复数与复变函数省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

§1复数§2复平面上点集§3复变函数§4复球面与无穷远点第一章复数与复变函数第1页一、概念：§1复数（1）复数：或其中是任意实数，为虚单位且。

实部：虚部：（2）纯虚数：即。尤其。（3）共轭复数：复数和称为互为共轭复数。第2页注：复数不能比较大小。（4）复数相等：实部和虚部分别相等两复数。（5）复数运算：，

和、差：积：第3页性质商：若复数满足，则称为与商。记为：。（1）交换律：，（2）结合律：第4页（3）分配律：（4）第5页例1设，求Re(z)，Im(z)。例2设为任意两个复数，证实：例3设，求与。第6页二、复数几何表示复平面：看作平面上坐标为点，轴为实轴，轴为虚轴，两轴所在平面，称为复平面。“数”与“点”一一对应，故今后常称为“点”。复数向量表示：复数可用从原点到点向量表示，记为。第7页复数模：辐角：实轴正向到夹角，称为辐角，记作Argz。（0辐角是什么？）

辐角主值：全部辐角中，在上一个，称为Argz主值，记为argz。

第8页复数三角表示：利用直角坐标与极坐标关系得复数指数表示：利用Euler公式：得第9页例1证实：例2将化为三角表示和指数表示。例3将化为三角表示和指数表示。例4将直线方程化为复数表示。第10页例5求以下方程所表示曲线：（1）（2）注意：第11页三、

复数乘幂与方根1、乘积与商设，

则第12页结论：（1）（2）第13页2、幂与方根幂：设，则n次幂。

DeMoivre公式：尤其时，第14页方根：求n次方根，相当于求方程：根。第15页

当时得到n个相异根：第16页例1：求与值。几何意义：n个值是以原点为中心，为半径圆内接正n边形n个顶点。例2:设及是两个复数,试证第17页1、区域概念§2复平面上点集邻域：

邻域为去心邻域：去心邻域为开集：G为一平面点集，，若存在一个邻域使，则称为G内点。若G每个点均为它内点，则称G为开集。第18页区域：若平面点集D是一个开集，且是连通，则称D为一个区域。连通性：平面点集D中任两点都能够用完全属于D一条折线连接起来，称D含有连通性。

区域

区域

区域

不是区域

第19页区域边界={边界点}闭区域=区域+边界聚点：区域分类：有界区域、无界区域。边界点：但任意邻域内都有D点，则称为平面点集D边界点。第20页2、单连通区域与多连通区域单连域：若区域G内任一条简单闭曲线（无重点曲线或约当曲线）内部均属于G，则称G为连区域。单连域多连域多连域第21页3、约当(Jordan)曲线定义：设及是两个实函数，在区间上连续，则由方程组或由复数方程（简记为），称为复平面上一条连续曲线．无重点连续曲线，称为简单曲线或Jordon曲线．第22页定义：设连续曲线弧AB参数方程为任取实数列：，将AB弧上对应点列，用一条折线连接起来，它长度假如对全部数列都有上界，则AB弧称为可求长，上确界称为AB弧长度．第23页定义：设简单曲线C参数方程为而且不全为零，则称C为光滑曲线．由有限条光滑曲线衔接而成连续曲线称为逐段光滑曲线．注意：逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线却不一定可求长．如曲线第24页定理：（Jordon定理）任一简单闭曲线Ｃ将Ｚ平面唯一分成三个点集，它们含有以下性质：（１）彼此不相交；（２）是一个有界区域（称为Ｃ内部）；（３）是一个无界区域（称为Ｃ外部）；（４）若简单折线Ｐ一个端点属于，另一个端点属于，则Ｐ必与Ｃ有交点．第25页1、复变函数单值函数、多值函数、定义域§3复变函数极限与连续定义：设G为一复数集，若按一确定法则，对G中每一个复数，有一个复数与之对应，则称在G上确定了一个复变函数。zw=u+iv例:均为单值函数.及均为多值函数。第26页注意：复变函数不像实变函数，能够用图形直观表示函数。映射:复变函数给出了从平面上点集E到平面上点集F间一个对应(映射或变换).点称为点象点,而点称为点原象.定义:对z平面上任意，有平面上点集F点，使，则称把E变入F（简记为)，或称是E到F入变换.第27页定义:假如，且对任意有使，则称把E变成F(简记为)，或称是E到F满映射.定义:若是点集E到F满变换，且对F中每一点，在E中有一个(或最少有两个)点与之对应，则在F上确定了一个单值(或多值)函数，记为，称之为反函数或变换逆变换。第28页例:设函数，试问它将z平面上以下曲线分别变成w平面上何种曲线？（１）以原点为心，２为半径，在第一象限圆弧；（２）倾角直线（可看为两条射线和）。第29页2、复变函数极限极限：设函数定义在去心邻域内。若有一确定A，使当时有。则称A为当趋于时极限，记为。注意：（1）当进入充分小邻域时，就落入A一预先给定-邻域内。（2）路径和方向是任意。第30页注：此定理将复变函数极限问题转化为二元实变函数极限问题。定理1设则充要条件是：第31页性质第32页3、函数连续性定义：若，则称函数在处连续。若在区域D内处处连续，则称在D内连续。定理2：（1）若，在点连续，则其和、差、积、商（分母在处不为0）在点连续。（2）若在点连续，而在点连续，则在点连续。第33页定理3函数在处连续充要条件是与在处连续。例1讨论连续性。例2试证：在原点不连续。例３设，则在某去心邻域内是有界．第34页类似于数学分析提出以下三个惯用定理.定理1:(波尔查诺(Bolzano)-维尔斯特拉斯定理)每一个有界无穷点集，最少有一个聚点.定理2:(闭套集定理)设无穷闭集列中最少一个为有界且，(其中是直径)，则必有唯一点，。第35页定理3:(海涅-波莱尔(Heine-Borel)覆盖定理）设有界闭集Ｅ每一点都是圆圆心，则这些圆中必有有限个圆把Ｅ覆盖．即Ｅ每一点最少属于这有限个圆中一个．第36页定理：在有界闭集E上连续函数，含有以下三个性质：（１）在E上有界．即有常数，使（２）在E上有最大值与最小值．即在E上有两点与使（３）在E上一致连续，即任给，有，使对E上满足任意两点及，都有第37页§4复球面与无穷远点复球面：取一个与复平面相切于原点球面，球面上一点S与原点重合。经过S作垂直于复平面直线与球面相交于另一点N，称N为北极，S为南极。对于复平面内任一点，用一直线把点与北极N连接起来，直线与球面相交于异于N点P。反之，对于球面上任何一个异于N点P，用一直线把N与P连接起来，这条直线就与复平面相交于一点。第38页说明：球面上点，除北极外与复平面上点存在着一一对应，而复平面上点与复数一一对应。故球面上点，除北极外，与复数一一对应。所以能够用球面上点来表示复数。为了使球面上点无例外地与复平面上点一一对应，要求：复平面上有一个唯