成都理工大学-高数下-重修-D10-3三重积分市公开课一等奖省赛课获奖课件

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一、三重积分概念

二、三重积分计算三重积分第1页一、三重积分概念

类似二重积分处理问题思想,采取

引例:设在空间有限闭区域

内分布着某种不均匀物质,求分布在

内物质可得“大化小,常代变,近似和,求极限”处理方法:质量

M.密度函数为第2页定义.

设存在,称为体积元素,

若对

作任意分割:任意取点则称此极限为函数在

上三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分性质与二重积分相同.性质:以下“乘积和式”极限记作第3页二、三重积分计算1.利用直角坐标计算三重积分第4页

三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第5页其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成闭区域.解:面及平面第6页2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

柱坐标.直角坐标与柱面坐标关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第7页如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为所以其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离.第8页其中

为例3.计算三重积分所解:

在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.第9页例4.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=第10页3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M

球坐标.直角坐标与球面坐标关系坐标面分别为球面半平面锥面第11页如图所表示,在球面坐标系中体积元素为所以有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量相互分离.第12页例5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面第13页1.

将用三次积分表示,其中

由所提醒:思索与练习六个平面

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