上海市曹杨第二中学附属学校2022-2023学年九年级上学期数学期中考试试卷

2022学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷

时间：100分钟满分：150分

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.若两个相似三角形的对应中线比是1：4,则它们的周长比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】B

【解析】

【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可.

【详解】解：•.•两个相似三角形对应中线的比为1:4,

...两个相似三角形的相似比为1:4,

.♦•它们的周长比是1:4,

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比=相似比是解本题的关键.

2.把二次函数），=-/的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函

数的关系式为（）

A.y=-（x+l）2+3B.y=-（x+l）2-3

C.y=-（x-l）2-3D.y=-（X-1）2+3

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论.

【详解】解：抛物线y=-d向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，

则平移后抛物线解析式为：y=-*+1产+3.

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此题的关

键.

3.已知在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,那么AB的长等于（）

33

A.3tanaB.3cotaC.—D.—

cosasincr

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦函数定义即可作答.

【详解】；在Rt/XABC中，ZC=90°,NA=e,

cosZA=cosa=—

AB

AC

AB=---

cosa

AC=3,

3

AB=——

cosa

故选：c.

【点睛】本题主要考查了余弦函数的定义，掌握余弦函数的定义是解答本题的关键.

4.已知二次函数^=改2+法+。的图像如图所示，那么“、/,、c的符号为（）

A.a>0,h>Q,c>0B.a<0,b<0,c>0

C.a<0,b>0,c>0D,a<0,b<0,c<0

【答案】B

【解析】

【分析】根据开口方向可判断a,根据与y轴的交点可判断c,根据对称轴可判断b.

【详解】•••抛物线开口向下，

•..抛物线与y轴的正半轴相交，

c>0,

.\b<0,

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，其中。符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴

的左侧时，。与〃同号；当对称轴在y轴的右侧时，。与〃异号；c的符号由抛物线与y轴的交点决定.

5.已知△4BC中，D,E分别是边8C,AC上的点，下列各式中，不能判断OE〃A8的是（）

AEBDAEBDcAC_ECDECE

A.-----=------B.--------------D.------------

ECDCACBC~BC~~DCABAC

【答案】D

【解析】

【分析】若使线段DE〃AB,则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定。E〃AB.

【详解】解：如图，若使线段OE〃AB,则其对应边必成比例，

AEBDA.pBD

即—=——，故选项4、B可判定QE〃AB；

EC~DCACBC

ECCDACEC,,,

---=----,即an----=----,故选项C可判定Z）E〃4B；

ACBCBCCD

而由——DE=上C一E不能判断。故。选项答案错误.

ABAC

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键.

6.如图，四边形ABCD的对角线AC与相交于点。，Q4=2,OB=3,0C=6，OD=4,那么

I

A./OAD=/OBCB.—=-

CD2

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可.

【详解】•••QA=2,OB=3,0C=6,8=4,

.OAOP_2

"~OB~~OC~3'

,：ZAOD=ZBOC,

.".△OAD^AOBC,

AZOAD=ZOBC,=

60c”

故A正确，D错误；

VOA=2,OB=3,0C=6,OD=4,

.OAOB1

"OD~OC~2,

,/ZAOB=ZDOC,

.,.△OAB^AODC,

.AB_1C^OB_]

CD2Cbj30c2

故B正确，C正确；

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中己有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果线段a=2,c=8,且力是。和。的比例中项，则人=.

【答案】4

【解析】

【分析】根据比例中项的概念，b°=ac，则可求得线段b的值.

【详解】解：根据题意得：b2=ac=2x8=16"

叩：线段b=4（负值舍去），

故答案为：4.

【点睛】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是另两条线段的乘积，从而求解.

8.计算：3a-4（a+0）=.

【笞案J—a-4b

【解析】

【分析】根据平面向量的加法法则计算即可.

【详解1解：3a—4（a+Z?）—3a—4a—4h——a—4b,

故答案为：—a—4b-

【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减

适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则.

9.图纸上某零件长3（）mm,比例尺为1：200,则此零件的实际长度是m.

【答案】6

【解析】

【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这个零件的实际长.

【详解】解：设这个零件的实际长是xmm,

则：1:200=30:%,

解得x=6000,

6000mm=6m,

故这个零件实际的长是6m,

故答案为：6.

【点睛】考查了比例尺的概念，注意单位的换算是解题关键.

10.线段的长度是8,点P为线段上的一点，—,则线段转的长是.

APAB

【答案】45/5-4

【解析】

【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可.

【详解】解：点P为线段A8上的一点，丝="，

APAB

，点P是线段AB的黄金分割点，且

AP=^^A8=^^x8=4«-4,

22

故答案为：4^5—4•

【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值.

11.如图，AD!/BE!/CF,AB=5cm,AC=8cm,DE=7cm,则印=cm.

【答案】y

【解析】

ADDE

【分析】由于AD〃BE〃CF,即可得——=——，进而再由题干中的条件即可得出EF的长.

