【数学】二项式定理及其应用讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理及其应用【考纲解读】理解并掌握二项式定理，能够运用二项式定理解答相关的数学问题；理解并掌握二项展开式的性质和二项展开式的通项公式，能够运用二项展开式的性质和二项展开式的通项公式解答相关的数学问题。【知识精讲】一、二项式定理：1、二项式定理：公式所表示的定理，叫做二项式定理。公式中右边的多项式称为的二项展开式，其中（r=0，1，2，----------n）叫做二项式的系数。2、二项展开式的性质：（1）二项展开式的项数为n+1项；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a、b的指数之和为n；（3）字母a按降幂排列，即从第一项开始次数由n逐项减少1至0；字母b按升幂排列，即从第一项开始次数由0逐项增加1至n；（4）二项展开式的系数从，一直到，；3、二项系数的性质：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项等距离的两项的二项系数相等，即=，=，=---------=----------；（2）增减性与最大值：二项系数，当k＜时，二项系数是递增的；当k＞时，二项系数是递减的；如果二项式的冪指数是偶数，则中间一项的系数最大；如果二项式的冪指数是奇数，则中间两项的二项系数相等，并且最大；（3）①+++-------+=，②++-------++--------=++-------++------=；（4）在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数。二、二项展开式的通项公式：1、二项展开式的通项公式：=（这里是二项展开式的第r+1项，r∈N）。2、通项公式中的元素：通项公式：=（k=0，1，2，------，n）中含有（项数），a，b，n，k五个元素，在这五个元素中已知其中的四个可以根据它们之间的相互关系求出另外一个。【探导考点】考点1二项式的展开式：热点①求二项式展开式中指定的项；热点②求二项式展开式中指定的项的系数；考点2二项式系数的性质：热点①二项式展开式系数的对称性和增减性；热点②求二项式展开式系数的最值。【典例解析】【典例1】解答下列问题：1、求展开式中项的系数；2、已知的第五项的二项系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项；如果在的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项系数最大的项；若在的展开式中，只有第六项的系数最大，求展开式则的常数项；5、已知在的展开式中，第六项为常数项，求：（1）n；（2）含项的系数；（3）展开式中所有的有理项。6、求展开式中含的项；7、求的展开式中项的系数；『思考问题1』（1）【典例1】是与二项展开式系数性质相关的问题，解决这类问题主要是运用二项展开式的通项公式先确定所在的项，再确定相应的系数；（2）解答问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数。〔练习1〕解答下列问题：1、求展开式则的常数项；2、已知的展开式中前三项的系数成等差数列，求：（1）展开式中系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项；3、的展开式则，常数项为15，求n；4、求展开式中的常数项。5、求的展开式中的常数项；6、展开式中的常数项；7、在的展开式中系数最小项的系数是多少？【典例2】解答下列问题：1、若=+x++------+，求：（1）++------+的值；（2）++------+的值。2、在的展开式则，按x的降冪排列，求：（1）含x的奇次项的系数之和；（2）含x的偶次项的系数之和；（3）展开式的系数之和。3、已知=，求：（1）；（2）；（3）；（4）。『思考问题2』（1）【典例2】是与二项展开式的系数相关的问题，解决这类问题需要弄清楚二项展开式系数的意义，掌握二项展开式系数的性质；（2）赋值法普遍适用于恒等式，是一种重要的方法。对形如，（a，b，cR）的式子求其展开式的各项的系数，常用赋值法，只需令x=1即可；对于形如（a，b，R）的式子求其各项系数之和，只需令x=y=1即可；（3）若f(x)=+x++--------+，则f(x)展开式中各项系数的和为f（1），奇数项系数之和为+++-------=，偶数项系数之和+++-------=。〔练习2〕解答下列问题：1、设f(x)==+x++------+。（1）若a=1，b=-3，c=0，求++-----+和++----+的值；（2）若+++------+=1024，且a-b+c=0，n=5，求正整数a、c的积的最大值及对应的a、c的值。2、在的展开式中，求：（1）含x的奇数项的系数之和；（2）含x的偶数项的系数之和；（3）展开式的所有项系数之和；（4）所有项系数绝对值之和。【典例3】解答下列问题：1、已知的展开式中的系数是-280，求a的值；2、按x降冪排列的展开式中，系数最大的项是第几项？