高考数学解题36个破题方法

【高中数学】高考数学解题36个破题方法

数学破题36个大招

月录

第1关：极值点偏移问题-对数不等式法..............................................3

第2关：参数范围问题一常见解题6法..................................................7

第3关：数列求和问题一解题策略8法.................................................11

第4关：绝对值不等式解法问题一7大类型.............................................15

第5关：三角函数最值问题一解题9法.................................................22

第6关：求轨迹方程问题一6大常用方法...............................................28

第7关：参数方程与极坐标问题一“考点”面面看......................................42

第8关：均值不等式问题一拼凑8法..................................................48

第9关：不等式恒成立问题一8种解法探析.............................................55

第10关：圆锥曲线最值问题一5大方面...............................................61

第11关：排列组合应用问题一解题21法............................................65

第12关：几何概型问题一5类重要题型...............................................73

第13关：直线中的对称问题一4类对称题型............................................76

第14关：利用导数证明不等式问题一4大解题技巧......................................78

第15关：函数中易混问题一11对....................................................84

第16关：三项展开式问题一破解“四法”.............................................90

第17关：由递推关系求数列通项问题一“不动点”法....................................92

第18关：类比推理问题一高考命题新亮点.............................................95

第19关：函数定义域问题一知识大盘点.............................................102

第20关：求函数值域问题一7类题型16种方法.........................................110

第21关：求函数解析式问题一7种求法............................................133

第22关：解答立体几何问题一5大数学思想方法.......................................137

第23关：数列通项公式一常见9种求法..............................................144

第24关：导数应用问题一9种错解剖析..............................................156

第25关：三角函数与平面向量综合问题一6种类型.....................................159

第26关：概率题错解分类剖析一7大类型.............................................166

第27关：抽象函数问题一分类解析.................................................169

第28关：三次函数专题一全解全析..................................................173

第29关：二次函数在闭区间上的最值问题一大盘点....................................186

第30关：解析几何与向量综合问题一知识点大扫描...................................196

第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇..........................................197

第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”一转化思想.......................................201

第33关：函数零点问题一求解策略.................................................214

第34关：求离心率取值范围一常见6法..............................................219

第35关：高考数学选择题一解题策略...............................................222

第36关：高考数学填空题一解题策略................................................233

第1关：极值点偏移问题一对数不等式法

我们熟知平均值不等式：a，bGR

一十一

ab

即"调和平均数“小于等于〃几何平均数"小于等于"算术平均值“小于等于''平方

平均值"

等号成立的条件是a=b

我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：

a-b

】na-Inb

那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式

Va>b,aWb

以下简单给出证明：

不妨设a>b,设@/*,则原不等式变为:

“Al."—）〈Mx

X+1yfx

以下只要证明上述函数不等式即可

以下我们来看看对数不等式的作用.

题目1:(2015长春四模题)已知函数/(x)=e3-ax有两个零点〈，则下列说法错

误的是_

A.a>eB.xi+xz〉2C.x2>lD.有极小值点*，且

xi+x2<2x

【答案】C

【解析】函数f(x)导函数：

f'(x)=e2-a

有极值点x=Ina,而极值f(na)=a-alna<0:a>8,A正确

2

f(x)有两个零点：eA-am=O,e-ax2=O,BP：

xl=lna+lnxi①

x2=lna+lnx2(2)

①-②得：

x1-x2=lnx1-lnx2

根据对数平均值不等式：

2Inij-lnx,「勺

x+x〉2,需1〉J两，XX〈1B正确，c错误

而①+②得：x+x=2lna+lnxA2<2Ina,即D成立

题目2:(2011辽宁理)已知函数/(x)=lnx-M+(2-a)x

若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：

f'(xo)<0

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式

直接去证明第三问：

维.鬲

设A(X,f(X)),B(X2.f(xz)),石<,则编日

lnX|-ax；>(2-a)X|=0

Inx2-ax^+(2-。)刍=03

①②得.lnxlTnx2-a(Xi+x2)(x「x2)+(2-a)(X1-X2)=O,化简得：

---------1----------=占工—>o

a(x1+x1)-(2-a)InXj-lnXj③

而根掘对数乎均值不等式：

髓竭「函覆§

③等式代换到上述不等式

1之一1

<———"n----------------</

a(x,+x,)-(2-a)------22ax0-(2-a)-----@

根据：如。-(2-a)x〉0(由③得出).•.④式变为：

2ax0-(2-a)x-l>0=(2x+l)(ax-l)>0

(2x+)>0,：物白£.一。在函数单咸区间中，BP：：f(xn)<C

题目3:(2010天津理)已知函数f(x)=xe-*(xeR)如果x片?，af(x)=f(x2)

