2023-2024学年上海市杨浦区高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于.

【正确答案】3万

【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由

此结合圆锥的表面积公式，能求出结果.

【详解】•••圆锥的轴截面是正三角形/8C,边长等于2

...圆锥的高4。=x2=百，

2

底面半径厂=gx2=l.

,这个圆锥的表面积：

S-nrl+nr1=^xlx2+^xl2=3^.

故答案为3万.

本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截

面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.已知数列｛%｝是等差数列，«,=20,%>=9,则这个数列的公差"=.

【正确答案】-1

【分析】根据等差数列通项公式直接计算.

%=%+8d=20

【详解】由等差数列得

。20=。1+19d=9

1rq=28

解得】「

\a=-1

故答案为.-1

3.设/(x)=2、，则方程/'(x)=ln4的解集为.

【正确答案】{x|x=1}##{1}

【分析】解方程2、In2=In4即得解.

【详解】解：由题得2"ln2=ln4,，2*ln2=21n2,，2*=2,，x=l.

所以方程的解集为{x|x=1}.

故{x|x=1}

4.（炉+2）5的展开式中一的系数为

X

【正确答案】40

【分析】根据二项定理展开通项禺求得，.的值，进而求得系数.

【详解】根据二项定理展开式的通项式得C（x2）A（5=仁2''°f

x

所以10-3厂=4,解得，・=2

所以系数C；X22=40

故40

本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题.

5.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷

款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有

80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查

专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为人.

【正确答案】12

【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解.

【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享

受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为30x正温、由=12.

故12.

6.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天

均安排1人，且人员不重复，则一共有种安排方式（结果用数值表示）.

【正确答案】420

【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和

第三天均安排1人，且人员不重复，

由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为C；C]C!,=21x5x4=420.

故答案为.420

7.已知随机事件A和3相互独立，若尸（/8）=0.36,尸（可=0.6（二表示事件A的对立事

件），则P（5）=

【正确答案】0.9

【分析】求出尸（/）的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得P（B）的值.

【详解】由对立事件的概率公式可得P（"）=l-P（1）=0.6,

P（4B）

由独立事件的概率乘法公式可得尸（/8）=P（N）P（8）因此,P（B）==0.9.

?（㈤

故答案为.0.9

8.已知数列｛叫的前〃项和为S“，满足对任意的〃eN,均有S“+a“=-l,则％=.

【正确答案】

64

【分析】根据递推公式得到4=;。,I,所以数列｛。“｝是以卬=-;为首项，以g为公比的等

比数列，利用等比数列的通项即可求解.

【详解】因为对任意的〃cN*,均有S“+4=-l,则有邑=-1-。“，

当"=1时，q=S1=T-q,所以《=-；；

当〃22时，an=5„-5,„_l=-l-a„+l+an_l,也即

因为q=-g，所以数列也,｝是以为首项，以;为公比的等比数列，

所以％=%e严=-（5，则《=-2，

故答案为.-力

64

9.由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共个（结

果用数字表示）.

【正确答案】60

【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.

【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有C；H/；=36

种，

四位数有。时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以

有《京C；C；=24种，故满足题意的共有60个;

故60.

10.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧

的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字

和分别为。，b,C例如，图中上档的数字和“=9.若a,b,c成等差数列，则不同的分

【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.

【详解】每档可取7到14中的每个整数，

若公差为0,共有8种；

若公差为±1,则共有12种：

若公差为±2,则共有8种；

若公差为±3,则共有4对，；

所以，不同分珠方法有：8+12+8+4=32种，

故答案为32

本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.

11.已知矩形Z8CZ）的周长为6,则将其绕,48所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为

【正确答案】4兀

【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可.

【详解】设8c=x（0<x<3）,则”=3—x,

所以将周长为6的矩形N8CD绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为

V（x）=Ttr2（3-x）=兀（3x2_x）（0<x<3）.则修'（x）=n（6x—3x2）,

令片(x)=0,即兀(6x-3/)=0,解得x=0(舍)或x=2.

当0<x<2时，r(x)>o；

当2<x<3时，r(x)<o.

