2021-2023年高考数学真题分类汇编：计数原理（理）

专题17计数原理（理）

知识点目录

知识点1：利用二项式定理求项的系数

知识点2:利用二项式定理求系数和问题

知识点3：排列组合综合运用

近三年高考真题

知识点1：利用二项式定理求项的系数

1.（2023•北京）（2x-1）5的展开式中，x的系数是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

2.（2023•天津）在（2丁一工）6的展开式中，一项的系数为.

X

3.（2022•上海）二项式（3+外〃的展开式中，/项的系数是常数项的5倍，则〃=

2345

4.（2022•浙江）已知多项式（x+2）（1-1），=q）^a]x^-a2x+a3x+a4x+a5x,则a2=

5.（2022•新高考I）（l-』）（x+y）8的展开式中的系数为（用数字作答）.

X

6.（2022•天津）（五+与丁的展开式中的常数项为.

7.（2022•上海）在（丁+g产的展开式中，则含g项的系数为.

8.（2021•天津）在（2d+3,的展开式中，炉的系数是.

X

4432

9.(2021•浙江)已知多项式(“-I)，4-(x+l)=x+a}x+a2x+a3x+a4,则ax=

10.（2021•上海）已知二项式（x+a）5展开式中，V的系数为80,则。=

11.（2021•北京）在（V-1）4的展开式中，常数项是.（用数字作答）

X

知识点2：利用二项式定理求系数和问题

12.（2021•上海）已知（1+x）”的展开式中，唯有丁的系数最大，则（1+x）"的系数和为.

13.（2023•上海）己知（1+2023幻侬+（2023-幻⑼=/+4犬+4/++%）膏+40nx侬，若存在％e{0,1,

2,,100}使得为＜0,则左的最大值为.

14.（2022•北京）若（2x—=能/+可/+4%2+平+%,则4+4+4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

知识点3:排列组合综合运用

15.（2022•新高考H）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，

则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

16.（2021•乙卷（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培

训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

17.（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1H,则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

18.（2023•乙卷（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1

种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

19.（2023•甲卷（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加

服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

20.（2023•新高考H）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调

查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则

不同的抽样结果共有（）

A.缁C2种B.C如4种

C.c黑.党种D.C北.啕种

专题17计数原理（理）

知识点目录

知识点1：利用二项式定理求项的系数

知识点2:利用二项式定理求系数和问题

知识点3：排列组合综合运用

近三年高考真题

知识点1：利用二项式定理求项的系数

1.（2023•北京）（2x-4）5的展开式中，x的系数是（）

X

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】D

【解析】由二项式定理可知（2X-1）5展开式的第八+1项

X

乙=G（2X）A（」）'=（T）'2（r=0,1,…，5）

X

令5—2厂=1,可得/'=2.即含x的项为第3项，

.-.7；=80%,故x的系数为80.

故选：。.

2.（2023•天津）在（2丁-'）6的展开式中，一项的系数为.

X

【答案】60.

【解析】二项式（2V」）6的展开式的通项为%=a（2d）6T.（」），=q-26T,

XX

令—2得，r=4,

x2项的系数为C：•2?x（-1）4=60.

故答案为：60.

3.（2022•上海）二项式（3+x）"的展开式中，/项的系数是常数项的5倍，则〃=

【答案】10.

【解析】1•二项式（3+x）"的展开式中，/项的系数是常数项的5倍，

即C；X3"2=5c:X3",即D=5x9,

.e.71=10,

故答案为：10.

2345

4.（2022•浙江）已知多项式（X+2）（X-1）4=4+a}x+a2x+c^x+a4x+a5x,则a2=

【答案】8,-2.

【解析】.（x-l）4=xA-4x3+6x2-4x+1,

・,.g=-4+12=8；

令x=0，则4=2,

令x=1,则〃0+4+%+/+/+%=0,

二.4+/+%+%+%=-2.

故答案为：8,-2.

5.（2022•新高考I）（l-2）（x+y）8的展开式中fy6的系数为（用数字作答）.

X

【答案】-28.

【解析】（x+y）8的通项公式为I”=黑f"了，

5

当厂=6时，（=C；x2y6,当厂=5时，T6=C^y,

.•.（1-马（犬+丫）8的展开式中/丫6的系数为c；-C=-.......包=28-56=—28.

x6!-2!5!-3!

