2023届高考物理一轮复习：第8讲 圆周运动

第08讲圆周运动

知识图谱

圆周运动的运动学问题

知识精讲

一.圆周运动各物理量之间的关系

(

各

物

理

量

间

的■>^y=2nrnj

关

系

〕

二.共轴转动

如图所示，A,8两点在一个圆盘上，绕同一个轴。转动时,它们属于共轴转动。

特点：绕同一转动轴转动的各点角速度相等。根据圆周运动公式丫=切■可知：在。一定的时，V与厂成正比。

由此可知上图中：vA：vB=rA\rH

三.皮带传动

如图所示，/、8两点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑。其中,提供动

力的为主动轮，不提供动力的为从动轮。

1.特点

(1)和同一皮带接触的各点线速度大小相等。

(2)根据圆周运动公式v=@•可知：在v一定的时，。与尸成反比。

由此可知上图中：a>A：a>B=rB:rA

2.常见模型

四.齿轮传动

如图所示，齿轮传动是指主动轮与从动轮的轮齿直接啮合得转动装置。

1.特点

(1)两个齿轮的轮齿啮合点的线速度大小相等，但它们的转动方向恰好相反。

(2)根据圆周运动公式v=可知：在丫一定的时，。与厂成反比。

2.常见模型

w

"剖析

一.课程目标

1.理解圆周运动各物理量之间的关系；

2.熟悉几种常见的传动方式中物理量之间的关联。

帚见传动方式的线速度、角速度及周期关余

例题1、如图所示的皮带传动装置中，轮B和C同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且其半径RA=RC=2RB，

则三质点的向心加速度之比aA：aB：ac等于（）

A.4：2：1B.2：1：2C.l：2：4D.4：1：4

例题2、如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为口、功、n.若甲轮的角

速度为必，则丙轮的角速度为（）

乙丙

B.幽3D.生1

r2r2

例题3、水平放置的三个不同材料制成的圆轮A、B、C,用不打滑皮带相连，如图所示（俯视图），三圆轮的半径

之比为RA：RB：Rc=3：2：1,当主动轮C匀速转动时，在三轮的边缘上分别放置一小物块P（可视为质点），P均

恰能相对静止在各轮的边缘上，设小物块P所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块P与轮A、B、C接触面间

的动摩擦因数分别为同、由，Hc，A、B、C三轮转动的角速度分别为3A、3B、3C，则（）

A.HA:|1B:M=2：3：6B.piA:PB:RC=6-3-2

C.(Jl)A-U)B:3c=1-2-3D.3A•(X)B-3c=6-3-2

例题4、某新型自行车，采用如图1所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90。轴交，将动力传至后轴，驱动后轮

转动，杜绝了传统自行车"掉链子''问题。如图2所示是圆锥齿轮90。轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，

B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为S、m和rc（rA#BAc）»

下列有关物理量大小关系正确的是（）

图1图2

A.B点与C点的角速度：COB=O）CB.C点与A点的线速度：％=也匕,

rA

C.B点与A点的线速度：vB=^-vAD.A点和C点的线速度：巳=%・%

rc

例题5、如图所示，一个不透明的小球以角速度沿顺时针方向匀速圆周运动，圆的直径MN与光屏PQ垂直，延

长线交PQ于0点。以0点为坐标原点，以QP方向为正方向建立x轴。。时刻小球运动到M点，平行光束沿垂

直于PQ的方向照到光屏上，在0点显示出小球的影。试求任意时刻t影的坐标X。

随练1、如图所示，一个球绕中心轴线O。，以角速度3转动，则（）

VB=1：2B.若。=30°,则VA：VB=2：1

C.A、B两点的角速度相等D.A、B两点的线速度相等

随练2、如图所示是自行车传动结构的示意图，其中I是半径为ri的牙盘（大齿轮），II是半径为方的飞轮（小

齿轮），HI是半径为。的后轮，假设脚踏板的转速为n（r/s）,则自行车前进的速度为（）

-2nnr.r,

C.-------D

r2rx

例题1、如图所示，一根长为L的轻杆0A,。端用钱链喧固定，轻杆靠在一个高为h的物块上，某时杆与水平方

向的夹角为6，物块向右运动的速度V,则此时A点速度为（）

八Lvsin20Avcos20

C.-----------D.