3、求除100的余数。4、求精确到0.001的近似值。5、设=1+q++-------+（n，q1），=++-------+，用q和n表示。6、求证：-8n-9（n）能被64整除。『思考问题3』（1）【典例3】是二项式定理运用的问题，这类问题主要包括：①已知二项式展开式中指定项的系数，求二项式中参数的值；②数的整除问题；③与数列相关的综合问题；（2）解答已知二项式展开式中指定项的系数，求二项式中参数值问题的基本方法是：①根据二项式展开式的通项公式=得到关于参数的方程；②求解方程求出所求参数的值；（3）解答数的整除问题的基本方法是：①根据问题条件构造一个二项式；②运用二项式展开式的通项公式=，结合数整除的相关知识求出结果；（4）解答与数列相关的综合问题的基本方法是：①根据问题条件求出数列的通项公式；②由①得到所求式子的表示式；③运用二项式定理求出结果。〔练习3〕解答下列问题：1、设aZ，且0≤a<13，若+a能被13整除，则a=（）A0B1C11D122、的展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求m的值。3、求除以5的余数。4、求证：-++-------+=。【雷区警示】【典例4】解答下列问题：设二项式的展开式中常数项为A，则A=。设n，则+.6+.+-------+.=。『思考问题4』【典例4】是解答二项式定理及运用问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视通项公式中的符号，导致解答问题出现错误；②忽视二项展开式通项公式的结构特征，导致解答问题出现错误。解答二项式定理及运用问题时，为避免忽视通项公式中符号的雷区，需要注意通项公式中每一项涉及的符号，尤其是通项公式中的“-”符号；解答二项式定理及运用问题时，为避免忽视通项公式结构特征的雷区，需要注意二项展开式中通项公式=的结构的特征。〔练习4〕解答下列问题：求的展开式中的常数项；2、设n，求+.3+.+-------+.的值。【追踪考试】【典例5】解答下列问题：1、展开式中常数项是（成都市高2020级高三一诊）2、（1-）的展开式中的系数为（用数字作答）（2022全国高考新高考I卷）3、展开式中项的系数为（用数字作答）（2022成都市高三一诊）4、的展开式中的系数为（）（2022成都市高三二诊）A-160B160C-80D805、（x+）的展开式中的系数为（）（2020全国高考新课标I）A5B10C15D206、的展开式中的系数是（用数字作答）（2020全国高考新课标II）7、的展开式中常数项是（用数字作答）（2020全国高考新课标III）8、（+2）的展开式的常数项为（）（2020成都市高三一诊理）A25B-25C5D-59、的展开式中项的系数为（2020成都市高三二诊理）『思考问题5』【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关二项式定理及运用的问题，归结起来注意包括：①求二项展开式中指定的项；②求二项展开式中指定项的系数；③已知二项展开式中某项的系数，求参数的值等几种类型；解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。〔练习5〕解答下列问题：1、展开式的常数项是（2019成都市高三一诊理）2、的展开式中，含项的系数为（用数字作答）（2019成都市高三三诊理）3、（1+2）的展开式中的系数为（）（2019全国高考新课标III（理））A12B16C20D244、的展开式中的系数为（）（2018全国高考新课标III卷（理））A10B20C40D805、的展开式中各项系数之和为（2018成都市高三三诊）6、若的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为（）（2018成都市高三二诊）A2B-2C2D-2的展开式中含项的系数为（2018成都市高三一诊）二项式定理及其应用【考纲解读】理解并掌握二项式定理，能够运用二项式定理解答相关的数学问题；理解并掌握二项展开式的性质和二项展开式的通项公式，能够运用二项展开式的性质和二项展开式的通项公式解答相关的数学问题。【知识精讲】一、二项式定理：1、二项式定理：公式所表示的定理，叫做二项式定理。公式中右边的多项式称为的二项展开式，其中（r=0，1，2，----------n）叫做二项式的系数。2、二项展开式的性质：（1）二项展开式的项数为n+1项；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a、b的指数之和为n；（3）字母a按降幂排列，即从第一项开始次数由n逐项减少1至0；字母b按升幂排列，即从第一项开始次数由0逐项增加1至n；（4）二项展开式的系数从，一直到，；3、二项系数的性质：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项等距离的两项的二项系数相等，即=，=，=---------=----------；（2）增减性与最大值：二项系数，当k＜时，二项系数是递增的；当k＞时，二项系数是递减的；如果二项式的冪指数是偶数，则中间一项的系数最大；如果二项式的冪指数是奇数，则中间两项的二项系数相等，并且最大；（3）①+++-------+=，②++-------++--------=++-------++------=；（4）在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的数。