故答案为：-28.

6.（2022•天津）（4+2）5的展开式中的常数项为.

【答案】15.

【解析】•（«+捻）5的展开式的通项是=

要求展开式中的常数项只要使得5-5r=0,即r=1

.•.常数项是C；x3=15,

故答案为：15

7.（2022•上海）在（d+1产的展开式中，则含二项的系数为.

【答案】66.

（解析】展开式的通项公式为TM=3（/产"（与=g/F,由36-以=-4,得4&=40,

X

得％=10,

即与=3婷/即含g项的系数为66,

故答案为：66.

8.（2021•天津）在（2丁+1,的展开式中，/的系数是.

X

【答案】160.

36rr

［解析］（2V+）的展开式的通项公式为Tr+t=C；（2x）-（-）=C；26Txi,

XX

令18-4r=6,解得r=3,

所以f的系数是C：23=16O.

故答案为：160.

3442

9.（2021•浙江）已知多项式（x-1）+（%+1）=x+4/+a2x+a3x+a4,则q=

（答案】5；10.

【解析】q即为展开式中1的系数，

所以q=C；（-1）°+C：=5；

令X=1,则有1+4+/+为+%=（1-1）3+（1+I）4=16,

所以生+%+%=16-5-1=10.

故答案为：5；10.

10.（2021•上海）己知二项式（x+a）s展开式中，产的系数为80,则。=.

【答案】2.

【解析】（x+a）5的展开式的通项公式为I”=C#5-Z「，

所以/的系数为C；/=80,解得a=2.

故答案为：2.

11.（2021•北京）在（丁-1）4的展开式中，常数项是.（用数字作答）

X

【答案】-4.

34

［解析］设（x--）展开式的通项为Tr+l,则Tr+i=Q.（d产（-与=（-1/C；-x〜•

XX

令12-4r=0得r=3.

••・展开式中常数项为：（-1）3/；=-4.

故答案为：—4.

知识点2：利用二项式定理求系数和问题

12.(2021•上海)已知(1+x)”的展开式中，唯有丁的系数最大，则(1+x)"的系数和为.

【答案】64.

【解析】由题意，c：＞c；,且c；＞c,〉

所以〃=6,

所以令x=l,(1+》)6的系数和为26=64.

故答案为:64.

m

13.(2023•上海)已知(l+2023x)⑼+(2023-x严＞++ai00x',若存在％e(0,1,

2,,100}使得ak＜0,则k的最大值为.

【答案】49.

【解析】二项式(1+2O23X)'00的通项为J=，)(2023x)'=CQ2023'b,re{0,1,2.....100),

00K

二项式(2023-4的通项为02023re{0,1,2,100},

100-4

/.ak=C,^-20234+-2023'0°-*•(-1)*=^[2023*+2O23*•(-1)],ke[0,1,2,,100),

若见＜0,则人为奇数，

此时ak=C*(2023*-202334),

.•.2023A-2O23'00'*＜0,

k＜100-k,

又・k为奇数,

・•・左的最大值为49.

故答案为：49.

4432

14.(2022•北京)(2x-1)=a4x+OjX+a2x+atx+a0,则%+%+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

443

【解析】法r(2x-1)=a4x+a^x++axx+a0,

24

可得%=C：=1,a,=C4x2=24,a4=C®x2=16,

a„+0,+a4=41,

故答案为：41.

4432

法二：(2x-1)=a4x+a3x+a2x+qx+a0,

令x=1,可得0G+4+%+/+q=1,

再令x=—1,可得4—4+9—的+。4=(—3)4=81,

，两式相加处以2可得，/+《+%=二产=41,

故选：B.

知识点3:排列组合综合运用

15.（2022•新高考H）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，

则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A；•父=48种情况，

甲站在两端的情况有=24种情况，

甲不站在两端，内和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

16.（2021•乙卷（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培

训I,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】5名志愿者选2个1组，有C；种方法，然后4组进行全排列，有A：种，

共有C；4：=240种，

故选：C.

17.（2023•新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门

或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64.

【解析】若选2门，则只能各选I门，有C：C；=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选修课选2,

贝IJ有+C：C：=24+24=48，

综上共有16+48=64种不同的方案.

故答案为:64.

18.（2023•乙卷（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1