hh

例题2、一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，圆盘加速转动时，角速度的增加量

△3与对应时间At的比值定义为角加速度，我们用电磁打点计时器、米尺、游标卡尺、纸带、复写纸来完成下述

实验：（打点计时器所接交流电的频率为50Hz,A、B、C、D...为计数点，相邻两计数点间有四个点未画出）

丙

①如图甲所示，将打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔，然后固定在圆盘的侧面，当

圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上；

②接通电源，打点计时器开始打点，启动控制装置使圆盘匀加速转动；

③经过一段时间，圆盘停止转动和打点，取下纸带，进行测量.

（1）如图乙所示，圆盘的直径d为cm；

（2）由图丙可知，打下计数点D时，圆盘转动的角速度为rad/s.

（3）角加速度是角速度变化的快慢，则圆盘转动的角加速度。大小为rad/s2.

例题3、一水平放置的圆盘绕竖直轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝.将激光器与传感

器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于；圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激

光器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线.图（。）为该装置示意图，图（6）为所

接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中鹏=1.0x10%,

3

AZ2=0.8x10s

（1）利用图（b）中的数据求1s时圆盘转动的角速度；

（2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向；

（3）求图（6）中第三个激光信号的宽度

■1b：

例题4、如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L=8m,传送带的皮带轮的半径均

为R=0.2m,传送带的上部距地面的高度为h=0.45m,现有一个旅行包（视为质点）以速度v0=10m/s的初速度水平

地滑上水平传送带.已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为-0.6.皮带轮与皮带之间始终不打滑，g取10m/s2.讨

论下列问题：

（1）若传送带静止，旅行包滑到B点时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落.则包的落地点距B端的水平

距离为多少？

（2）设皮带轮顺时针匀速转动，若皮带轮的角速度@=40rad/s,旅行包落地点距B端的水平距离又为多少？

（3）设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，画出旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度3变化的

图象.（第（3）问要求作图准确，标出相应的坐标数值，但不要求写出计算步骤）

图2wrad"s"1

随练1、转笔是一项以手指来转动笔的休闲活动，深受广大中学生的喜爱，其中也包含了许多的物理知识，如图

所示，假设某转笔高手能让笔绕其手上的某一点。做匀速圆周运动，下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙

