高中全程复习方略配套77空间直角坐标系向量的坐标表示和空间向量基本定理市公开课一等奖省赛课微课金奖P

第七节空间直角坐标系、向量坐标表示和空间向量基本定理1/62三年4考高考指数:★★1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点位置，会推导空间两点间距离公式.2.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算坐标表示.4.掌握空间向量数量积坐标表示.2/621.空间直角坐标系是用向量法处理立体几何问题基础,属了解内容,普通不单独命题.2.空间向量坐标表示是用空间向量处理空间平行、垂直、夹角、距离问题基础.3.经过求空间点坐标考查空间想象能力,经过求两点间距离考查计算能力.4.空间向量数量积及其坐标运算，是高考考查重点，多以选择题或填空题为主.3/621.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系建立(如图)(ⅰ)坐标系为_____系;右手②③①④·4/62(ⅱ)④指_____,记为__;(ⅲ)①指__轴,②指__轴,③指__轴;(ⅳ)①和②,②和③,③和①确定平面分别指____平面,____平面,____平面.(2)空间直角坐标系中点坐标表示类似于平面直角坐标系中点坐标表示,在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点位置,任意一点P坐标识为_______.原点OxyzxOyyOzxOz(x,y,z)5/62【即时应用】(1)思索:空间直角坐标系中坐标平面把空间分成几部分？提醒：三个坐标平面把空间分为八部分.(2)xOz平面内点坐标特点是________.【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖不确定.答案：纵坐标为06/62(3)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴对称点坐标为______________.【解析】关于x轴对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.答案：(-5,-3,-1)7/622.空间两点间距离公式(1)假如长方体长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d=__________.(2)空间两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)间距离|AB|=__________________________.8/62【即时应用】(1)思索:在平面内到一定点距离等于定长点轨迹是圆，那么在空间中到一个定点距离等于定长点轨迹是什么呢?提醒：是以定点为球心，以定长为半径球面.(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB中点到原点距离为________.【解析】由中点坐标公式可得线段AB中点为(-2,1,1),故到原点距离为答案：

9/62(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面对称点为P′，则=_________.【解析】由题意得P′(1，-1，1),∴答案：210/623.空间向量标准正交分解、坐标表示及空间向量基本定理(1)在给定空间直角坐标系中，i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z)，使得a=_________.把___________叫作a标准正交分解，把______叫作标准正交基._______叫作空间向量a坐标，记作a=(x,y,z).__________叫作向量a坐标表示.xi+yj+zka=xi+yj+zki,j,k(x,y,z)a=(x,y,z)11/62(2)若b0为b单位向量，称__________________为向量a在向量b上投影.向量坐标等于它在_____________上投影.(3)空间向量基本定理假如向量e1,e2,e3是空间三个_______向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.空间中不共面三个向量e1,e2,e3叫作这个空间一个_____.a·b0=|a|cos〈a,b〉坐标轴正方向不共面基底12/62【即时应用】(1)思索:空间中任意三个向量都能够作为空间向量一个基底吗？提醒：不能够.只有当三个向量不共面时才能够.(2)已知a=(2，-1,3)，b＝(-1,4，-2)，c＝(7,5，λ)，若a,b,c三个向量共面，则实数λ=__________．13/62【解析】因为a,b,c三向量共面，所以存在实数m,n使得c=ma+nb，即解得答案：