所以忆(x)在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减；

所以当x=2,即8c=2,=1时，/(X)取得最大值为

夕(x)max=/⑵=兀(3*2、2')=471

所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为47t.

故答案为.4兀

12.已知(21-1)7=4+。3X3+。4X4+。5/+。6》6+%一,则

同+2|生|+3同+4㈤+5同+6院|+7|%|=.

【正确答案】10206

【分析】对已知关系式两边同时求导，

62456

可得14(2x-I)=q+2a2x+3a3x+4&H+5a5x+6a6x+,再根据14(2X+1)的展开式

的各项系数和与14(2x-1)6的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可.

【详解】对已知关系式两边同时求导，

2456

可得14(2x-1)，=q+2a2x+3a}x+4a*+5asx+6ahx+7%x,

因为14(2x+l)6的展开式的各项系数和与14(2x-iy的展开式的各项系数和的绝对值相等，

所以同+2|%|+3同+4同+5同+6除|+7同=14(2x1+1)6=10206.

故10206.

二、单选题

13.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数

据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,

100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样

本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

【正确答案】A

【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)x2=0.3,频数为36,

二样本总数为上

口婚

♦.•样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)x2=

0.75,

.♦.样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120x0.75=90.

频率分布直方图.

14.函数y=/(x)可导，“函数y=/(x)在点(％,%))处的导数值为0”是“函数y=/(x)在点

(X。,为)处取极值”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【正确答案】B

【分析】举特例说明导数值为0,但不是极值点，即可得到结果.

【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.

对于函数/(x)=V,/'(x)=3x2,虽然/'(。卜。，但是由于无论x>0还是x<0,恒有

"(x)>0,即函数〃力=X3是增函数，所以0不是函数/(力=X3的极值点.

一般地，函数y=/(x)在一点处的导数值为0是函数y=/(x)在该点处取极值的必要条件,

而非充分条件.

故选：B.

15.(x+2y+z)”的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有()

A.72项B.75项C.78项D.81项

【正确答案】C

【分析】由多项式展开式中的项为履，%。，即“+b+c=ll(a,6,cN0),将问题转化为将2

个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.

【详解】由题设，多项式展开式各项形式为代且a+6+c=ll(a,b,cN0),

故问题等价于将2个隔板和II个小球分成三组，即C%=78.

故选：C

16.为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测

量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间，的关系为，=/(，).甲、乙两人服用该药物后,

血管中药物浓度随时间，变化的关系如下图所示.

①在4时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在4时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在心名］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④在也由］，心心］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.①③④C.②③D.①③

【正确答案】D

【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在

此点处切线的斜率，平均变化率是再结合图象，逐一判断选项即可.

【详解】解：对于①，在《时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即

①正确：

对于②，在4时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的/'（编不相等，说明甲、乙两人血

管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在口2，口内，血管中药物浓度的平均变化率均

为,即③正确；

13T2

对于④，在L,4］和3两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为华匕*

12Tl

和华）-*）,显然不相同，即④错误.

h-'2

故正确的只有①③；

故选：D.

三、解答题

17.2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶

图如图所示：

189

212334555667888999

30122234

（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；

（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不

小于30岁的概率.

【正确答案】（1）3位；第75百分位数是30

【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；

（2）根据对立事件和组合数公式求概率.

【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；

因为26x75%=19.5,所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列,

第20位球员的年龄是30；

C"9

(2)11名球员没有年龄不小于30的概率尸=昔=二,

。2692。

9911

所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率~一旃=丽

18.在直三棱柱444G中，AC=3fBC=4,AAl=AB=51。是Z8的中点.

(1)求三棱锥。-5C4的体积；

(2)求证：/G〃平面cz)4；

(3)求三棱柱N8C-4AG的外接球的表面积.

【正确答案】(1)5：

(2)详见解析；

(3)50兀.

【分析】(1)由题可得NCJ8C,然后结合条件利用棱锥体积公式即得；

(2)设8c与8a相交于点E,可得/CJ/DE,根据线面平行的判定定理，即得；

(3)由题可得三棱柱N8C-4AG的外接球即为以CC1,C4C3为棱的长方体的外接球，然

后利用长方体的性质即得.