述正确的是（）

A.笔杆上的点离。点越近的，线速度越小B.笔杆上的点离。点越近的，角速度越小

C.笔杆上的点离。点越近的，周期越小D.笔杆上的点离。点越近的，向心加速度越小

随练2、绳索套马原是蒙古牧民的生产方式，近些年来逐渐演化为体育活动。套马过程可简化为如图所示的物理

模型，套马者骑在马背上以速度v追赶提前释放的烈马，同时挥动套马圈使套马圈围绕套马者在水平面内做角速度

为3,半径为r的匀速圆周运动，追逐一段时间后套马者和烈马的距离s保持不变，待套马圆周运动烈马正后方时,

套马者松开套马圈，最终成功套住烈马，已知运动过程中，套马者和烈马进行路线平行，松手后套马圈在空中的运

动可以看成平抛运动，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

老马老路线

熬马路绶

A.套马圈平抛运动的时间为士B.套马圈平抛运动的时间为‘一

vv+ra）

套马圈平抛运动的初速度为+。）

C.套马圈平抛运动的初速度为v+r3D.J/02

圆周运动的动力学分析

知识精讲

一.向心加速度的推导

1.用矢量图表示速度变化量

（1）曲线运动速度的变化

w和匕不在同一直线上时，仍可以代表两矢量的箭头端作出

例如：平抛运动中，以外平抛，经时间f（物体未落地），则矢量关系如图所示。

加

做圆周运动物体的速度变化量，如图所示。

2.匀速圆周运动的加速度的推导

如图所示，质点沿半径为厂的圆周做匀速圆周运动，线速度的大小为口设经时间△/,质点由4点沿圆周

运动到5点，线速度的变化量的大小为AV,由速度矢量三角形与AAOB相似可求得：Av/u=（/指弦长）

当4很小时、弦长与弧长近似相等，由线速度的定义式丫=迎得“=」空=上且，从而得

4trr

a=—=—,又因v=0厂，t^.a=arr

方向：在时间”内，设质点由4点运动到8点转过的圆心角为，由速度矢量三角形可知，当AfT0时，一0,

速度的变化量AV的方向与线速度v的方向垂直，即加速度a的方向与线速度v的方向垂直且指向圆心。

3.非匀速圆周运动的加速度

非匀速圆周运动物体的加速度并不指向圆心，而是与半径有一个夹角，我们可以把加速度a分解为沿半径方向

的耳和沿切线方向的q,如图所示，则凡描述速度方向改变的快慢，/描述速度大小改变的快慢，其中％就是向

心加速度，仍满足％=匕=〃〃。

r

二.匀速圆周运动的向心加速度和向心力

1.向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量，方向时刻指向圆心。

V247r72,22

an=—=rco=cyv=『-=4乃"'r单位：m/s

2.向心力：作用效果是产生向心加速度，只改变线速度方向,不改变线速度大小，方向时刻指向向圆心。

万V224，"

r=m*——=m*r(o=〃?•单位：N

nrT2

线速度、角速度、周期之间的关系：

v=ra)==2万

3.向心力的确定

(1)向心力的来源：向心力是几个力的合力，或者某个力的分力。

(2)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置；

(3)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。

三.常见圆周运动的向心力来源图示

四.两类圆周运动的具体分析

1.拱桥与凹桥模型

(2)拱桥最高的：耳=mg_m二,汽车处于失重状态。若丫=而，则益=0,汽车将脱离桥面做平

r

抛运动。

2.火车转弯问题

若心=zHgtane=mL,车轮与内外轨道均无挤压，即v=Jgrtan。。

r

(1)当火车转弯时n〉Jgrtan。,车轮对外侧轨道有挤压。

(2)当火车转弯时v<Jgrtan。,车轮对内侧轨道有挤压。

五.近心运动和离心运动

当工=加。2厂时，物体做匀速圆周运动;

当F〃=0时，物体沿切线飞出；

当£<mco2r时，物体做离心运动；

当£>inarr时，物体做近心运动。

三点割析

一.课程目标

1.理解圆周运动的基本动力学规律

2.学会分析常见圆周运动的受力与运动

df7,常见模型的动力学分析

例题1、两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕

共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是()

第1步：先用粉笔在地上画一个直径为2L的圆；

第2步：通过力传感器，用绳子绑住质量为m的小球，人站在圆内，手拽住绳子离小球距离为L的位置，用力甩

绳子，使绳子离小球近似水平，带动小球做匀速圆周运动，调整位置，让转动小球的手肘的延长线刚好通过地上的

圆心，量出手拽住处距离地面的高度为h,记下力传感器的读数为F；

第3步：转到某位置时，突然放手，让小球自由抛出去；

第4步：另一个同学记下小球的落地点C,将通过抛出点A垂直于地面的竖直线在地面上的垂足B与落地点C连

一条直线，这条直线近似记录了小球做圆周运动时在地面上的投影圆的运动方向，量出BC间距离为S；

第5步：保持小球做圆周运动半径不变，改变小球做圆周运动的速度，重复上述操作。

试回答：（用题中的m、L、h、S和重力加速度g表示）

（1）放手后，小球在空中运动的时间t=。

（2）在误差范围内，有F=o

（3）小球落地时的速度大小为v=。

例题3、如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上,

手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，

假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为U，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.则在该同学手转塑料管使螺丝

帽恰好不下滑时，下述分析正确的是（）

。二二口

翁一…）＞

T7

A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡

B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心

c.此时手转动塑料管的角速度。一叵

D.若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动

例题4、用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度3和半径r之间的关系.两

个变速轮塔通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动.横臂

的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，

标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值.如图是探究过程中某次实验时装置的状态.

（1）在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持相同.

A.3和r

B.3和m

C.m和r

D.m和F

（2）图中所示是在研究向心力的大小F与的关系.

A.质量m

B.半径r

C.角速度3

（3）若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1：9,与皮带连接的两个变速轮塔的半

径之比为.