二、二项展开式的通项公式：1、二项展开式的通项公式：=（这里是二项展开式的第r+1项，r∈N）。2、通项公式中的元素：通项公式：=（k=0，1，2，------，n）中含有（项数），a，b，n，k五个元素，在这五个元素中已知其中的四个可以根据它们之间的相互关系求出另外一个。【探导考点】考点1二项式的展开式：热点①求二项式展开式中指定的项；热点②求二项式展开式中指定的项的系数；考点2二项式系数的性质：热点①二项式展开式系数的对称性和增减性；热点②求二项式展开式系数的最值。【典例解析】【典例1】解答下列问题：求展开式中项的系数。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。【详细解答】==，由14-3r=2解得：r=4，展开式中项的系数为===35。已知的第五项的二项系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中不含x的项。【详细解答】的第五项的二项系数与第三项的二项系数的比是14:3，==，-5n-50=0，n=10，==，由5-=0解得：r=2，展开式中不含x的项为==5。如果在的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项和系数最大的项。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中有理项和系数最大的项。【详细解答】的展开式中，前三项系数成等差数列，=+1，-9n+8=0，n=8，==，由4-为整数解得：r=0，r=4，或r=8，的展开式中有理项为，x，，设的展开式中第r+1项的系数最大，==≥1=1\*GB3①，==≤1=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得r=2，或r=3，的展开式中系数最大的项为7或7。若在的展开式中，只有第六项的系数最大，求展开式中的常数项。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的常数项。【详细解答】的展开式中，只有第六项的系数最大，=6，n=10，==，由30-5r=0解得：r=6，展开式中的常数项为==210。5、已知在的展开式中，第六项为常数项，求：（1）n；（2）含项的系数；（3）展开式中所有的有理项。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】（1）根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出n的值；（2）根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数；（3）根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的所有的有理项。【详细解答】（1）的展开式中，第六项为常数项，-=0，n=10；==，由-=2解得：r=2，展开式中含项的系数为==；（3）==，由-为整数解得：r=2，r=5，r=8，展开式中所有的有理项为，-，。6、求展开式中含的项；【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中含的项。【详细解答】展开式的通项公式为==，展开式的通项公式为=，展开式的通项公式为，0≤r≤5，0≤k≤5-r，10-2r-4k=4，k=0，r=3，或k=1，r=1，含的项的系数为-64-16=-960，展开式中含的项为-960。7、求的展开式中项的系数；【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。【详细解答】展开式的通项公式为=，展开式的通项公式为=，的展开式的通项公式为=，0≤r≤4，0≤k≤7，4-r+k=2，k=0，r=2，或k=1，r=3，或k=2，r=4，的展开式中项的系数为64-128+256=2176。『思考问题1』（1）【典例1】是二项式展开式定理和二项式展开式通项公式及运用的问题，解决这类问题需要理解并掌握二项式展开式定理和二项式展开式通项公式，注意二项式展开式定理和二项式展开式通项公式运用的基本方法；（2）解答问题时，应该注意二项系数与项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中，是第k+1项，这里k+1是项数，是项；其中是该项的二项系数，它与a，b无关；项的系数是指化简后除字母以外的实数。