证明：x+xz>2

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式

直接去证明第三问：

设f(")=f(x2)=c,镰扇呻籥国管(xirx。两边取对数

lnx-XI=lnc®

lnx2-x2=lnc(2)

①②得：

财嬷尸西礴°

根掘对数平均值不等式

X1+4>11—X?=]

2inx,-Inx,

:X+X2>2

题目4:(2014江苏南通市二模)设函数f(x)=e?-ax+a(ae其图象与x轴交

于A(xi,0)B(x2,0)两点，且Xi、

f'(J丙2)〈o(f(x)为函数f(x)的导函数)

证明：

【解析】根掘题意：e-ax+a=0e8-axz+a=0移项取对数得：

Xi=ln(xT)+lna①

x2=ln(x2-l)+lna(2)

①②得：-x2=ln(x「1)-Im(x2-1),即：

(凝-1)-(/T)_]

ln(xt-I)—ln(x^-1)

根据对数平均值不等式；

V(X11)-1)

婀-1)旧-1)

ln(x,-l)-lo(xa-l)

:(X,-1)(x2-l)<l=ln(x,-l)(x2-l)<o,①+②得：

x1+x2=2lna+ln(x1-l)(x2-l)<21na

根掘均值不等式：

函数f(x)在(-,Ina)单调递威

f'(VxxXO

题目5:已知函数f(x)=xhx与直线丫=m交于A(,y),B(X2,yz)两点

求证」＜丑＜7

【解析】由为Inx=m,x21n二m,可得：

m

国①.让

①-②得:

芯受二监=

InX|In(InX)-InX]In号In刍

①+②得:

_/n(lnM+lnX])

Inxjn与④

根据对数平均值不等式

2lnx)-InX,

利用③④式可得

用(InJr|+Ex0〉-m

21ndinX]Inx11nx2

由题于y=m与y=xlnx交于不同两点，易得出则m＜0

，上式简化为:

ln(x•x2)<-2=lne~2

0<X|X3

第2关：参数范围问题一常见解题6法

求解参数的取值范围是一类常见题型。近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出

现.学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方

法.

一、确定“主元”思想

常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量.

例1.对于满足oWpW4的一切实数”，不等式x+px>4xtp3恒成立，求x的取值范围.

e[0.4]

分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x，+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0

恒成立，求x的范围，解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂

的.若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内

关于P的一次函数大于。恒成立的问题，

解：设f(p)=(x-l)p+x2-4x+3,当x=l时显然不满足题意.

由题设知当oWpW4时/⑺〉。恒成立，...f⑹*代⑷〉o即x2_4x+3〉0且

解得x>3或x<-1.；.x的取值范围为x>3或x<-1.

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参

数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将

问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2.若对于任意角日总有sir?0+2mcos8+4m-l<0成立，求m的范围.

分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos0+4)<cos2°

2mv"J

又(:059+2〉0,则原不等式等价变形为〃<cosf+2制“评.

cos3&cos28

根据边界原理知，21n必须小于CQS&+2甘勺最小值，这样问题化归为怎样求⑦号8*2的最小值,因

code=(cos"/-4(8$e+2)+4=皿外2+二--4247=0

为8s6+2cos6+2cos8+2

即cos0=0时，有最小值为0,故m<0.

评析：一般地，分离变量后有下列几种情形：

①f(x)，g(k)=[f(x)]min^g(k)

②f(x)>g(k)=g(k)<[f(x)]min

③f(x)<g(k)[f(x)]maxWg(k)

④f(x)<g(k)台[f(x)]max<g(k)

三、数形结合

对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来

达到解决问题的目的.

例3.设xe[-4,0],若不等式

恒成立，求a的取值范围.

分析与解：若设函数二Jx(-4-x),则

2,

(x+2)+y=4(y120)

,其图象为上半圆.

4.

y,=-x+1-o

设函检3，其图象为直线.

在同一坐标系内作出函数图象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心(-2.0)到直线

一.8+3-如一

4x-3y+3-3a=0

的距离-且l-a〉0时成立，即a的取值氾围为

a<-5

四、分类讨论

当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论

可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

例4.当xe[2,8]时,不等式1082a2-4x>7恒成立，求a的取值范围.

gV

解：⑴当2a〈DI时，由题设知凝京力恒成立，即即吟而xe[2,8];

工一、

版a—d嘿另解得a£(_00,」)U(l,+00)

2I

(2)当0<2a?_1<1时，由题设知痂白步耳亘成立,即爵次)输，而xe[2,8].