A.1：3

B.3：1

C.1：9

D.9：1

（4）实验得到的“向心力大小F与质量m、角速度3和半径r"之间的关系表达式：.

随练1、在“用圆锥摆验证向心力的表达式“实验中，如图甲所示，悬点刚好与一个竖直的刻度尺零刻度线对齐。

将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好沿纸上某个

半径为r的圆周运动，钢球的质量为m,重力加速度为g。

①用秒表记录运动n圈的总时间为t,那么小球做圆周运动中需要的向心力表达式为Fn=。

②通过刻度尺测得小球轨道平面距悬点的高度为h,那么小球做圆周运动中外力提供的向心力表达式为F=

③改变小球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的二-A关系图象，可以达到粗略验证向心力表达式的

目的，该图线的斜率表达式为o

随练2、向心力演示器如图所示.转动手柄1,可使变速塔轮2和3及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分辐套

在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的

向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露

出标尺8,标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小.现将小球分别放在两边

的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度的关系，下列做法正确的是（）

A.在小球运动半径相等的情况下,用质量不同的钢球做实验

B.在小球运动半径相等的情况下,用质量相同的钢球做实验

C.在小球运动半径不等的情况下,用质量不同的钢球做实验

D.在小球运动半径不等的情况下,用质量相同的钢球做实验

7圆周运动的实例分析

例题1、［多选题|火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压。

现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是（）

A.减小内外轨的高度差B.增加内外轨的高度差

C.减小弯道半径D.增大弯道半径

例题2、国家的惠民政策使私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行。为了防止在公路弯道部

分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面。如果某品牌汽车的质量M=104kg汽车行

驶时弯道部分的半径r=20m,汽车轮胎与路面的动摩擦因数以=0.5,路面设计的倾角为仇如图所示。（已知sin。

=0.6.cos©=0.8.重力加速度g取10m/s?）求为使汽车转弯时不发生侧滑，弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？

例题3、某物理小组的同学设计了一个测量玩具小车通过凹形桥最低点时速度的实验。所用器材有：玩具小车m、

压力式托盘秤、凹形桥模拟器m板（圆弧部分的半径为R=0.20m）。

凹形桥模拟

任微

BB（a）

完成下列填空：

（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图（a）所示，托盘秤的示数m标为1.00kg；

（2）将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图（b）所示，该示数m折+m军为kg；

（3）将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m：多

次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示:

序号12345

m(kg)1.801.751.851.751.90

（4）根据以上数据，可求出小车mt经过凹形桥最低点时对桥的压力为N：小车通过最低点时的速度大小为

m/so（重力加速度大小取9.80m/s2,计算结果保留2位有效数字）

随练1、如图所示，一个质量为m的物体（体积可忽略）在半径为R的光滑半球面顶点处以水平速度V。运动。则

下列结论中正确的是（）

A.若%则物体m对半球面顶点压力为mg

B.若%＞廊，则物体m对半球面顶点压力小于mg

C.若v0=0,则物体m对半球面顶点压力小于mg

D.若0＜%＜场，物体m在半球面顶点处于失重状态

随练2、如图，一个质量为m=0.6kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以h=与m/s水平飞出,

恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行。已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径R,

0P与竖直方向的夹角是9=37。，平台到地面的高度差为h=1.45m若小球运动到圆弧轨道最低点时的速度大小是

（2）P点距地面的高度Ah和圆弧半径R；

（3）小球对圆弧轨道最低点的压力FN大小：

（4）若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9N,求小球经过Q点时的速度V2大小。

圆周运动的水平临界问题

知识精讲

一.水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题，常见的是与绳子的拉力，弹簧的

拉力，接触面的弹力，和摩擦力相关的问题。通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法。

二.处理临界问题的解题步骤

1.判断临界状态

如果题目中有“刚好，恰好，正好”，则说明题目中存在临界点；如果题目中有“取值范围，多长时间，多大

距离”，说明物体运动中存在“起止点”，而这些“起止点”往往也是临界状态；若题目中有“最大，最小，至少”