〔练习1〕解答下列问题：1、求展开式的常数项。（答案：展开式的常数项为10）2、的展开式则，常数项为15，求n。（答案：n=6）3、求展开式中的常数项。（答案：展开式中的常数项为4200）4、已知的展开式中前三项的系数成等差数列，求：展开式中所有的有理项。（答案：展开式中所有的有理项为，x，）5、求的展开式中的常数项。（答案：的展开式中的常数项为-20。）6、展开式中的常数项。（答案：的展开式中的常数项为2101。）7、在的展开式中系数最小项的系数是多少？（答案：的展开式中系数最小项的系数是-462。）【典例2】解答下列问题：1、若=+x++------+，求：（1）++------+的值；（2）++------+的值。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项系数定义与性质；=2\*GB3②二项式展开式系数定义与性质；③二项式定理及运用。【解题思路】（1）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出++------+的值；（2）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出++------+的值。【详细解答】（1）=+x++------+，令x=1得：+++------+==1，==256，++------+=1-=1-256=-255；（2）=+x++-----+，令x=1得：+++------+==1=1\*GB3①，令x=-1得：-+-------+==6561=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：++------+=-3280。2、在的展开式则，按x的降冪排列，求：（1）含x的奇次项的系数之和；（2）含x的偶次项的系数之和；（3）展开式的系数之和。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项系数定义与性质；=2\*GB3②二项式展开式系数定义与性质；③二项式定理及运用。【解题思路】（1）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出含x的奇次项的系数之和；（2）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出含x的偶次项的系数之和；（3）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出展开式的系数之和。【详细解答】（1）=++-------++x+，令x=1得：+++------+===1\*GB3①，令x=-1得：-+------+-+===2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：含x的奇次项的系数之和为（-）=（-1）；由（1）知++-----++=-（-）=（+）=（+1），=1，含x的偶次项的系数之和为（+1）-1；（3）展开式的系数之和为+++------+=。3、已知=，求：（1）；（2）；（3）；（4）。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项系数定义与性质；=2\*GB3②二项式展开式系数定义与性质；③二项式定理及运用。【解题思路】（1）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出的值；（2）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出的值；（3）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出的值；（4）根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出的值。【详细解答】（1）=，令x=1得：+++------+==-1，==1，=-1-1=-2；（2）=，令x=1得：+++------+==-1=1\*GB3①，令x=-1得：-+-------==2187=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：++------+=-1094,；（3）+++------+==-1，++------+=-1094,，=-1-（++------+）=-1+1094=1093；（4）||+||+------+||==1093，|+||+------+||=-（++------+）=1094，=1093+1094=2187。『思考问题2』（1）【典例2】是求二项式展开式系数和的问题，解决这类问题需要理解并掌握二项式展开式系数和二项系数的定义与性质；（2）赋值法普遍适用于恒等式，是求二项式展开式系数和的一种重要方法。