山东省烟台市芝罘区高中协同联考2023届高三三模数学 含解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟试题

本试卷共5页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

U=|xeN*|y=V5-x|M=[xeU\4x<161&M-

1.已知全集111,集合1।则0/一（）

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5）

【答案】C

【解析】

【分析】解相应不等式，化简集合，后由补集定义可得答案.

【详解】由题，y=,5-xnxW5,则。={1,2,3,4,5}；

4、416=4,<4?ox<2，贝ijM={1,2}厕={3,4,5}

故选：C

2.已知复数z满足z—|z|=-8+12i,则z的实部是（）

A.9B.7C.5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】设z="+bi（a,beR）,根据复数相等的定义，列出方程组求解，即可得到本题答案.

【详解】设2="+从（。乃61^,则目=，/+/,

由z一目=-8+12i,得a+历一Ja2+护=-8+12i,

所以“一1/+/=一8,b=l2,

则a-J/+i44=—8,解得a=5，

所以z的实部是5.

故选：C

3.已知a,b,/是三条不同的直线，a,4是两个不同的平面，a，=/,aua，bu/,则下列结论

正确的是（）

A.若a〃/，则a〃/B.若。J,all,则

C.若a则a_L尸D.a,b■—定是异面直线

【答案】A

【解析】

【分析】对于选项A,利用线面平行的性质即可判断出结果的正误；对于选项BCD,利用长方体中的点

线面的位置关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】选项A,因为a〃尸，aua,a/?=/,所以a〃/,所以选项A正确；

选项B,如图，在长方体中，取平面ABC。为平面平面48cq为平面尸，则a/3=BC,取直线

A6为“，直线A4为人，

显然有:，力，aA.1,但a与夕不垂直，所以选项B错误；

选项C,如图，取平面ABCO为平面a,平面AA8瓦为平面,，则cp=AB,取直线。。为

此时有a_L尸，但a//〃，所以选项C错误；

选项D,如图，取平面ABC。为平面a,平面AABg为平面夕，则aB=AB,取直线A8为“，

直线A£为力，此时。//从所以选项D错误.

故选：A.

4.为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高

中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据2018年版的《国家学生体质健康标准》评定等级，经过统

计，甲校有30%的学生的等级为良好，乙校有60%的学生的等级为良好，丙校有50%的学生的等级为

良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为5:8:7.从甲、乙、丙这三所学校参加测评的

学生中随机抽取1名学生，则该学生的等级为良好的概率为（）

A.0.40B.0.47C.0.49D.0.55

【答案】C

【解析】

【分析】记“该学生来自甲校”为事件4，“该学生来自乙校”为事件为,“该学生来自丙校”为事件

4,记“该学生的等级为良好”为事件3,利用全概率公式可求得P（8）的值.

【详解】从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取1名学生，

记“该学生来自甲校”为事件A,“该学生来自乙校”为事件&,“该学生来自丙校”为事件43，

CQ7

则P（A）=---=0.25,P（A,）=---=0.4,P（A）=-----=0.35.

\"5+8+7,5+8+7,*5+8+7

记“该学生的等级为良好”为事件5,则「（5|A）=O3,P（B|A）=0.6,P（B|A）=0.5,

所以p（8）=尸（A）尸（MA）+P（4）尸国甸+尸（4）P（B|A3）

=0.25x0.3+0.4x0.6+0.35x0.5=0.49.

故选：c.

5.若x>0,y>0,贝『x+y<4”的一个必要不充分条件是（）

A.x2+y2<SB.6<J4-yC.孙<4D.-+-<1

xy

【答案】c

【解析】

【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.

/\2

【详解】对于选项A：若V+y2<8,则（x+y）2=f+y2+2肛<8+2肛<8+2”上，所以

、2，

（x+yj<16,又x>0,y>0,所以0<x+y<4,所以+/<8”是“x+y<4”的充分条件，故

选项A错误；

对于选项B：若«<斤斤，则<（斤］『，所以x<4-y,即x+y<4,所以

“G<斤亍”是“x+y<4”的充要条件，故选项B错误；

2

对于选项C：由x+y<4得孙<［三'J<4,

另一方面取x=L,y=8,满足孙<4,但x+y>4,

4

所以“孙<4”是“x+y<4”的一个必要不充分条件，故选项C正确;

111,11,

对于选项D：取8=—，y=3,满足x+y<4,但一+—>1,所以“一+一<1”不是“x+y<4”的必要

5xyxy

条件，故选项D错误.

故选：C.