等字眼，说明物体运动中存在极值点，这个极值点也往往是临界状态。

2.确定临界条件

判断物体运动过程中存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学的形式表达出来。

3.选择临界规律

当确定物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程和现象，选择相应的物理规律，然后列

方程求解。

三.常见水平面内圆周运动的临界问题

1.弹力和摩擦力提供向心力

佝心力来

实例分析

源

律力提供

上图所示，小乐在尤滑桌面上做勺速偈局运动.小珞健£）建OB网送动的向心力

曲ft子的柱力（停力）找供

伸小■力

提话何心如阳所垂.木块时》1氐一名救。金图局运动.X向心力由外学祥力提供,木块

力相财一盘的遇动心等方向昊;5牛泾背离画、.什摩掾力的方向与柯计达动无等

方向树反.但£.当女先清（幻冷撩力）时.物块墨沿切娓方向飞出.说明物

展相计于也面的运动无等方南港半役向外的方向.

汽隼&十字珞口挎与时所需的向心力就比由汽率与无与同的仰9推力发侯的

2.由于弹力突变引发的临界问题

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，

要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在，以及这个力存在时的方向（特别是一些接触力，如静摩擦力、

绳的拉力等）。

举例说明，如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为。

=30°,一条长度为A的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为〃?的小物

体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

（1）当八时，求绳对物体的拉力;

（2）当丫=小|8工时，求绳对物体的拉力。

解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为%,则有:

Tcos0=〃zg;

解得

%=离

（1）当y=时，v<v0,贝!1：

2

Tsin。-Ncos。=

r

Tcos6+Nsin。=mg

T=1+j的〃7g«1.037wg

6

（2）当丫=屈>%时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为外则

Tcos°=mg

v2

Ts\n（p=m-------

£sin°

T-2mg

3.由于摩擦力突变引发的临界问题

摩擦力突变引发的临界问题也很常见，需要考虑摩擦力的大小、方向的变化。下面举例说明。

如图所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量〃?=0.3kg

的物体，"的中与圆孔距离为0.2m,并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速

度3在什么范围机会处于静止状态？（g取lOm/s?）

解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：

当3为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向

背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N；

此时，对M运用牛顿第二定律：

T-f=M①"

T=mmg

例=2.9rad/s

当。为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对/的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最

大静摩擦力2N。

再对M运用牛顿第二定律：

T+fm=Mc^r

T=mg

co2=o.5rad/s

所以，题中所求co的范围是：2.9rad/sv<y<6.5rad/s。

4^三点剖析一

一.课程目标

i.学会应用受力分析解决水平面内的临界问题

由于弹力突变引起的临界问题

例题1、如图所示，把一个质量m=lkg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、

b长都是lm,AB长度是1.6m,直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？（g=10m/s2）

例题2、如图所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔。，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=lkg的小球A,

另一端连接质量为M=4kg的重物B,已知g=10m/s2,则：

（1）当A球沿半径r=O.lm的圆周做匀速圆周运动，其角速度31为多大时，B物体处于将要离开、而尚未离开地

面的临界状态？

（2）当小球A的角速度为s=10rad/s时，物体B对地面的压力为多大？

例题3、用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做

匀速圆周运动的角速度为3,细线的张力为FT，则FT随32变化的图象是下图中的（）

例题4、如图所示，小球A可视为质点，装置静止时轻质细线AB水平，轻质细线AC与竖直方向的夹角6=37。.

已知小球的质量为m,细线AC长L,B点距C点的水平和竖直距离相等。装置BCTO能以任意角速度绕竖直轴00

转动，且小球始终在BCTO平面内，那么在3从零缓慢增大的过程中（)(g取10m/s2,sin370=0.6,cos370=0.8)

A.两细线张力均增大B.细线AB中张力一直变小，直到为零

C.细线AC中张力先不变，后增大

D.当AB中张力为零时，角速度可能为

随练1、［多选题|如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A

和B,它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为鱼=厂，此=2厂，与盘间的动摩擦因数〃相同，当圆盘转速加快到两