£“一，3金、…晚3、

W武4七(-二Lk)U(二~.二)

纾T.解得4J-4a的取值范围是

。--)u(曰$ua网

五、利用判别式

当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解.

分组求和法.

例4求数列{n(n+l)(2n+l)}的前n项和.

解：设ag=k(k+1)(2k+1)=2x3+3k2+k

S,=££々+1)(2左+1)左'+£

JI-JU1

将其每一项拆开再重新组合得：

a内，

2£炉+3工二+工k

5.=UIU)JU】

_2(F+23+・•・+1)+3(12+22+―+n2)+(l+2+・・・+n)

-2("+。2卜.("+1)(2力+1)f.(力+1)

=~2-2-2~

5、亵项相消法求和

有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个

数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而

经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前n项和公式，这是分解与组合思想在数列求和中的具体

应用，也称为分裂通项法。它适用于型（其中｛a,｝是各项不为0的等差数列，c为常数）、

部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有:

I_____(1_____1\L—髭昌•一/

ax=f(n+l)-f(n)(2»-lX2n+4)-2-2»+1>勰豳引潮盛整-M

____!=Lf_!1_)右二卡（、'。一、仿）

M(>H4X»+2)2(旬»+2)/

---------------------=tan("+D'-tan

cos«-cos(«+l)-

:----------3—1-----------------]

力5—1)(〃+2)2/5+1)(力+DS+2)等

{a}+：„...镉布

例5设数列的前2项的和333n-1,2,3,勃篦

解：由题意得：a=4*-2(其中n为正整数)

用・3<2叫:•沙-叶;*L号第7叩(2・7]

2133(11、

耳.丁严而7刁2xlrri-r,-iJ

6、并项求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时,

可将这些项放在一起先求和，然后再求和S。

例6设数列｛a,)的首项为a,=l,前n项和S满足关系式：

3S-(2t+3)S4=3,(t>0,n=2,3,4,…)设数列｛a,｝的公比为f(),作数列｛b,｝使

d■/(----).("-2.3.4.…)，求和：bb-b2b3+b3b「bubs-+b2n-lb2n-b2b2a+l

解:由题意知｛a,｝为等比数列，得a.二(1+3)-蚊(Q)_3啾21.31

2n+1

故：从3，可知｛bzm」)和｛bzn｝是首项分别为1和3,公差均为3的等差数列。

+

于是bib?-b2b3+b3b4-b4bs+…+bz-Ibz-b2b2

_

=b2(bi-b3)+b4(b3bs)+b6(bs-b7)+—+b2n(bznT+b2m+l)

-----外―十--------J

•一3(左+九+…十,-3233

4

二一9(2/

7、累加法

给出数列(S,)的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为S,-S-=f(n)型，可以

考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。

1、当a>0时,

f(x)|<a<^-a<f(x)<a

f(x)|>aQf(x)>a或f(x)<-a

2、当a=0

f(x)|<a,无解

|f(x)|>a使f(x)W0的解集

3、当a<0时，

f(x),<a，无解

if(x)>a住y=f(x)成立的X的解集

2

x-x<2

例1不等式的解集为()

A(-1,2)B(-l,1

c(-2,1)p(-2,2)

解：

x2-x<2

因m为,所以-2<x?-x<2

即

X3-X+2>0

x1-x-2<0

解得：

xeR

-1<x<2

所以XG(T，2),故选A

类型二：形如a<{«x)<b(b>a〉0)型不等式

解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解:

a<If(x)i<b(b>a>0)^>a<f(x)<B

-b<|f(x)|<-a

或

需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：

a<|f(x)|<b(b>a>O)^a<f(x)<B

l<x+l<3

例2不等式的解集为()

(0.2)(-2,0)U⑵4)

A.B

D(-4,-2)U(0,2)

c(-4,0)

解：

I<x+1<3^l〈x+l〈3或-3,<x+l<-l

00<*<2或-4<*<-2,故选D

类型三；形如"X)kg(x),f(x)l>g(x)型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求

解，显得比较繁琐，其简洁解法如下

解法：把8(x)看成一个大于零的常数a进行求解，即:

f(x)I<g(x)<=>-g(x)<f(x)<g(x)

>g(x)O/(x)>g(x)或〃X)<-g(x]

