/(0=(*+a)111|13为偶函数，则。=()

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

答案：B

解法1:局以数可抓。，匚义/(v)/(Q来建立疗行求务,

-o**_ioY_1

因为/(%)为偶函数，所以/(-x)=/(x)，即(一%+a)ln---------=(x+6f)ln--------①,

-2x4-12x4-1

—2,x—12x+12x—1।[2x—1/ij\z、/[2x—112.x—1

而In---------=In--------=ln(--------)=-ln--------，代入①得：(-x+a)(-In--------)=(x+a)In--------

-2x+12x—12x+12x+12x+12x+1

化简得：x-a=x+a,所以a=0.

解法2：也可在定义域内H个特值快速求;I[答案.

>0(2x+l)(2x—1)>0,所以尤<—或x>—,

2x+1-----------------------------------------------------22

因为/(x)为偶函数，所以=/,⑴，故(_l+a)ln3=(l+a)lng①，

而lng=ln3T=-ln3,代入①得：(-l+a)ln3=-(l+a)ln3,解得：a=0.

2

5.(2023•新高考H卷•5・***)已知椭圆C：q+V=l的左、右焦点分别为耳，F2,直线y=x+,w与C交于

A,B两点，若幽AB的面积是MAB面积的2倍，则m=()

(A)-(B)—(C)(D)--

3333

答案：C

解析：如图，观察发现两个三角形行公共的底边A8,故只需分析高的关系.

s'|AB|.|^G|

作KG1A8于点G,E/LAB于点/,设48与x轴交于点K,由题意，上也=_^---------=2,

所以巨g=2,由图可知"JKGsAEK/,所以g3=段=2,故|"K|=2%K|,

取I\F2K\\F2I\

又椭圆的半焦距C=x/T斤=0,所以内用=2c=20,从而后K|=g忻图=言，

故|。叫=|。用-忻K|=[■,所以K(1,0),代入〉=%+〃?可得。二夸^+加，解得：m--

6.(2023•新高考H卷•6・***)已知函数f(x)=ae'—Inx在区间(1,2)单调递增，则”的最小值为()

(A)e2(B)e(C)e'1(D)e-2

答案：C

解析：/(x)的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，

由题意，f\x)=ae因为f(x)在(1,2)上/,所以/'(X)20在(1,2)上恒成立，B|Jaex-->0①，

XX

观―.不等式①等价于此一L,令g(x)=xe*0<x<2),

xex

则g'(x)=(x+l)e”>0,所以g(x)在(1,2)上“，又g6=e,g(2)=2e2,所以g(x)w(e》?)，

故一--=^—G，因为在(L2)上恒成立，所以。之」=©一、故。的最小值为.

g(x)xe2eexee

7.(2023•新高考H卷・7・**)已知。为锐角，cosa=上好，则sin&=()

42

(A)(B)(C)(D):

8844

答案：D

缶力/二，1c.2a1+V5.2a3—6

用牛祈：cosa=l-2sin—=-----=>sin—=------,

2428

此式要开根号，不妨上下同乘以2,将分母化为4、

所以疝20=空矩=空戈，故sin0=土叵1,

又a为锐角，所以@€(0,2),故sinq=3二L

2424

8.(2023•新高考II卷•8•★★★)记5.为等比数歹U｛a“｝的前〃项和，若邑=一5,S-则&=()

(A)120(B)85(C)-85(D)-120

答案：C

解法1：观察发现曷，，，S-S"的下标都是2的整数倍,故可考虑片段和性质，先考虑,/是否为-I，

若｛4“｝的公比q=-1,则$4=细£尹=0,与题意不符，所以夕片-1,

故其，S4-S2,S6-S4,$8-$6成等比数列①，条件中有S,=2LS\,不妨由此设个未知数,

设$2="，则$6=2而，所以S2=-5-m,S6-S4=2\m+5,由①可得(S,一邑>=$2($6-S2)，

所以(-5-附2=机(21，*+5),解得：机=—1或』，

4

若徵=一1,则$2=-1,54-52=-4,S6-S4=-16,所以纵-56=-64,故=$6-64=21〃?-64=-85；

到此结合选项已可确定选C,另一种情况我也算一下，

若m=3,则$2=3>0,而$4=4+々+%+。4=4+4+qq2+电决=(q+W)(l+q2)=S2(l+q2)，

44

所以S&与$2同号，故邑>0,与题意不符；

综上所述，机只能取-1,此时$8=-85.