物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）

o

A.此时绳子张力为/jmg

B.此时圆盘的角速度为楞1

C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外

D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

随练2、如图所示，轻绳上端固定在0点，下端系一小球（可视为质点），开始时在光滑的水平地面上，轻绳伸

直且绳长大于0点离地面的高度。设小球绕竖直轴00,做匀速圆周运动的角速度为3,轻绳的拉力大小为F,则下

列四幅图中，能正确反映F随32变化规律的是（）

亘，由于摩擦力突变引起的临界问题

例题1、A、B、C三个完全相同的物块随转动的圆盘一起运动，如图所示，且物块相对于圆盘静止。当圆盘的转

速逐渐增大时，哪个物块最先离开原位置（）

D.同时离开

例题2、如图，在圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R=20cm,

与圆盘的动摩擦因数为U=0.2,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力（已知n2=g）则（）

5口旭

A.物块A一定会受圆盘的摩擦力

B.当转速n=0.5r/s时，A不受摩擦力

C.A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上

D.当圆盘转速n=lr/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心

例题3、［多选题|如图所示，在水平圆盘上，放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B,它们位于圆心同

侧的一条半径上，与圆心距离RA=r,RB=2r,两个物体与盘的动摩擦因数均为由现让圆盘由静止开始绕通过圆心

的竖直轴转动，并逐渐加快到两物体刚好还未发生滑动，在这一过程中，下列说法正确的是（）

A.B所受摩擦力一直增大

B.A所受摩擦力先增大后减小再增大

C.此时绳子张力为7=；〃加g

D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

例题4、如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆柱半径为R,甲、乙两物体的质量分别为M和m

它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的J倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L<R.若将甲物

体放在转轴位置上，甲、乙连线正好沿半径方向拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最

大不得超过：（两物体看作质点）（）

Bc卜(M+w)g'DIMM+m)g

W-ML,VMLVmL

随练1、如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和，，筒

内壁力点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为加的小物块，求：

（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁/点受到的摩擦力和支持力的大小.

（2）当物块在/点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度.

随练2、为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速。如图所示，AB为进入弯道前的平直公路，BC为水平

圆弧形弯道。已知AB段的距离SAB=14HI,弯道半径R=24m。汽车到达A点时速度VA=16m/s,汽车与路面间

的动摩擦因数N=0.6,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2.要确保汽车进入弯道后不侧滑。求汽车

（1）在弯道上行驶的最大速度；

（2）在AB段做匀减速运动的最小加速度;

（3）为提高BC处转弯的最大速度，请提出公路建设时的合理建议。

圆周运动的绳和杆临界问题

知识精讲

—.竖直平面内的圆周问题

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，中学物理中常研究物体通过最高点和最低点的两种情况。下面

将对这类临界状态问题进行综合分析。

1.轻绳类问题

绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。下面讨论小球（质

量为"?）在竖直平面内做圆周运动（半径为火）通过最高点时的情况：

（1）临界条件

小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。

根据牛顿第二定律得，磔="7匕，临界速度匕=倔。

R

这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速

度，通常叫临界速度。

（2）小球能通过最高点的条件：

当v＞展时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力；

当丫=倔时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

（3）小球不能通过最高点的条件：

当丫＜倔时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。（如图）

2.轻杆类模型

杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。下面讨论小球（质量为机）在

竖直平面内做圆周运动（半径为R）通过最高点时的情况：

（1）临界条件

由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：vc=0:

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

（2）如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：

当v=0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力入，其大小等于小球的重力，即FN=wg;