例3设函数f(x)=2x-l+x+3,若f(x)W5,则X的取值范围是

解：

f(x)W5o|2x-l|+x+3W5

0|2xT〈-x+2Ox-2W2xTW-x+2

2x-lNx-2

2x-1M-x+2

x2-1

«-1<x<1「一1

，故填：-'

f(x)|<g(x)|

类型四：形如型不等式

解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即:

f(x)|<|g(x)|o|f(x)12<g(x)2

o[f(x)]?-[g(x)]2〈o0[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0

例4不等式2xT1原-21〈°的解集为_

解：

2x-l-x-2|<0^>|2x-Kx-2|

o|2x-?<|x-2i2o(2x-l)2-(x-2)2<0

o[(2x-l)+(x-2)][(2x-D-(x-2)]<0

台-1<x<1

所以原不等式的解集为

f(x)I<f(x),1f(x)I>f(x)

类型五：形如型不等式

解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：

f(x)|<f(x)

,无解

[f(x)I>f(x)of(x)〈0

国T碎岛M则

例5解关于X的不等式।

解：

/7号耳M一非E胃十啮猊?r"/E跟频血

II衿1rf

(1)当。二0时，原不等式等价于:

(2)当a〉0时，原不等式等价于:

(3)当a〈0时，原不等式等价于：

.1

X-I—一—

或a

,1

x>1—

Oxvl成a

综上所述

(1)当a=0时，原不等式的解集为：

(2)当a〉0时，原不等式的解集为:

(3)当aa<0时，原不等式的解集为：

类型六：形如使X/卜bnI/，IXF|+|XFI恒成立型不等式.

A|用|Wa±bIWa则

解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：

卜一〃k一同一卜一3[)1=(x-n)|=卜-川

cWk-m1+XFOcW(x-m|-1x-m)=(x-m)-(x-n)=n-m

5

x+3I—|xTIWa2—3a

例6不等式7对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[{-co,-l]U[4,+co)B[-00,-2]U[5,+00)

c.1.2]p[00,-l]U[2,+oo)

解：

设函数

f(x)=lx+3|-xT|W|(x+3)-(xT)=4

所以

f(x)mm=4

x+3—xTWa2.3a

而不等式'对任意的实数X恒成立

故a?-3a24=aW-1或a24,故选择A

类型七：形如

[(x)-g(x)<a,|f(x)]-[g(x)]>a(a为常数)

f(x)|-|g(x)|<h(x),|f(x)|-|g(x)|>h(x)

[f(x)]+|g(x)|<a,[f(x)]+|g(x)]>a(a为常数)

f(x)|+|g(x)<h(x),|f(x)+|g(x)|>h(x)

1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去

掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确

定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.

2x-l|<A+1

例7解不等式

八?!

好包凰那国曾

分析：找出零点：必

确定分段区间：？2

解：(1)当x<0时，原不等式可化为：-2x+l<-x+l

解得：X>0因为x<0,所以X不存在

(2)当蛔禺礴做时，原不等式可化为：_2x+l<x+l

解得：x〉o又因为青，所以％

国^^=5

(3)当松时，原不等式可化为：2x_l<x+l,

解得：x<2又曾，所以我

{xp<x<2}

综上所述，原不等式的解集为：

2、特别地，对于形如

[f(x)|+|g(x)|<a,|f(x)]+|g(x)]>a(a为常数)

f(x)+|g(x)|<h(x),[f(x)|+|g(x)|>h(x)

型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：

f(x)|+g(x)|<h(x)o

|/(x)+g(x)|vMx)

L/(x)-g(x)|<*(x)

|/(x)|+|g(x)|>A(x)o|/(x)+g(x)|>Mx)戌|/(x)-g(x)|>A(x)

例8设函数f(x)=x-l+x-a|

(1)若a=-1,解不等式f(x)

(2)如果Vx€R,f(x)》2,

求a的范围

解：

⑴当a=一时，

f(x)=lx-1+x+l

由f(x)23得:

f(x)=x-1+x+123

即：

卜一l)+(x+1)N耳或(x+l)|>3

解得：

售国

2x|23然鸟=黄展遂g

，即：遨或看

故不等式f(x)》3的解集为：

卜小产或弱

(2)由f(x)22得:

x-1|+|x-a|22

即：

卜-1)+卜-。)22亚|(x-l)-(x-a)|>2

即：

|2x-(a+l)|s2或卜-1|之2

因为YxCR,f(x)>2恒成立，

所以aT22成立，解得：

故a的取值范围为：

{-00,-1]U(3,+00)

绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而遴

免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几

年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形

结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.