解法2：已知和要求的都只涉及前〃项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1,

若｛4｝的公比q=l,则S。=6“*21S,=42q,不合题意，所以故S&="«_")=-5①，

i-q

又§6=215,,所以也二色=21•幽山，化简得：1-^=21(1-^2)②，

\—q\-q

2

又l-4=l_(q2)3=(i_q2)a+q2+4),代入②可得:++q^=2i(l-q)③，

两端有公因式可约，但需分析1-屋是否可能为0，已经有了，只需再看g是否可能等于-1,

若q=-l,则S4="fLo,与题意不符，所以qx-1,故式③可化为l+q、/=21,

整理得：d+d-20=0,所以d=4或一5(舍去)，故要求的0=4一-/)=4口一(♦门=—255•&④，

1-(7l-q\-q

只差'L了，该结构式①中也有，可由相=4整体计算它，

i-q

将d=4代入①可得4(1-下)=_5,所以2=1,代入④得S8=-255X』=—85.

\-q\-q383

9.(2023•新高考U卷・9•★★★)(多选)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，45为底面直径，ZAPB=\20°,

P4=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45°,贝！I()

(A)该圆锥的体积为乃

(B)该圆锥的侧面积为46左

(C)AC=2叵

(D)A/XC的面积为6

答案：AC

解析：A项，因为24=2,ZAPS=120°,所以NAPO=60。，OP=APcosZAPO=l,

OA—AP-sinZ.APO=V5,从而圆锥的体积V=，S〃='x/rx(6)2x1=%,故A项正确；

33

B项，圆锥的侧面积S=%〃=乃XJ5X2=2GT,故B项错误；

C项，骁求AC的长,条件中的：面角尸-AC-O还没用，观察发现AE4C和AOAC都是等腰三角形,故取底边中

点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，

取AC中点Q,连接PQ,OQ,因为OA=OC,PA=PC,所以ACLO。，AC1PQ,

故/PQO即为二面角P—AC—O的平面角，由题意，NPQO=45°,所以OQ=OP=I,

故AQ=J-OQ?=\[2,所以AC=2A。=2近，故C项正确；

D项，PQ=^OP2+OQ2=V2,所以SMAc=gACPQ=；x2/x啦=2,故D项错误.

10.(2023•新高考H卷•]()•★★★)(多选)设O为坐标原点，直线y=-K(x-l)过抛物线。：丫2=20、(°>0)的

焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则()

(A)p=2(B)|MN|=g(C)以MN为直径的圆与/相切(D)△QWV为等腰三角形

答案：AC

解析：A项，在y=-G(x-l)中令y=0可得x=l,由题意，抛物线的焦点为尸(1,0),所以勺1,

从而p=2,故A项正确；

B项，此处可以由直线AW的斜率求得N/WFO,百代角版住点以公式|MN|=念求|MN|,但观察发现后续选项

可能需要用M，N的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算,

2

设MU,,y),N(x2,y2),将y=-6(x7)代入y?=4x消去)'整理得：3x-10x+3=0,解得：x=；或3,

对应的y分别为孚和-2g,所以图中M(3,-2扬，N(g,半)，从而|MN|=玉+々+p=g+3+2若,

故B项错误；

C项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离”和半径比较，

"殳=gnMN的中点°到准线l.x=-\的距离W|MN|,

从而以MN为直径的圆与准线/相切，故C项正确；

D项,M,N的坐标都仃了，算出|0M|,|。叫即可判断,

国3+(-2扬2=后,|ON|=J(J2+(W)2=1,

所以|0M|,|0N|,|MN|均不相等，故D项错误.

11.(2023•新高考H卷•★★★)(多选)若函数/(x)=alnx+^+=(”0)既有极大值也有极小值，则()

Xx~

(A)be>0(B)ab>0(C)b2+Sac>0(D)ac<0

答案：BCD

我力4日右*。b2cax2-bx-2c.八、

斛析：由寇，昂，f(x)=--------------=----------------(x>0),

xx~XX

函数〃幻既有极大值，又有极小值，所以尸。)在(0,+00)上有2个变号零点，

故方程加-云-2c=0在(0,+co)上有两个不相等实根，

A=(一32-4a(-2c)>0©(保iiF有两限)

所以中2=②""/同；)，由①可得从+8ac>0,故C项正确；

a

xl+x2=->0③(保计心根只隹同正)

a

由②可得£<0,所以〃，c异号,从而ay0,故D项正确；

a

由③可得a,b同号，所以aZ?>0,故B项正确；

因为〃，c异号，a,b同号，所以b,c异号,从而bevO,故A项错误.