对形如，（a，b，cR）的式子求其展开式的各项的系数和的基本方法就是赋值法，只需令x=1（或x=-1）即可；对于形如（a，b，R）的式子求其各项系数之和，只需令x=y=1（或x=y=-1）即可；（3）若f(x)=+x++--------+，则求f(x)式子中各项系数的和为f（1），奇数项系数之和为+++-------=，偶数项系数之和+++-------=。〔练习2〕解答下列问题：1、在的展开式中，求：（1）含x的奇数项的系数之和；（2）含x的偶数项的系数之和；（3）展开式的所有项系数之和；（4）所有项系数绝对值之和。（答案：（1）含x的奇数项的系数之和为（-）；（2）含x的偶数项的系数之和为（+）-)；（3）展开式的所有项系数之和为；（4）所有项系数绝对值之和为。）2、设f(x)==+x++------+。（1）若a=1，b=-3，c=0，求++-----+和++----+的值；（2）若+++------+=1024，且a-b+c=0，n=5，求正整数a、c的积的最大值及对应的a、c的值。（答案：（1）++-----+=0，++----+=0=-1；（2）当a=c=1时，正整数a、c的积的最大值为1。）【典例3】解答下列问题：已知的展开式中的系数是-280，求a的值；【解析】【知识点】=1\*GB3①二项系数定义与性质；=2\*GB3②二项式展开式系数定义与性质；③二项式定理及运用。【解题思路】根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。【详细解答】==，的展开式中的系数是-280，=35=-280，=-8，a=-2。2、按x降冪排列的展开式中，系数最大的项是第几项？【解析】【知识点】=1\*GB3①二项系数定义与性质；=2\*GB3②二项式展开式系数定义与性质；③二项式定理及运用。【解题思路】根据二项系数和二项式定展开式系数的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出按x降冪排列的展开式中系数最大的项是第几项。【详细解答】按x降冪排列的展开式中，系数最大的项的系数为正数，且为奇数项，设系数最大的项为（r为偶数），≥=1\*GB3①，≥=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得：3.5≤r≤5.5，r=4，按x降冪排列的展开式中，系数最大的项是第5项。3、求除100的余数。【解析】【知识点】=1\*GB3①数的整除性定义与性质；=2\*GB3②二项式定理及运用。【解题思路】根据数的整除性的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可证明结论。【详细解答】==-9+-------+-100+=100（-9+------+100-）+，除100的余数是除100的余数。4、求精确到0.001的近似值。【解析】【知识点】=1\*GB3①数的近似值定义与性质；=2\*GB3②二项式定理及运用。【解题思路】根据数的近似值的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出精确到0.001的近似值。【详细解答】==-0.001+0.000001+--------，精确到0.001的近似值为-0.001+0.00000132-0.0800+0.000831..921。5、设=1+q++-------+（n，q1），=++-------+，用q和n表示。【解析】【知识点】=1\*GB3①等比数列定义与性质；=2\*GB3②二项式定理及运用。【解题思路】根据等比数列的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可求出关于q和n表示式。【详细解答】=1+q++-------+=，=++-------+=[（++-------+）-（q++-------+）]=[（-1）-+1]=[-]。6、求证：-8n-9（n）能被64整除。【解析】【知识点】=1\*GB3①数的整除性定义与性质；=2\*GB3②二项式定理及运用。【解题思路】根据数的整除性的性质，运用二项式定理，结合问题条件就可证明结论。【详细解答】证明：===++--------++8+1，-8n-9=64（++-------+）+8n+8+1-8n-9=64（++-------+）能被64整除。『思考问题3』（1）【典例3】是二项式定理运用的问题，这类问题主要包括：①已知二项式展开式中指定项的系数，求二项式中参数的值；②数的整除问题；③与数列相关的综合问题；（2）解答已知二项式展开式中指定项的系数，求二项式中参数值问题的基本方法是：①根据二项式展开式的通项公式=得到关于参数的方程；②求解方程求出所求参数的值；（3）解答数的整除问题的基本方法是：①根据问题条件构造一个二项式；②运用二项式展开式的通项公式=，结合数整除的相关知识求出结果；（4）解答与数列相关的综合问题的基本方法是：①根据问题条件求出数列的通项公式；②由①得到所求式子的表示式；③运用二项式定理求出结果。〔练习3〕解答下列问题：1、设aZ，且0≤a<13，若+a能被13整除，则a=（）（答案：D）A0B1C11D12的展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求m的值。