有限元复习题

1.弹性力学平面应力问题有什么几何特征、载荷特征和应力特征？答：〔1〕几何特征：等厚度的薄板；〔2〕载荷特征：体力作用于体内，面力和约束作用于板边，三者均平行于板中面，沿板厚不变；〔3〕应力特征：由于外力、约束沿z向不变，应力中只有平面应力存在且仅为〔x，y〕函数。2.简要表达平面应力问题有限元位移法分析步骤，并给出主要公式。答：3.单元刚度矩阵中任意一个元素Krs的物理意义是什么？答：为第s个位移分量为单位1，其余位移为零时需要在施加的第r个节点力，也即第s结点的位移对第r结点力的奉献。4.有限元解弹性力学问题要保证解答收敛性，单元位移多项式满足什么条件？答：包含刚体平移和转动；包含常应变；可证满足相邻单元公共边界上的连续性条件。5.试说明三角形单元、四节点四边形单元的解答是收敛的。答：三角形单元、四节点四边形单元的位移函数中包含了常数项和一次项，所以包含了刚体位移和常应变；当考虑相邻单元公共边界时，两种单元类型的相邻单元公共边界共用两个节点，而此时的位移函数一个自变量为常数，位移函数经退化为两个未知系数，即f=Bx+C或f=By+C的形式，刚好可以由公共的两个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。6.单元刚度方程反映的物理意义是什么？推导方法有哪些？答：反映了单元节点位移与节点力之间的关系(结点平衡法，虚位移原理，最小势能原理)7.有限元位移法分析弹性力学平面问题时如果采用四边形八结点曲边单元，选取的位移函数多项式包括那些项(用直角坐标x,y表示)？答：主要包含常数项C，线性项x,y，二次项x2,xy,y2，三次项x2y,xy2。8.简要表达平面刚架有限元分析步骤，给出主要公式。答：9.根据平面刚架单元刚度矩阵元素的物理意义推导具体表示式。答：Krs为第s个位移分量为单位1，其余位移为零时需要在施加的第r个节点力，单元位移分量和单元节点力分量为以＝1，其余位移分量为零时，即考虑第二个位移分量对单元六个节点力分量的奉献，k12=k42=0，根据材料力学的悬臂梁挠度公式，，同理得到10.六面体八结点空间单元位移函数多项式包含那些项？满足收敛条件吗？答：包含1，x，y，z，xy，xz，yz，xyz八项，满足收敛条件：包含了常数项和一次项所以包含了刚体位移和常应变，而考虑相邻单元公共面时，位移函数将退化为四个未知系数，即f=By+Cz+Dyz+E，刚好可以由公共面的四个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。11.一维杆单元如图，设位移模式为，试推导出单元刚度矩阵。设单元长度为，横截面积为，材料弹性模量为。图1解：12.试采用平面桁架的有限元法，计算图示桁架点的位移和各杆的轴力。。图2解：(1)单元划分及节点编号如下图，局部坐标由小节点号指向大节点号；(2)局部坐标系中的单元刚度矩阵计算如下：(3)坐标转换矩阵[T]：(4)整体坐标系中的单元刚度矩阵计算如下：所以整体坐标系中各单元刚度矩阵为：(5)根据单元的局部码和整体码的对应关系形成整体刚度矩阵：对应关系(1)(2)(3)i123j444(6)引入边界条件并得到修正刚度矩阵：(7)利用修正刚度方程求解节点位移：(8)求解轴力：13.图示平面刚架，设整体坐标系中的单元刚度矩阵为图3〔1〕采用子块叠加的方法在形式上给出结构的整体刚度矩阵。解：表1单元的局部码和整体码的对应关系单元号方向①②③④⑤1234524466表2子块元素列表子元素单元号①②③④⑤整体刚度矩阵为：〔2〕试说明为了引入边界支承，如何修改整体刚度矩阵和载荷向量？