12.(2023•新高考II卷•时•★★★★)(多选)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到

1的概率为收到0的概率为1-a；发送1时，收到0的概率为/收到1的概率为1-夕.考

虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.

收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多

的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).()

(A)采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(l-a)(1-尸尸

(B)采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为伙1-6f

(C)采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为£(1-力f+(l-£)3

(D)当0<&<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

答案：ABD

解析：A项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1-£,发送0收到0的概率为1-a,

所以依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-£)(1-&)(1-6)=(1-&)(1-/7)2,故A项正确；

B项，采用三次传输方案，若发送1,则需独立重复发送3次1,依次收到1,0,1的概率为(1-尸)夕(1-尸)=夕(1-4)2,

故B项正确；

C项，采用三次传输方案，由B项的分析过程可知若发送1,则收到1的个数X~8(3.1-£),

而译码为1需收2个1,或3个1,

所以译码为I的概率为尸(X=2)+尸(X=3)=C；(l-〃y夕+《(1-/)3=3(1-夕)2月+(1-夕)3,故C项错误；

D项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1-1；

若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0,收到0的个数丫~3(3,1-a),

且译码为0的概率为P(Y=2)+P(K=3)=C；(l—a)2a+C；(l-a)3=3(1-a)%+(1—a)3,

要比较上述两个概率的大小，可作差来看，

3(1-a)2a+(1-a)3-(1-a)=(1-a)[3(l-a)a+(1-a)2-1]=(1-a)(l-2a)a,

因为0<av0.5,所以3(1-a>a+(1-a)3-(l-a)-(l-a)(l-2a)a>0,

从而3(1-a)2cz+(l-a)3>l-a,故D项正确.

13.(2023•新高考H卷•13•★★)已知向量J满足|a-b|=6,|a+”=|2a-.,则例=.

答案：V3

解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，

由题意，|a—=a~+b2—2.a-b=3①，

y.\a+b\=\2a-b\,所以,+叶=|2a-b「，^a2+b2+2ab=4a2+b2-4ab,整理得：a2-2ab=0,

代入①可得从=3,即时=3,所以网=G.

14.(2023•新高考H卷•14•★★)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

答案:28

解析：如图，四棱锥P-A4CA与相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥

的体积，

妥4=六23=5=",所以也，6=咯”，故所求四棱台的体积V=7%s，

由题意，匕-AB1G4=gx22x3=4,所以V=7x4=28.

【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.

15.(2023•新高考II卷«15•★★★)已知直线x-加)，+1=0与。(7:(n-1)2+>2=4交于4,8两点，写出满足“

的面积为号”的卅的一个值.

5

答案：2(答案不唯一，也可填_2或，或-白)

22

解析：如图，设圆心C(1,O)到直线A3的距离为或d>0),则%8c=g|AB|M,

注意到|A叫也可用d表示，故先由心..=^求乩再将d用〃，表示，建立关于，〃的方程,

又|人同=2,产-储=2,4-42,所以SMBC=gx-d=44-f)笛,

由题意，所以J(4—/=,,结合”>0解得:

又所以下£^=之或亍1=^=4,解得：%=或或土L

Y1+m2V1+/W2+/，5，1+Mv52

16.(2023•新高考H卷•16•★★★★)已知函数/(x)=sin3x+。)，如图，A,B是直线y=；与曲线y=/(x)的

两个交点，若|朋=7，则/(»)=.

答案:当

解法1：|4B|=C这个条件怎么翻译？可用y求/VB横坐标的通解,得到|AB|,从而建立方程求。，

1JT\冗

不妨设ty>(),令sin(Gx+9)=—司得3X+°=2匕r+—或2Z;TH---,其中ZEZ,

266

rr54.2元2%

由图知口4+0=2%〃+—，+(p=2k/r+——，两式作差得：co{xB-xA)=——，故与一乙二——，

6633a)

XlABl=xB-%,所以包二巳，解得：0=4,则f(x)=sin(4x+0),

63G6

再求研,由图知g是零点，可代入解析式，注意，,是增区间上的零点，且丫=疝11》的增区间上的零点是2〃万,

故应按它来求9的通解，

O_Q_O_O_

所以可+e=2"；r(〃wZ),从而0=2〃乃一彳，故f(x)=sin(4x+Inn--)=sin(4x-—),

所以f(7r)=sin(4^--=sin(—^-)=-sin=~~•

解法2:,一攵变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析Y=sin.Jj\，」

'2

交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，

如图1,直线y=，与函数丫=$也犬在)，轴右侧的三个/,J,K的横坐标分别为工，—,—,

2666

所以⑼一台小网=誉-葛=?,\IJ\:\JK\=1:2,故在图2中|明:忸C|=l:2,

因为|阴=看，所以忸。=?故|AC|=|阴+阳.，又由图2可知|AC|=7,所以7后,

24

故0==4,接下来同解法1.