14/62(3)已知向量a,b,c是空间一个单位正交基底，向量a+b,a-b,c是空间另一组基底，若向量p在基向量a+b,a-b,c下坐标为则向量p在基底{a,b,c}下坐标为________．【解析】由条件得p=(a+b)-(a-b)+3c=a+2b+3c，故向量p在基底{a,b,c}下坐标为(1,2,3)．答案：(1,2,3)15/624.空间向量运算坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).(1)a+b=__________________;(2)a-b=__________________;(3)λa=_______________(λ∈R);(4)a·b=_____________;(5)|a|=_____=_______________;(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(λx1,λy1,λz1)x1x2+y1y2+z1z216/62(6)cos〈a,b〉=__________________________________;(7)a∥b(b≠0)⇔______⇔____________;(8)a⊥b⇔_______⇔_______________.a=λba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=017/62【即时应用】(1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则夹角θ大小是________．(2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜最小值为_________.(3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则λμ=_________．(4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b相互垂直，则k=_________.18/62【解析】(1)由题意知=(-2,-1,3)，=(-1,3,-2)，故所以θ=π．(2)由题意得：b-a=(1+t,2t-1,0)，∴｜b-a｜=∴当t=时，｜b-a｜取得最小值为.19/62(3)由a∥b得a=kb，从而得解得λ=k=,μ=,故λμ=．(4)由题意得，ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2，-2)．所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0，解得k=．答案：20/62求空间相关点坐标【方法点睛】

1.建立恰当坐标系标准(1)合理利用几何体中垂直关系，尤其是面面垂直；(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上.2.求空间中点P坐标方法(1)过点P作与x轴垂直平面，垂足在x轴上对应数即为点P横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.21/62(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面距离等于点P对应坐标绝对值，再判断出对应数值符号，进而可求得点P坐标.3.空间直角坐标系中点对称规律已知点P(x,y,z)，则点P关于点、线、面对称点坐标为：22/62点线面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)xOy平面(x,y,-z)yOz平面(-x,y,z)xOz平面(x,-y,z)23/62【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上射影坐标为_________.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当空间直角坐标系，求其各顶点坐标.(3)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1对称中心在坐标原点，交于同一顶点三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)，求其它七个顶点坐标.24/62【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴射影坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系建立以及三棱柱底面三角形角大小.(3)由题意知，长方体各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴含有对称性，据此可写出其它七个顶点坐标.25/62【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上射影横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所表示.设AC中点是D，连接BD，则BD⊥y轴，且BD=，26/62∴A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(,1,2),C1(0,2,2).(3)由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B坐标为(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D坐标为(2,-3,-1);点C与点A关于z轴对称，故点C坐标为(2,3,-1)；因为点A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).27/62【互动探究】本例(2)中若以AC中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立适当空间直角坐标系，试写出各顶点坐标.【解析】建立空间直角坐标系,如图所表示，则28/62A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).29/62【反思·感悟】1.建立坐标系时，经常利用或结构两两垂直三条直线来解题，尤其是所给图形中垂直关系，更要合理利用.2.对同一几何体，建立坐标系不一样，所得点坐标也不一样．为方便起见常将尽可能多点落在坐标轴上.3.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了改变，哪些没变，一定要记清改变规律．4.记清各类对称点坐标间特征关系是正确解题关键.30/62【变式备选】已知正四棱锥V-ABCD，O为底面中心，若AB=2,VO=3.试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.【解析】方法一：∵正四棱锥V-ABCD，O为底面中心，31/62∴四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD,且VO⊥底面ABCD,以射线CA为x轴正方向，射线DB为y轴正方向，O为坐标原点，建立空间直角坐标系，射线OV即为z轴正方向∵AB=2,VO=3,∴AC=BD=2,于是A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),V(0,0,3).32/62方法二：分别以射线DA,DC为x轴和y轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系，∴射线OV方向即为z轴正方向,∵AB＝2，VO＝3,∴AD=CD=2,AC=BD=2,于是A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D(0,0,0),V(1,1,3).33/62空间两点间距离【方法点睛】1.求空间两点间距离步骤(1)建立坐标系，写出相关点坐标；(2)利用公式求出两点间距离.2.两点间距离公式应用(1)求两点间距离或线段长度；(2)已知两点间距离，确定坐标中参数值；(3)依据已知条件探求满足条件点存在性.34/62【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上射影，则|OB|等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)13(2)如图所表示，以棱长为a正方体三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体体对角线AB上，点Q在棱CD上．当点P为对角线AB中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|最小值.35/62【解题指南】(1)依据空间点在xOz平面上射影特点及距离公式求解.(2)确定点P、Q坐标，利用两点间距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识处理.36/62【规范解答】(1)选C.由题意得点B坐标为(3,0,-4),故(2)因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为AB中点,所以P().又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，其中z0∈［0,a］，故所以当时，|PQ|最小值为a.37/62【互动探究】本例(2)中,若将“点P为对角线AB中点”改为“当点P在对角线AB上运动时”,其余条件不变,则结果怎样?【解析】显然，当点P在AB上运动时，点P到坐标平面xOz、yOz距离相等，且P在第一象限，所以可设P(t,t,a-t),t∈［0,a］，又Q在CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，z0∈［0,a］.38/62所以|PQ|=故当z0=t=时，|PQ|有最小值为a.39/62【反思·感悟】1.解这类问题关键是确定点坐标，常出现错误是将坐标求错.2.利用空间两点间距离公式，能够求两点间距离或某线段长度，只要建立恰当坐标系，经过简单坐标运算即可处理.40/62【变式备选】1.已知点A(1，a，-5)、B(2a，－7，－2)(a∈R)，则AB最小值是()(A)3(B)3(C)2(D)2【解析】选B.|AB|＝∴当a=-1时,|AB|取最小值3.41/622.在xOy平面内直线x+y=1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)距离最小，则此最小距离为_________.【解析】由已知，可设M(x,1-x,0),则|MN|=∴|MN|min=.答案：