3s1

6.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，」+〃=34+1,则%=（）

n3

A.20B.19C.18D.17

【答案】B

【解析】

【分析】由a“=S“-S,i（〃N2）,可得数列｛对｝的通项公式，即可求得本题答案.

3s

【详解】因为j+〃=34+1,所以3s“+〃2=3〃a“+〃①，

n

当时，3sl②,

①-②得,3（S〃+=3w〃—3（〃—I）%?」+1,

2

所以=2（〃-1）,又〃22,得

21

所以｛4｝是等差数列，公差"=§,又4=一］，

22

所以勺=§〃一1，则。3。=§*30—1=19.

故选：B

31

7.已知。=sinl,b=-，c=;----,贝ijq,b,c的大小关系为（）

itlog37T

A.a>obB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】令/（x）=sinx—3x,利用其单调性比较大小，令g（x）=也，利用其单调性比较b,c大小.

71X

33

【详解】令/(x)=sinx——x,则洋(九)=cosx——,

7171

当外时，cosxe0,孚,且=L一2<0,

U2)y2J7271

所以当时，/'(x)<0，〃x)单调递减，

33

所以/(l)=sinl-己<即sinlv—,则。<从

7171

令g(x)=也,则g'(x)=^~y—>当xe(e,+oo),l-lnjc<l-lne=0.

所以g'(x)<0在(e,+8)上恒成立，

所以g(x)在(e,+8)上单调递减,

”，，ln3lore„1、3,

所以一>——，a即•;----所以c>人.

3Ttlog,7171

综上c>b>a,

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于不同类型的数值比较大小问题，我们可以先把数值进行等价变形化同构，再构

造相应的函数，求导研究函数的单调性，最后利用函数的单调性比较大小.

22

8.已知双曲线斗—5=1(。>0力>0)的上、下焦点分别为耳，居，过耳的直线与双曲线的上支交于

M,N两点，若|MN|,|班|成等差数列，且则该双曲线的离心率为()

A回RMr75nV6

3222

【答案】B

【解析】

【分析】先根据|MgI，|MN|,|Ng|成等差数列，并结合双曲线的定义得到|MN|=4a,再设

\MF\=x,在RJMN心中利用勾股定理得到x=。，进而在Rt△6M乙中利用勾股定理得到

2c2=5/,从而得到双曲线的离心率.

【详解】由双曲线的定义知闾=2。+|"耳|,|N闾=2a+|N用，

A\MF2\+\NF2\^4a+\MFi\+\NF]\^4a+\MN\,

•.［叫+质|=2|孙，：.\MN\^4a,

令=则|NF；|=4"X,

在区1加%中，...四用2+眼甘=加用2,.\(2。+力2+(4。)2=(64—》)2,

解得x=a,|M耳|=a,|Mg|=3a,

所以在中，/+(3a)2=(2c)2,

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知点4(1,2),5(3,1),C(4,m+l)(m€R),则下列说法正确的是()

A.卜3卜石B.若4B_LBC，则加=-2

C.若A6〃5C，则〃i=-JD.若84，8c的夹角为锐角，则根＜2且加。一:

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】因为A(l,2),5(3,1),C(4,m+l)(/neR),

所以A8=(2,—1),BC=(l,m)(meR),

选项A：网=百+㈠)?=亚,所以A正确；

选项B：因为ABL8C，所以AB.8C=0,所以2—机=0,所以加=2,所以B错误;

选项C：因为A6〃8C，所以2x〃?=(-l)xl,所以加=—g,所以C正确；

BA-BC=-2+m>0

选项D：因为区4,BC的夹角为锐角，且区4=(-2,1),所以(im，解得

1-21

m>2,所以D错误.

故选：AC

10.已知动点M到点N((),2)的距离等于2,动点M的轨迹为「，直线/：

(1+4)x+y-+义)-1=0(义wR),则()

A./可能是「的切线B」与「可能没有公共点

C」与「可能有两个公共点D.r上的点到/的距离的最大值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题知动点M的轨迹「的方程为f+(y-2)2=4,另外直线方程

/：(l+/l)(x—@+y—l=0(/leR)过定点产(61),且尸在「上，由此逐项分析，即可得到本题答案.

【详解】因为动点M到点N((),2)的距离等于2,

所以动点M的轨迹「的方程为r+(y-2)2=4,

易知/：(l+2)(x-73)+y-l=0(AeR),所以直线/过定点P("l),

因为—2)2=4,所以点P在「上，

对于选项A,B,C,易知/可能是「的切线，/与「不可能没有公共点、可能有两个公共点，故A正确，B

错误，C正确；

对于选项D,易知「上的点到/的距离的最大值为圆的直径4,故D正确.