（答案：m=0或m=1）3、求除以5的余数。（答案：除以5的余数是-1）4、求证：-++-------+=。（提示：根据二项式定理构造二项式就可证明结论。）【雷区警示】【典例4】解答下列问题：1、设二项式的展开式中常数项为A，则A=。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的常数项。【详细解答】==，由15-5r=0解得：r=3，A=-=-10。2、设n，则+.6+.+-------+.=。【解析】【知识点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的常数项。【详细解答】+.6+.+-------+.=（.6+.+.+-------+.）=（+.6+.+.+-------+.-1）=（-1），+.6+.+-------+.=（-1）。『思考问题4』【典例4】是解答二项式定理及运用问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视通项公式中的符号，导致解答问题出现错误；②忽视二项展开式通项公式的结构特征，导致解答问题出现错误。解答二项式定理及运用问题时，为避免忽视通项公式中符号的雷区，需要注意通项公式中每一项涉及的符号，尤其是通项公式中的“-”符号；解答二项式定理及运用问题时，为避免忽视通项公式结构特征的雷区，需要注意二项展开式中通项公式=的结构的特征。〔练习4〕解答下列问题：1、求的展开式中的常数项；（答案：常数项为-20）2、设n，求+.3+.+-------+.的值。（答案：+.3+.+-------+.的值为（-1））。【追踪考试】【典例5】解答下列问题：1、展开式中常数项是（成都市高2020级高三一诊）【解析】【考点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的常数项。【详细解答】==，由6-=0解得：r=4，展开式中常数项是.=1615=240。2、（1-）的展开式中的系数为（用数字作答）（2022全国高考新高考I卷）【解析】【考点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。【详细解答】=，（1-）的展开式中的系数应该是的与两项系数的和，==28，==56，（1-）的展开式中的系数=28-56=-28。3、展开式中项的系数为（用数字作答）（2022成都市高三一诊）【解析】【考点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。【详细解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展开式中项的系数为-.=-516=-80。4、的展开式中的系数为（）（2022成都市高三二诊）A-160B160C-80D80【解析】【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式的通项公式求出的展开式中的系数就可得出选项。【详细解答】==，由6-r=3解得r=3，的展开式中的系数为=-820=-160,A正确，选A。5、（x+）的展开式中的系数为（）（2020全国高考新课标I）A5B10C15D20【解析】【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式的通项公式求出的展开式中和y的系数，两个系数相加求出（x+）的展开式中的系数就可得出选项。【详细解答】=，当r=3或r=1时，==10，=5,，10+5=15，（x+）的展开式中的系数为15，C正确，选C。6、的展开式中的系数是（用数字作答）（2020全国高考新课标II）【解析】【考点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式的通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，得到的展开式中的项就可求出展开式中的系数。【详细解答】=（）=，=-1，r=3，的展开式中的系数为=-35。7、的展开式中常数项是（用数字作答）（2020全国高考新课标III）【解析】【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，结合问题条件确定常数项的项，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法就可求出、的展开式中常数项。【详细解答】==，当12-3r=0时，r=4，的展开式中常数项是=1516=240。8、（+2）的展开式的常数项为（）（2020成都市高三一诊理）A25B-25C5D-5【解析】【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，求出(+2)的展开式的常数项就可得出选项。