T

【反思】①对于函数y=sin(④T+⑼3>0),若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间.

“上升零点”用0x+S=2〃乃来求，''下降零点”用公r+s=2wr+%来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的

线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.

17.(2023•新高考H卷・17•★★★)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A4BC的面积为G，

。为BC的中点，且4)=1.

(1)若ZADC=—.求tan3；

3

(2)若。2+。2=8,求6,c.

解：(1)如图，因为NAOC=工，所以NAQ8=玄，

33

(要求tanB,可到MBD中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出叉的,,从而得到BD)

因为。是BC中点，所以与虫=25凶.，又心.=6,所以5.9=日，

由图可知SMBC=1A£>-3Z)・sinZAO3=1xlx8D><sin^=@8D,所以且且，故5£)=2,

MBD223442

(此时A的己知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边A8,再用正弦定理求角8)

在中，由余弦定理，AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB=l2+22-2xlx2x(-^)=7,所以AB=77,

.73

由正弦定理，一^―=—,所以sin3=A〃sinNA£>8=；J_=岑,

sinZADBsinBAB>/72V7

由NA£>8=生可知B为锐角，从而cosB=Jl-sin2B=斗,故tanB=^=立.

32V7cosB5

(2)(」行关于江的一个方程，若再建立•个方程，就能求6和c,故把面积和中线都用〃…衣不)

由题意，S.BC=g〃csinA=6,所以6csinA=2\/5①，

(中线A。怎样用b,c表示？可用向量处理)

因为。为2C中点，所以AD=1(AB+AC),

，2.2.2

从而2A£>=A8+AC,0l4AD'=AB+AC+2ABAC,

所以/+y+2cbeos4=4,

将从+。2=8代入上式化简得bccosA=-2②，

(我们希望找的是/>,c的方程，故由①②消去A,平方相加即可)

由①②得氏2sir?A+从c2cos2A=16,所以税=4③，

由力2+c2—8可得S+c>—2bc=8,

所以Z?+c=J2历+8=4,结合式③可得6=c=2.

a

18.(2023•新高考H卷•18•★★★★)已知应｝为等差数列，bn=\"~二二二，记S“，7；分别为&｝，也,｝

2。”,〃为偶效

的前"项和，*=32,7；=16.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时，Tn>Sn.

解：(1)(给上了两个条件，把它们用q和d翻译出来，即可建立方程组求解q和d)

由题意，$4=44+61=32①，

T3=bt+b2+b3=(q-6)+2/+(0,-6)=q-6+2(4+d)+q+2d-6=4q+44-12=16②，

由①②解得：q=5,<7=2,所以a”=4+(〃—l)d=2〃+3.

(2)由⑴可得5,=〃(q+"，，)=〃(5+2〃+3)=〃2+4”,

"22

(要证结论，还需求7；，由于瓦按奇偶分段，故求刀,也应分奇偶讨论，先考虑〃为偶数的情形)

当n(n>5)为偶数时，(=仇+么+…+2

=(4-6)+2a2+(%-6)+2a4■<---(a〃_i一6)+2alt

=(4+q+…+41一1)—6x万+2(氏+%+…+。〃)，

因为4M3,…和。2，。4,…M分别也构成等差数列，

n

所以q+/+…+*=2%+*=〃(5+2〃+1)=3,

13〃-1242

(%+。〃)〃(7+2〃+3)tr+5n

%+4+…+4=---------=----------=---，

代入③化简得：7；=f±叫一3〃+2、或色=宜土卫，

222

(要由此证7；>S“，可作差比较)

所以用-5"="；7”-("2+4")=与？>0,故(>S,；

(对于“为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项)

当〃(〃>5)为奇数时，T„=Tn+I-blt+l=.3("+1)2：7(〃+1)_

3(〃+1)~+7(〃+1)_3/?~4-5z?—10

2%--------2(2〃+5)=------

2----------------2

所以7；-5“=3"+；1。_("+4”)

="2-：-%(〃+27-5)>0,故北2；

综上所述，当〃>5时，总有7；>S..

19.(2023•新高考H卷79•★★★)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有

明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：

频率频率

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于C的人判定为阴

性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为Me)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为

4(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率4(c)；

(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当cw［95,105］时,求/(c)的解析式，并求/(c)在区间［95,105］的最小值.