故选：ACD

11.底面为直角三角形的三棱锥P-ABC的体积为4,该三棱锥的各个顶点都在球。的表面上，点P在

底面ABC上的射影为K,PK=3,则下列说法正确的是()

A.若点K与点A重合，则球O的表面积的最小值为257r

B.若点K与点4重合，则球O的体积的最小值为一

24

)69兀

C.若点长是_钙。的斜边的中点，则球。的表面积的最小值为一h

2]977r

D.若点K是ABC的斜边的中点，则球。的体积的最小值为[k

162

【答案】AD

【解析】

【分析】设ABC的两直角边长分别为x,»根据题意求得W=8,然后分点K与点A重合和点K是

ABC的斜边的中点两种情况进行求解即可判断.

【详解】设_ABC的两直角边长分别为x,y,球。的半径为R.因为三棱锥P-ABC的体积为4,

PK=3,所以lx现x3=4,解得切=8.

32

对于选项A,B：由题意知平面ABC,所以

2R=7^2+/+32=7%2+/+9V^+9=72x8+9=5（当且仅当x=y=20时取等号），解

得

2

41257r

所以球。的表面积5=4兀/?2225兀，球。的体积丫=一兀内2——，故A正确，B错误；

36

（/2~~2V

对于选项C,D：若点K是uWC斜边的中点，则（3-/?了+义~匚=R2,（球0的球心位于直

\7

线PK上）

所以6R=9+*+）"29+也=9+3=13（当且仅当x=y=20时取等号），即

4446

169冗421977r

所以球。的表面积S=4兀代2*士,球。的体积V=—兀代之__上，故c错误，D正确.

93162

故选：AD

【点睛】方法技巧

求解此类题要过好三关：一是构造关，即会构造长方体模型快速求解外接球的直径，长方体的外接球的

直径等于共点的三条棱长的平方和的开方；二是方程关，即会利用三棱锥的底面三角形的外接圆的圆心、

球心与三棱锥的顶点构成的直角三角形，用勾股定理得关于球半径的方程；三是最值关，利用基本不等

式求最值，要注意“一正二定三相等”.

12.已知函数/（x）=ln（27tex-ex2）—2cos彳，则（）

A.f（27i-x）=-f（x）B.“X）的图象关于直线龙=兀对称

C.詈）D./（x）仅有一个极值点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意将函数解析式化简，然后利用函数的单调性，对称性和极值点的相关知识逐项进行判断

即可求解.

【详解】因为/(6=缶(20一2一28525的定义域为(0,2兀)，所以

/(x)=ln(2⑪-%2)+1-2cos2楙=In(2TIX-X2)-cosx=In(27i-x)+lnLX-cosjc.

对于选项A：/(2K-x)=Inx+In(2n-x)-cos(2TI-x)=ln(2兀-x)+hu-co&x,即

/(2K-X)=/(X),故A错误；

对于选项B：由A知"2兀-x)=/(x),所以/(x)的图象关于直线工=兀对称，(结论：若

f{x+a)=f[b-x),则f(x)的图象关于直线》=皇对称)故B正确；

对于选项C：f'(x]^~~—+-+sinx^\+sinx,

2n-xxX[2TI-X)

当0＜x＜兀时,用x)＞0,所以在(0,兀)上单调递增，

因为f(2兀-X)=/(%),所以/信)=/(2兀一周=/(引，

因为兀＞岩＞系＞0，所以/[署)＞/(葛)=，传故C错误；

对于选项D：因为/(x)的图象关于直线X=71对称，且/(x)在(0,兀)上单调递增，所以/(x)在

(兀,2兀)上单调递减，所以/(x)仅有一个极值点，故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.3石+2)的展开式中尤的系数为.

【答案】4860

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为1,求出厂的值，将厂=2的值代入通项,

求出系数.

的展开式的通项公式为T=C；(3«广(2)=C；36-r2r?-r,

【详解】+r+i

令3—r=l，得r=2，

所以展开式中x的系数为C；x34x22=4860.

故答案为：4860.

14.过坐标原点作曲线y=(x+2)e*的切线，则切点的横坐标为.

【答案】一1+百或一1一6

【解析】

【分析】设切点为(%,%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将(0,0)代入，即可求得本题答案.