【详细解答】==，(+2)的展开式的常数项是的展开式中项的系数与常数项的2倍的和，由6-2r=-2和6-2r=0分别解得：r=4或r=3，(+2)的展开式的常数项为+2=15-40=-25，B正确；选B。9、的展开式中项的系数为（2020成都市高三二诊理）【解析】【考点】=1\*GB3①二项式定理及运用；=2\*GB3②二项式展开式通项公式及运用。【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出的展开式中的系数。【详细解答】=，由4-r=2解得：r=2,的展开式中的系数为==6。『思考问题5』【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关二项式定理及运用的问题，归结起来注意包括：①求二项展开式中指定的项；②求二项展开式中指定项的系数；③已知二项展开式中某项的系数，求参数的值等几种类型；解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。〔练习5〕解答下列问题：1、展开式的常数项是（2019成都市高三一诊）（答案：常数项是24）2、的展开式中，含项的系数为（用数字作答）（2019成都市高三三诊）（答案：含项的系数为80）3、（1+2）的展开式中的系数为（）（2019全国高考新课标III）（答案：A）A12B16C20D244、的展开式中的系数为（）（2018全国高考新课标III卷）（答案：C）A10B20C40D805、的展开式中各项系数之和为（2018成都市高三三诊）（答案：各项系数之和为0）6、若的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为（）（2018成都市高三二诊）（答案：B）A2B-2C2D-27、的展开式中含项的系数为（2018成都市高三一诊）（答案：含项的系数为40）1、展开式中的系数为（）（2017全国高考新课标I卷（理））A15B20C30D352、（x+y）的展开式中的系数为（）（2017全国高考新课标III卷（理））A-80B-40C40D803、（x-2）的展开式中的系数为（）（2017成都市高三一珍）A25B5C-15D-204、在二项式的展开式中，若常数项为-10，则a=（2017成都市高三二诊）5、的展开式中，常数项为（用数字作答）（2017成都市高三三诊）6、的展开式中的系数是（）（2013全国高考I卷）A28B56C112D2247、的展开式中的系数为（用数字作答）（2014全国高考I卷）8、的展开式中，的系数为（）（2015全国高考新课标I卷）A10B20C30D609、在的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）（2015全国高考上海卷）10、在的展开式中，的系数为（2015全国高考天津卷）11、的展开式中，的系数为（）（2015全国高考新课标I卷）A10B20C30D6012、（a+x）的展开式中，x的奇次幂的系数之和为32，则a=（用数字作答）（2015全国高考新课标II卷）13、在的展开式中，的系数为(用数字作答)（2015全国高考北京卷）14、在的展开式中，的系数为（结果用数字表示）（2015全国高考上海卷）15、在的展开式中，的系数为（2015全国高考天津卷）16、在的展开式中，x的系数为（2015全国高考广东卷）17、的展开式中的系数为（用数字填写答案）（2015全国高考安徽卷）18、已知的展开式中第4项与第8项的二项系数相等，则奇数项的二项系数和为（）（2015全国高考湖北卷）ABCD19、已知的展开式中含的项的系数为30，则a=（）（2015全国高考湖南卷）AB-C6D-620、的展开式中，的系数是（用数字作答）（2015全国高考重庆卷）21、（a+x）的展开式中x的奇次幂项的系数之和为32，则a=(2015全国高考辽宁卷)22、在的展开式中，含的项的系数是（用数字填写答案）（2015全国高考四川卷）23、观察下列各式：=；+=；++=；+++=；照此规律，当n时，+++-------+=（2015全国高考山东卷）24、的展开式中，项的系数等于（用数字作答）（2015全国高考福建卷）25、二项式（n）的展开式中的系数为15，则n=（）（2015全国高考陕西卷）A4B5C6D7【综合练习3（理）】1、的展开式中，的系数与的系数之和=（2009全国高考I卷）2、的展开式中的系数为（2009全国高考II卷）3、若=a+b(a、b为有理数)，则a+b=（）（2009全国高考北京卷）4、的展开式中的系数是（）（2009全国高考重庆卷）A16B70C560D11205、的展开式中的常数项是（用数字作答）（2009全国高考四川卷）6、若=（x∈R）,则的值为（）（2009全国高考陕西卷）A2B0C-1D-27、设=，则=（）（2009全国高考湖北卷）A-1B0C1D8、在++的展开式中，x的系数为（用数字作答）（2009全国高考湖南卷）9、展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a、b、n的值可能为