42/62空间向量坐标运算【方法点睛】1.求空间向量数量积方法(1)定义法：设向量a,b夹角为θ，则a·b=｜a｜｜b｜cosθ；(2)坐标法：设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，则a·b=x1x2+y1y2+z1z2．解题时可依据条件灵活选择方法．43/622.求向量模方法(1)|a|=;(2)若a=(x,y,z),则|a|=44/62【例3】已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).(1)求|2a+b|.(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得(O为原点).【解题指南】(1)若m=(x,y,z),则|m|=(2)假设存在点E在直线AB上，可由设出点E坐标，由列方程求解.45/62【规范解答】(1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1)，∴2a+b=(0,-5,5)，∴|2a+b|=(2)假设存在点E，其坐标为E(x,y,z),则存在实数λ，使得即(x+3,y+1,z-4)=λ(1,-1,-2)∴∴E(λ-3,-λ-1,-2λ+4)，46/62∴=(λ-3,-λ-1,-2λ+4)，又∵b=(-2,1,1),⊥b，∴·b=-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=-5λ+9=0，∴λ=，∴E，∴在直线AB上存在点E，使⊥b.47/62【反思·感悟】1.类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系从二维平面到三维空间，对应结论也会发生改变，如平面直角坐标系中A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点坐标为其两点间距离公式为而在空间直角坐标系中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),线段AB中点坐标为其两点间距离公式为48/62在平面直角坐标系中，方程x2+y2=1表示以原点为圆心,1为半径圆，而在空间直角坐标系中，方程x2+y2+z2=1表示以原点为球心，1为半径球面等.2.类比平面向量及其运算性质学习空间向量及其运算性质空间向量基本定理，向量加、减运算及数乘运算，两向量数量积定义及运算性质和向量坐标运算，都和平面向量中相关内容完全一致.有区分是两个基本定理中组成基底向量及向量坐标由二维扩展到三维.49/62【变式训练】已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).(1)求以为边平行四边形面积；(2)若|a|=，且a分别与垂直，求向量a坐标.【解析】(1)由题意可得：=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，50/62∴以为边平行四边形面积(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或∴向量a坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).51/62【易错误区】求点坐标时忽略解讨论而致误【典例】(·临沂模拟)已知点P在z轴上，且满足|OP|=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)距离为_________.【解题指南】先确定点P坐标，然后利用两点间距离公式求解即可.52/62【规范解答】设点P坐标为(0,0,z)，由|OP|=1得=|z|=1，故z=±1.当z=1时，点P坐标为(0,0,1),当z=-1时，点P坐标为(0,0,-1),答案：53/62【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们能够得到以下误区警示和备考提议：误区警示在解答本题时有两点轻易造成失误：(1)忽略对点P坐标讨论而丢失一个解；(2)不能分析点P特点，造成引入参数较多而无法解题5