解：①将[K]中第3s-2行和3s-2列的对角线元素改为1，其元素改为0；将载荷列矢量{P}中的第s个元素改为0.②按上述方法对[K]的3s-1行和列进行修改，对{P}的第3s-1行修改③按上述方法对[K]的3s行和列进行修改，对{P}的第3s进行修改〔3〕图中整体结点编号是否为最正确编法？解：答复是否认的。可以按以下原那么为结点编号：因边角结点所在的单元数少，可以通过比拟结点所属的单元数组的大小，使结点所属的单元数组最小的结点编号为0，依次进行编号。14.图4示为梁单元，设挠度为三次函数端点条件为,,(1)试确定系数，并将挠度转化为无量纲坐标的形式。解：将端点条件代入到挠度方程中，得即：解得系数为：将系数代入挠曲线方程并令：(2)采用虚位移原理推导单元刚度矩阵。图2解：不考虑轴向变形的梁单元，根据插值函数，有根据虚位移原理，有求得15.用平面刚架的有限元位移法求解以下刚架的结点位移和内力，并画出内力图。(2)坐标转换矩阵为：(3)整体坐标系中的单元刚度矩阵：整体位置kiikijkjikjj(1)k11k14k41k44(2)k22k24k42k44对应关系(1)(2)i12j44(4)整体刚度矩阵的集成所以整体刚度矩阵为(5)形成荷载向量〔节点荷载和等效结节点荷载〕(7)(7)单元的杆端力：轴力图(kN)剪力图(kN)弯矩图〔kN)16.图5所示为一等腰直角三角形单元，设弹性模量为，波松比，试求：〔1〕、形函数矩阵[N]〔2〕、几何矩阵[B]解：三角形单元的节点坐标、节点位移、结点荷载及内部位移函数为根据三角形单元内部位移函数和结点位移条件，求解以下线性方程组17.图6所示为一平面区域的三角形网格划分，试进行单元和节点编号，使整体刚度矩阵的带宽最小，计算出半带宽〔半带宽=〔最大结点码的差值-1〕2〕，并标出整体刚度矩阵中的零元素。解：节点编码如下图，半带宽=(10-6+1)2=10，非零元素为111111111111111111111111111111111111111111111118.四边形四节点等参单元的坐标变换为，其中为表示结构实际尺寸和几何形状的直角坐标系；为无量纲曲线坐标，且有，。是的函数。试给出用曲线坐标表示的单元的实际面积微元。解：所以用曲线坐标表示的单元的实际面积微元应该放在两个坐标系中求解。19．图7示平板，厚度为0.1m,几何尺寸、边界约束、载荷如下图，忽略体力作用。试求出结构的节点载荷向量，并给出位移边界条件。图720．弹性力学平面问题的区域为直角三角形〔如图8所示〕，铅垂边上作用线性分布的水平力，其中为边长。假设将区域或分为图示的4个单元，试计算出等效结点载荷分量；给出结点位移的边界条件。21．图9所示为一高深悬臂梁，右端均布面内作用，材料弹性模量为，泊松比，梁的厚度为。假设将梁划分为图示两个单元。根据弹性力学平面问题的有限元位移法求解节点的位移。在求解过程中要求给出以下结果：〔1〕、单元刚度矩阵，；〔2〕、整体刚度矩阵；〔3〕、等效节点载荷；〔4〕、位移边界条件；〔5〕、最终求解方程；〔6〕、节点位移12i14j32m41kiikijkimkjikjjkjmkmikmjkmmE1k11k13k14k31k33k34k41k43k44E2k44k42k41k24k22k21k14k12k11(2)根据以上表格集成整体刚度矩阵(3)等效节点荷载计算(4)位移边界条件u3=v3=u4=v4=0(5)修正刚度矩阵：将K中的5—8行和列置零22.平面刚架如图9所示。根据如中所给信息，准备计算时的输入数据。分别给出以下矩阵：(1)整体结点与局部结点之间的关