当0<v<倔时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<mg；

当v=J欣时，FN=O，这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

当v>倔时，硬杆对小球有指向圆心（即方向向下）的拉力，其大小随速度的增大而增大。

（3）其他杆问题

如果是带电小球，且空间存在电磁场，临界条件则是重力、电场力或洛仑兹力的合力为向心力，此时临界速度

v产晒,需要具体问题具体分析。

二.竖直面内圆周运动的求解思路

1.定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。在最高点绳模型中小球

的最小速度是匕=底；而轻杆模型中小球在最高点时的最小速度为零。

2.确定临界点：对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力

的临界点（%=晒）（因为轻绳不能有支撑力，杆可有支撑力）。

3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。

4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，七

5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

三点剖析一

一.课程目标

1.学会分析轻绳、轻杆、管道在竖直平面内的圆周运动的临界问题

4^^回周运动中绳的临界问题

例题1、［多选题］质量为M的支架（包含底座）上有一水平细轴，轴上套有一长为L的轻质细线，绳的另一端拴

一质量为m（可视为质点）的小球，如图。现使小球在竖直面内做圆周运动，已知小球在运动过程中底座恰好不离

开地面、且始终保持静止。忽略一切阻力，重力加速度为g。则（）

A.小球运动到最高点时底座对地压力最大

B.小球运动过程中地面对底座始终无摩擦力

C.小球运动至右边与。点等高时，地面对底座的摩擦力向左

D.小球运动到最高点时细线拉力大小为Mg

例题2、如图所示，小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻细一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手

腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时.，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。已知握绳

的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为4,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。

(1)若想小球在竖直平面内做完整的圆周运动，其通过最高点的速度VI至少应为多少？

(2)求绳断时球的速度大小V2和球落地时的速度大小V3O

(3)轻绳能承受的最大拉力多大？

随练1、杂技演员表演的“水流星”如图所示。细长绳一端系着盛了水的容器。以绳的另一端为圆心，使容器在竖

直平面内做半径为R的圆周运动。N为圆周的最高点，M为圆周的最低点。若“水流星”通过最高点时没有水流出，

则其在最高点的速度至少为()

；：•

\/?：/

y

A.2MB.再°棒D婀

随练2,如图所示，长为1的悬线固定在0点，在0点正下方L的C点处有一钉子。把一端悬挂的小球拉到跟悬

2

点在同一水平面上无初速度释放，小球摆到悬点正下方悬线碰到钉子时、此时小球()

A.线速度突然增大B.向心加速度突然增大

C.角速度保持不变D.悬线拉力保持不变

随练3、如图1所示，在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最

高点所受轻绳的拉力之差为AF,假设星球是均匀球体，其半径为R,己知万有引力常量为G.不计一切阻力.

(1)求星球表面重力加速度；

(2)求该星球的密度；

(3)如图2所示.在该星球表面上，某小球以大小为V。的初速度平抛，恰好能击中倾角为。的斜面，且位移最短.试

求该小球平抛的时间.

7圆周运动中杆的临界问题

例题1、质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。已知小球

以速度V通过最高点时对圆管的夕卜壁的压力大小恰好为mg,则小球以速度牌过圆管的最高点时（）

A.小球对圆管的内、外壁均无压力B.小球对圆管的外壁压力等于臂

C.小球对圆管的内壁压力等于等D.小球对圆管的内壁压力等于mg

例题2、如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直的金属棒，在

直棒上和圆环的BC部分分别套着两个相同的小环M、N,现让半圆环绕对称轴以角速度3做匀速转动，半圆环的半

径为R,小圆环的质量均为m,棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g,小环可视为质点，则M、N两环做圆周

运动的线速度之比为（）

例题3、如图，V形细杆AOB能绕其对称轴00,转动，。0'沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为a=45。。

两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为L=L2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细

线连接。环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍。当杆以角速度3转动时，细线始终处于水平状态，取g

=10m/s2»

（1）求杆转动角速度3的最小值；

（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化

的函数关系式。

例题4、如图所示，在水平面内有一平台可绕竖直的中心轴以角速度3=3.14rad/s旋转。在平台内沿半径方向开两

个沟槽，质量为0.01kg的小球A放置在粗糙的沟槽内，球与沟槽的动摩擦因数为0.5；质量为0.04kg的小球B放置

在另一光滑的沟槽内。长度为1m的细线绕过平台的中心轴，其两端与两球相连。设平台中心轴是半径可忽略的细

轴，且光滑，球A始终相对圆盘保持静止。（g=3.142m/s2.最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求：

（1）球A到轴O的距离多大时，小球A恰好不受摩擦力？

（2）球A到轴O的最大距离为多少？

随练1、如图所示，长为L的轻杆，一端固定在水平转轴。上，另一端固定一个质量为m的小球.现让杆绕转轴

。在竖直平面内匀速转动，角速度为3,重力加速度为g.某时刻杆对球的作用力方向恰好与杆垂直，则此时杆与水

平面的夹角。满足（）

B.tan9=Wg

C.sin。=gD.tan0-