解：(1)(给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为().5%即小J-或等丁-c的频率为().5%,可山此求(,)由患病

者的图可知，［95,100)这组的频率为5x0.002=001>().(X)5,所以c在［95,100)内，

K(c-95)x0.002=0.005,解得：c=97.5;

(要求q(c),再来看未患病者的图，4(c)是误诊率，也即未患病者判定为阳性(指标大于c)的概率)

由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(100-97.5)x0.01+5x0.002=0.035,所以q(c)=3.5%.

(2)［95」()5|包霁两个分削.，故庖分类讨论)当954c<100时,p(c)=(c-95)x0.002,

^(c)=(100-c)x0.01+5x0.002,所以f(c)=p(c)+<7(c)=-0.008c+0.82,

故f(c)>-0.008x100+0.82=0.02①；

当1004c4105时，Xc)=5x0.002+(c-100)x0.012,^(c)=(105-c)x0.002,

所以/(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98,/(c)>/(100)=0.01x100-0.98=0.02②；

-0.008c+0.82,954c<100

所以〃c)=且由①②可得Ac*"=0.02.

0.01c—0.98,1004105

20.(2023•新高考H卷•20•★★★)如图，三棱锥A—8cD中，DA=DB=DC,BDLCD,NAD3=NA£>C=60",

E为BC的中点.

(1)证明：BCYDA；

(2)点/满足EF=D4,求二面角。一AB-尸的正弦值.

解:(1)(8C和DA是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BCA.DA,日’亍DB=DC.

所以BCLDE,二者结合可得到BC_L而ADE,故可通过证此线面垂直来证BC_LD4)

因为D4=D8=Z)C,ZADB-=ZADC=60°,所以AAD3和AADC是全等的正三角形，故A8=AC,

又E为BC中点，所以BC_LAE,BCA.DE,因为4E,OEu平面4OE,AEDE=E,

所以8CJ_平面AOE,又ZMu平面AOE,所以3C_LD4.

(2)(由图可猜想荏_1面8(7。，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明)

不妨设A4=£>B=Z)C=2,则AB=AC=2,

因为8DLCD,所以3C=>/旅+g=2夜,

tiLDE=CE=BE=-BC=y/2,AE=JAC?-CE2=血,

2

所以AE,+DEZuduAD2,故所以E4,EB,两两垂直,

以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,正），D（V2,0,0）,B（0,近,0）,

所以D4=（-0,0,0）,A8=（0,夜,-夜），由£F=D4可知四边形AOEF是平行四边形，所以FA=EO=（&,0,0）,

设平面DAB和平面ABF的法向量分别为m=（%l,yl,zl）,n=（x2,y2,z2）,

„,m-DA=-v2x+y2z,=0人r/X=l”一口一一一人、，一口

则1厂l，令％=1，则厂，，所以切=（1,1,1）是平面D4B的一个法向量,

m-AB=\l2y1-\Z2Zj=0〔4=1

n-AB=2y2-2z2=0^令%=],则[匕=°,所以〃=（0,1,1）是平面AB尸的一个法向量，

n-FA=V2X2=0匕=1

从而cos<，",〃>=gE=^^=迈，故二面角。一45一厂的正弦值为Jl一（近）2=且.

M'\n\d3xJ23V33

21.（2023•新高考H卷•21•★★★★）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2右,0）,离心率为6.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为4，%，过点（T,0）的直线与C的左支交于M，N两点、,M在第二象限，直线MA

与交于点P,证明：点尸在定直线上.

22

解：（1）设双曲线方程为»1（。>0,〃>0）,由焦点坐标可知,=2后，

则由《='=6可得。=2,b=ylc2-a2=4,

a

双曲线方程为£-片=1.

416

（2）由⑴可得&（一2,0）,4（2,0）,设（七,%）,

显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,且一;<〃?<g,

22

与宁一看=1联立可得（4疗一"一32啊+48=0,且△=64（4疗+3）>0,

直线MA的方程为y=2),直线NA2的方程为y=已(1-2),

X|+ZX［一乙

联立直线MA与直线N4的方程可得:

x+2=+2)=%(呀-2)=叫心-2(y+丫2)+2%

x-2y,(x2-2)yt(my2-6)my^-by^

48c32m.—\6m_

m---弓----2----z——+2y

4〃/一14加一1+2y£

=w^i'

-78—■48/77/

mx——-----6y.3

W-l14m~-1

x+2I

由一^=一；可得产―1,即巧,=-1,

x