（）（2009全国高考江西卷）Aa=2,b=-1,n=5Ba=-2,b=-1,n=6Ca=-1,b=2,n=6Da=1,b=2,n=510\在二项式的展开式中，含的项的系数是（）（2009全国高考浙江卷）A-10B10C-5D511、的展开式中x的系数是（）（2010全国高考I卷）A-4B-2C2D412、若的展开式中的系数是-84，则a=（2010全国高考II卷）13、的展开式中的常数项为（2010全国高考辽宁卷）14、的展开式中的第四项是（2010全国高考四川卷）15、（x∈R）的展开式中的系数为10，则实数a=（）（2010全国高考陕西卷）A-1BC1D216、的展开式中的系数=（2010全国高考安徽卷）17、展开式中不含项的系数的和是（）（2010全国高考江西卷）A-1B0C1D218、的二项展开式中，x的系数与的系数之差为（2011全国高考I卷）19、在的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为()（2011全国高考新课标卷）A-40B-20C20D4020、在的展开式中，系数为有理数的项共有项（2010全国高考湖北卷）21、的展开式中含的项的系数为（结果用数值表示）（2011全国高考湖北卷）22、（x∈R）展开式中的常数项是（）（2011全国高考陕西卷）A-20B-15C15D2023、x的展开式中，的系数是（用数字作答）（2011全国高考广东卷）24、（其中n∈N,且n≥6）的展开式中与的系数相等，则n=（）（２０１１全国高考重庆卷）A６B７C８D９25、若的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则展开式中项的系数为（2012全国高考I卷）26、在的二项展开式中，x的系数为（）（2012全国高考天津卷）A10B-10C20D-2027、的展开式中的系数等于8，则实数a=（2012全国高考福建卷）28、的展开式中，的系数为（用数字作答）（2012全国高考广东卷）29、的展开式中常数项为（）（2012全国高考重庆卷）ABCD10530、的展开式中的系数为10，则实数a的值为（2012全国高考陕西卷）31、的展开式中的系数是（）（2012全国高考四川卷）A42B35C28D2132、在的展开式中，常数项等于（2012全国高考上海卷）33、设m为正整数，的展开式的二项式系数的最大值为a，的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）（2013全国高考新课标I卷）A5B6C7D834、已知（1+ax）的展开式中的系数为5，则a=（）（2013全国高考新课标II卷）A-4B-3C-2D-135、的展开式中的系数为7，则实数a=（2013全国高考安徽卷）36、的展开式中的常数项为（）（2013全国高考江西卷）A80B-80C40D-4037、使（n）的展开式中含有常数项的最小的为n为（）（2013全国高考辽宁卷）A4B5C6D738、二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）（2013全国高考四川卷）39、设二项式的展开式中常数项为A，则A=（2013全国高考浙江卷）40、的二项展开式中的常数项为（2013全国高考天津卷）41、的展开式中的系数为（用数字作答）（2014全国高考I卷）42、的展开式中，的系数为15，则a=（用数字作答）（2014全国高考新课标II卷）43、（x-y）的展开式中，的系数为（用数字作答）（2014全国高考新课标I卷）44、若二项式的展开式中的系数是84，则实数a=（）（2014全国高考湖北卷）A2BC1D45、的展开式中，的系数为（）（2015全国高考新课标I卷）A10B20C30D6046、（a+x）的展开式中，x的奇次幂的系数之和为32，则a=（用数字作答）（2015全国高考新课标II卷）47、在的展开式中，的系数为(用数字作答)（2015全国高考北京卷）48、在的展开式中，的系数为（结果用数字表示）（2015全国高考上海卷）49、在的展开式中，的系数为（2015全国高考天津卷）50、在的展开式中，x的系数为（2015全国高考广东卷）51、的展开式中的系数为（用数字填写答案）（2015全国高考安徽卷）52、已知的展开式中第4项与第8项的二项系数相等，则奇数项的二项系数和为（）（2015全国高考湖北卷）ABCD53、已知的展开式中含的项的系数为30，则a=（）（2015全国高考湖南卷）AB-C6D-654、的展开式中，的系数是（用数字作答）（2015全国高考重庆卷）55、（a+x）的展开式中x的奇次幂项的系数之和为32，则a=(2015全国高考辽宁卷)56、在的展开式中，含的项的系数是（用数字填写答案）（2015全国高考四川卷）57、观察下列各式：=；+=；++=；+++=；照此规律，当n时，+++-------+=（2015全国高考山东卷）58、的展开式中，项的系数等于（用数字作答）（2015全国高考福建卷）59、二项式（n）的展开式中的系数为15，则n=（）（2015全国高考陕西卷）A4B