方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停

留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质一一思想，那么就有点得不偿失了

第6关：三角函数最值问题一解题9法

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学

中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。

解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性

（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二

次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

—配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元

将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1函数y=-sMx-3c°sx+3的最小值为（）

A.2B.0CD.6

［分析本题可通过公式8Mx=l-cos2x将函数表达式化为y=cos?x_3cosx+2因含有

cox的二次式，可换元，令cos_t，则_1WtW1,y=t2_3t+2,配方，得

-1st$1,当t=l时，即coss=l时，Ymm=0,选B.

例2求函数y=5sinx+cos2x的最值

［分析］:观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所

以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

2233

y-5sinx+(l-2sinx)=-2smx+5smx+1=sin-

豳8133

TWsinxW1,:施混33屏LJ^-2x«—=—6

sinx=l.这0霹*=-2X《+|=4

二引入辅助角法

^=-cos2x+—smxcosx+l(xe

例3己知函数22当函数y取得最大值时，求自变量x的

集合。

［分析］此类问题为y=asir?x+bsinxcosx+ccosX的三角函数求最值问题，它可通

过降次化简整理为y=asinx+bcosx型求解。

解

11+co$2x^V310Q、上5ifloV5

，22224442122J4

=^Stn|2x+5l+-2x+5=?+2*/r,

216J46264

三利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正

弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

2c8X+1

y-------------

例4求函数2co5x-l的值域

ACOSX4-6

y=---------------7

［分析］此，:ccosx-d型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，

这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三

角函数的有界性去解。

21

/=lco$jqS1一yS：

解法一：原函数变形为2cosx-\，可直接得到：-VJ’N

1

COST=-2J1LVcosx|^1,：J<1.一y<-

解法_：原函数变形为”3或

例5已知函数f(x)=2smx(smx+ccsx)

，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

［分析］在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，

故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。

/(x)=2$max+2stnxco«x=1-cot2x+sm2x=l+^s«(2x-g)

f(x)的最小正周期为n,最大值为1+J2。

四引入参数法(换元法)

对于表达式中同时含有sinx+cosx,与sinxcosx的函数，运用关系式

2

(sinxicosx)=l±2sinXCOSX,一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要

注意换元后新变量的取值范围。

例6求函数y=5111*+（：0$*+51（^（：0$*的最大值。

［分析］解："inxcos-l+2sinxcosx令，皿+噜寸

+则

1nxe。$入=一1（:€1"夜）爵1勺1虫-J2,J2

2高，其中I匚

五利用基本不等式法

利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则

会陷入误区。

14

»=「-+——

例7求函的sm'xcos'x的最值。

14

解：＞_sm?xcos2x_l+cot3x+4(Htan2x)=5+cotJx+4tanJ5+2x2=9

当且仅当。。也x=4tan2x即cotx=±J2时，等号成立，故m=9。

水利用函数在区间内的单训性

2

例8已知xe（0,"）,求函数1-'UlZ+$mx的最小值。

遨/牛-德―

［分析］此题为磁作逊三角函数求最值问题，当sing>0,a>l,不能用均值不等式求最值，适

合用函数在区间内的单调性来求解。

smx=£,（0<工Wl）j=1+14

设”，在（0,1）上为威函数，当t=l时，Ymm=3。

七数形结合

由于srV2x+cos?x=l,所以从图形考虑，点(cosx,sins)在单位圆上，这样对一类既含有正弦

函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。

一smx办、

y=-------------(0<x<编

例9求函数‘2-CO”的最小值。

0-smx

一八；-------

［分析］法一：将表达式改与成•'c'ry可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的

斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y的最小值就是在这个半圆上求

一点，使得相应的直线斜率最小。

设过点A的切线与半圆相切与点B,则aWy<0

5/r73

kg=tan----S-......

可求建63

避「黜’

所以y的最小值方置(此时缸

Ja2+b2sin(x+)

法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=(即引入辅助角法)和有界性来

求解。

八判别式法

see3x*tanx

例10求函力see2x+tanx的最值。

［分析］同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。

sec2x-tanxtanJx-tanx+1

tec2r4-t^nx

(y-1)tan2x+(y+l)tanx+(y-l)=0

解.：尸1,tanx=0,x=kn(kGn)

y#l

时此时一元二次方程总有实数解

:△=(y+l)2-4(y-l)2>0,:(3y-l)(y-3)WO

x=br+w=3

由y=3,tanx=-1,

A=3，tanx=1/=之k+:,k=z

由