【详解】(1)因为ZC=3,BC=4,AAX=AB=5,

所以/C2+8C2=4&2，即/C工8C,又。是的中点，

所以％.c=3TBe=gx}3x4xX5；

(2)设4c与8G相交于点£,连接

在△G45中，。为力8的中点，E为G8的中点，

所以4CJ/DE,

因为/G<X平面COB-OEu平面。片，

所以/G〃平面CD片；

(3)由题可知在直三棱柱/8C-44G中，CG，C4c8两两垂直，

所以直三棱柱/8C-48c的外接球即为以C%C4c8为棱的长方体的外接球,

设直三棱柱ABC-A^C,的外接球的半径为R,则(2R『=3?+4?+52=50,

即4R2=50，

所以三棱柱/8C-4AG的外接球的表面积为4兀心=50兀.

19.已知数列｛叫满足q=l,a„=3a„.,+4(/7>2).

(1)求证：数列｛《,+2｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)写出的具体展开式，并求其值.

»=|

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵为=3"-2；

【分析】(1)利用构造法，得到q+2=3(%+2),可证明｛《,+2｝是等比数歹ij；

(2)根据等比数列的通项公式，求出。“+2=3",进而可求｛%｝的通项公式;

(3)直接写出2。2T的具体展开式，根据%,利用等比数列的前〃项和公式，直接计算

/=!

5

可得答案.

r=l

【详解】(1)・.・%=3〃〃T+4(〃之2),等式两边同时加上2,

得%+2=3(%_i+2),又q+2=3

则m+2)为首项是3,公比4=3的等比数列

(2)由⑴得，㈤+2｝为首项是3,公比4=3的等比数歹I」,

+2=3〃，故an=3"-2.

5

(3)=。|+%+牝+%+“9=3+33+35+37+39-2*5

z=l

=2Ezf)_1O=3)_1()^_83

1-9888

20.已知甲的投篮命中率为0.6,乙的投篮命中率为0.7,丙的投篮命中率为0.5,求:

(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；

(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；

(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率.

【正确答案】(1)0.21；

(2)0.44；

(3)0.94.

【分析】(1)根据概率乘法得三人都命中概率为0.6x0.7x0.5=0.21；

(2)分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情

况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；

(3)采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概

率公式求解即可.

【详解】(1)设事件A：甲投篮命中；

事件B：乙投篮命中；

事件C：丙投篮命中.

甲，乙,丙各投篮一次，三人都命中的概率

P(ABC)=P(A)P网P(C)=0.6x0.7x0.5-0.21.

所以甲，乙，丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.

(2)设事件。:恰有两人命中.

所以P(D)=P(ABC+ABC+ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(Cj

=0.4x0.7x0.5+0.6x03x0.5+0.6x0.7x0.5=0.44

所以甲，乙,丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为0.44.

(3)设事件E:至少有一人命中.

所以P(E)=1-P(ABC)=1-0.4x03x0.5=1-0.06=0.94

所以甲，乙,丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.94.

21.f(x)=Inx-(a+l)x+-ax\aeR,

(1)当。=0时,求函数y=/a)在点处的切线方程;

⑵当“€(0,1］时，求函数y=/(X)的单调区间；

⑶当4=0时，方程〃X)=(〃L2)X在区间［1,/］内有唯一实数解，求实数加的取值范围.

【正确答案】(I)y+I=o

(2)答案见解析

⑶{91卜玲+1)

【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求切线方程；

(2)求导，分类讨论求单调区间；

(3)根据题意整理可得〃「1=3在区间口,/］内有唯一实数解，构建名卜卜竽，利用导

数求g(x)的单调性，数形结合分析运算.

【详解】(1)当。=0时，则〃x)=lnx-x,可得=

故/(1)=-"(1)=0,

即切点坐标为(1,T),切线斜率左=0,

故函数y=〃x)在点(1,/(1))处的切线方程为夕+1=0.

(2)由题意可知：函数定义域为(0,+e),且仆)，(0+1)+6=伽一1(1),

注意到。€(0,1］,令/(x)=0,解得x=Lwl或x=l,

①当!>1,即0<“<1时，〃x)与/'(x)在(0,+8)上的变化情况如下

日

X(0