【详解】由y=(x+2)e'可得y'=(x+3)e*,设切点坐标为(玉),%)，

所以切线斜率k=+3)e*>,又因为%=(/+2)e%,

则切线方程为丁一(为+2)e*=(x0+3)e'"(x-x0),

把(0,0)代入并整理可得片+2%-2=0,解得毛=一1+6或毛=一1一6.

故答案为：一1+6或一1一百

15.己知抛物线八/=2px(p>0)焦点为尸(1,0),点K在「上且在第一象限，直线FK与「的准线

交于点M,过点M且与x轴平行的直线与厂交于点H,若2HF=HM+HK，则|印什.

【答案】4

【解析】

【分析】过点K作准线的垂线，垂足为G,利用抛物线的定义，结合题意可得为等边三角形，

进而求解即可.

【详解】因为抛物线「y2=2px(p>0)的焦点为尸(1,0),所以台1,解得，=2.

过点K作准线的垂线，垂足为G,则|KF|=|KG.

因为2HF=HM+HK，

所以点尸为线段MK的中点，所以NKMG=30°,又MH与x轴平行,

所以NFMH=6（）。.由抛物线的定义知\HM\=\HF\,

所以_月0”为等边三角形，所以q=|w|=2x2|Of|=4.

故答案为：4.

16.已知函数/(x)=|2sin®x+8)+l|0>0,网的图象经过点（0,2）,若/（x）在区间

2兀3兀

上单调递增，则。的取值范围是,

T,T

4

9-

【解析】

【分析】将（0,2）代入/（x）的解析式，求仍的值，结合正弦函数的图象与性质列关于“的不等式组，即

可得解.

【详解】由题意得/（0）=怪皿0+1|=2,；.5皿8=，，又冏＜二，二，

226

/兀、

/（元）=2sincox+—+1,

k6）

（27r37rA

♦.•/（x）的图象过点（0,2）,且/（x）在区间一石,彳J上单调递增，

•••作出/（X）的大致图象如图所示，

其中4为“X）在y轴左边的第一个零点，巧为了（X）在y轴右边的第一个极大值点,

2sin|coxx+—|+1=0

兀<2兀

3,得o<@<3,0的取值范围是.

3兀兀9V9_

--£---

I4-3。

故答案为：（°）§

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，自播出便引起巨

大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分（满分为10分），得到如下表

格：

观众序号12345678910

评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

（1）求这组数据的第75百分位数；

（2）将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对《狂飙》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的

人数为X,求X的分布列、数学期望与方差.

【答案】（1）9.1

（2）分布列答案见解析，E（X）=0.9,D（X）=0.63.

【解析】

【分析】（1）先将数据从小到大排列，结合百分位数的计算公式，即可求解；

（2）根据题意，求得评分超过9.0的概率，得出X的所有取值，利用独立重复试验的概率公式求出概率,

得出分布列，进而求出期望和方差.

【小问1详解】

将这组数据从小到大进行排列，

7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,

因为75%xl0=7.5,所以第8个数据为所求，

所以这组数据的第75百分位数为9.1.

【小问2详解】

样本中评分超过9.0有3个，

所以评分超过9.0的概率（频率）为0.3,

依题意，X的所有可能取值为0』,2,3,且X8（3,0.3）,

则P（X=0）=C；x0.73=0.343,

P（X=l）=C；xO.3xO.72=0.441,

P（X=2）=Cfx0.32x0.7=0.189,

p（X=3）=C；xO.33=0.027,

所以X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以£（X）=3x0.3=0.9,

£＞（%）=3x03x0.7=0.63.

18.一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知（/?一（?屈113=加出（4一。）

（1）求角A；

（2）若一ABC为锐角三角形，且的面积为S,求°0”的取值范围.

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到cosA=g,再结合Ae（O,〃），即可得

到A;

（2）根据A=）和三角形面积公式将+°?整理为2+£]一逑,再根据锐角三角形和

3S3｛cb）3

b

正弦定理得到一的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.

C

【小问I详解】

（b-c）sin6=/?sin（A—C）,所以仅一c）sin/?=/?（sinAcosC-cosAsinC）,

而zG.,„,.a1+b2-c2b2+c2-a2

明以Z?-be-abcosC-bccosA=-----------------------a~2—c2,

22

又/=从+。2-2bccosA，所以cosA=^,

2

因为Aw（0,〃），所以A=..

【小问2详解】

i巧

由（1）可知S=—hesinA=—，er=kr+C1—be-

24

则（2+匕2+（2_46cr+b2+c24732^+2c2一历_86仅।c]4后

一_1be_be_~l~｛c*bJ---

<C<

因为一48C锐角三角形，所以，°cf,整理得二<C<7.

n2nCn62

132

m4bsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC,31山〜1b

因为1一=----=—------乙=------------------=———+—，所以一〈一<2

csinCsinCsinC2tanC22c

令?=f,则函数y=（+；在上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以ye2,1],即

故Y+〃+c?的取值范围为为月.

sL3

19.已知首项不为0的等差数列｛q｝,公差"H0,《=0（，为给定常数），S,为数列｛4｝前〃项和，且

=5叫（叫＜/4），｛2｝为加2一班所有可能取值由小到大组成的数列.

（1）设平面与平面PC。的交线为/,求证：UPE；

（2）若尸石〃3C,PE的中点为F，求平面BCF与平面COE所成二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）取C。的中点〃，连接证明CO_L平面可得CDLPE,再证明CD

平面AW，根据线面平行的性质可得C£>〃/,即可得证；

（2）连接AC,80交于点。，连接0P,以点。为原点建立空间直角坐标系，设AB=2,根据

PE〃8C以及正棱锥的结构特征求出0P的长度，再利用向量法求解即可.

【小问1详解】

取CO的中点连接

因为PC=PO,CE=OE,所以MP_LCD,MELCD,

又皿「小（加£；=加,政3,加£'0：平面PME，

所以CD_L平面PME，

又因PEu平面0ME,所以CD上PE,

因为A8〃C£）,A6u平面QA3，CC>（Z平面Q4B，

所以CD平面Q45，

又因平面MB与平面PC。的交线为/，CDu平面PC。，

所以CD〃/,

因为C£>J_P£,所以PEU；

【小问2详解】

连接AC,BO交于点。，连接0P,

则OP±平面ABCD,ACLBD,

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

不妨设AB=2，则AC=BD=2&，

设0P=〃，则pc="£=拉+〃2,

则B（V2,0,0）,C（0,A/2,0）,D（-V2,0,0）,P（0,0,/I）,

由「石〃BC,得E

由£)£=CD,得$¥5+可+代解得力=拒，

故尸倒,0,⑹,E(-"夜，⑹,

因为反〃BC,PE的中点为尸，所以平面BCF与平面尸3CE重合,

CD=(-V2,-V2,0),C£=(-V2,0,V2),CB=(V2,-^,0),

设平面PBCE的法向量为m=(x,y,z),

mCB-y/2x-yf2y=0

则有＜令x=l,则y=z=l,所以〃2=(1,1,1),

m-CE=一行x+V2z=0

设平面COE的法向量为〃=(a,6,c),

n-CD=-y/2a-y[2b=Q

则有<ll，令。=1,则人=-l,c=l,所以“=(1,-1,1),

n-CE=-yl2a+y/2c=0

所以平面Bb与平面CDE所成二面角的余弦值为;.

22

21.已知椭圆C：与+卓=1(。＞8＞0)的右焦点为E(2,0),且。卜2,&)是椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若过尸的直线4(与x轴不重合)与椭圆c相交于A3两点，过尸的直线6与y轴交于点”，与

直线x=4交于点Na与4不重合)，记一例尸民..附5一可£4,4£加的面积分别为，,52,53,54,若

S,+S3).求直线4的方程.

22

【答案】（1）—+—=1

84

（2）x=±y+2

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义求出“，再根据。，4c之间的关系求出。2,即可得解;

（2）设直线AB的方程为*=加丁+2,A（玉,y）,3（工2，%），联立方程，利用韦达定理求出M+%，,%，

根据直线x=4与V轴平行,可得|F）W|=|FN|,再根据何1=—（St+邑）化简即可得解.

【小问1详解】

由已知可得耳（-2,0）为C的左焦点，

所以2a=|尸耳|+|PF|=40,即。=2日,

所以）2=储一02=4，

22

故椭圆C的方程为二+—=1；

84

【小问2详解】

设直线AB的方程为x=my+2,4（%,y）,B（x2,y2）,

则由?；2,得（加2+2）＞2+4%一4=0,

x+2y=8,'7

显然A=（4m）2+16（1+2）＞0,

十4m4

于乂+%=--FT?，必必=--7—7,

m+2m+2

由直线x=4与y轴平行，

\FM\扁一2|2,...

可得局=曰=2=L所以1加值成|,

|FB\|FN\sinZBFN-11E4||FM|sinZAFM_

||FB||FM|sinNMF