BCEF

【详解】解：；AD〃BE〃CF,

.ABDE

・・__——____，

BCEF

又AB=5cm,AC=8cm,DE=7cm,

EF=—cm.

5

……21

故答案为M.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所

截，截得的对应线段的长度成比例.

12.如图，在平面直角坐标系内有一点P（5,12）,那么OP与X轴正半轴的夹角a的余弦值为.

【解析】

【详解】如图，过点P作PA_Lx轴于点A,

VP(5,12),

/.0A=5,PA=12,

由勾股定理得0P=Joi+左=752+122=13,

OA5

cosa=——=—

13

【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，先构建直角三角形，确定边长即可得到所求的三角函数值.

13.如图，已知一45C中，DE//BC,且。E经过ABC的重心点G,BD=a，BC=b.则试用向量

a、h表示向量BE=

33

【解析】

【分析】连接8E,利用三角形重心的性质，求出。E，再利用三角形法则求解即可.

【详解】连接8E,如图,

DE〃BC,且DE经过.ABC的重心点G,

ADAEDE2

ABACBC3

BC=b，

22

DE=-BC=-b,

33

BD=a，

2

BE=BD+DE=a-\—b,

3

2

故答案为：aH—b.

3

【点睛】本题考查三角形的重心，平面向量，作图-复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握三角形重心

的性质，属于中考常考题型.

14.己知抛物线,=%2-4%+（?经过点4（-1,凶）和3（1,%），比较,与力的大小：X%（选

择“〉”或"”或“=”填入空格）.

【答案】〉

【解析】

【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得%与%的值，然后比较它们的大小即

可.

【详解】•.•抛物线y=x2-4x+c经过点A（-l,x）和3（1,%），

X=5+c,%=-3+c,

：X-％=8>0,

；•M>为，

故答案为：〉.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接代入点的坐标求出,与为的值，是快速解答本

题的关键.

15.在某一时刻，测得一根高为1.2米的竹竿影长为2米，同时同地测得一栋楼的影长为30米，那么这栋楼

的高度为米.

【答案】18

【解析】

【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解.

12尤

【详解】解：设楼的高度是xm,由题意得：—,

230

解得：x=18.

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知NAQB=9。，NA=60，点A的坐标为（一百,1）,则点B

【答案】（6,3）

【解析】

【分析】如图，过A作ACLOD于C,过B作BD_LDO与D,由于点A的坐标为（—6,1）,利用勾股定

理可以求出A0=2,然后在Rt^AOB中由于NBAO=60。，利用三角函数即可求出B0,然后即可求出B的

坐标.

【详解】解：如图，过A作ACLOD于C,过B作BDLDO与D,

•••点A的坐标为（一6,1）,

；.A0=2,

VZAOB=90°,ZBAO=60%

OB

/.tanZBAO=-----,

OA

；・B0=2百，

•一，

OA2

Z.ZAOC=30°,

ZBOD=60°,

...点B的坐标为（有，3）,

故答案：（G，3）.

【点睛】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是适当作出辅助线，构造直角三角形.

17.如图，已知E是矩形ABCO的边上的点，AE£D=1:3,CE与B4的延长线交于尸点.如果

S&AEF=1，那么S矩形"CO----------------"

【答案】24

【解析】

【分析】在矩形458中，有，AD//BC,AB//CD,A£>=BC,根据AE:£Z)=1:3,AE+ED=AD，

AE1AEAE1

可得而=W'即而=拓=Z’根据三角形的面积比等于相似比的平方即可求出SVBFC=16,SV&CE=9'

问题随之得解.

【详解】在矩形ABCD中，有，AD//BC,AB//CD,AD=BC,

VAE:ED^l:3,AE+ED=AD<

.AE_I即空一

••一fI、"一一,

AD4ADBC4

AD//BC,

:.一AFES_BFC,

AB//CD,

£AFEs,DCE,

・之=偿）=出4

,*'S&AEF-］，

S'BFC=16,S70cE=9,

S矩形ABCO=SBFC+SDCE-S“EF=16+9-1=24,

故答案为：24

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握三角形的面积比等于相似比

的平方，是解答本题的关键.

4

18.如图，梯形A8CD中，AO//8C,NB=90,tanC=§,AB=BC,点E在边CO上，把，8CE绕

点B逆时针旋转90°,点E的对应点是点F,点C的对应点是点M,如果所//BC,那么DE：CE的值

是.

3

【答案】-

4

【解析】

【分析】过点D作DGJ_BC于点G,过点E作EHJ_BC于点H,由旋转的性质可得BF=BE,

ZEBF=90°,可得NBEF=45o=NEBC=NBEH,设EH=4a,HC=3a,可求BC=7a=AB=DG,由平行线分线

段成比例可求DE：CE的值.

【详解】解：如图，过点D作DGJ_BC于点G,过点E作EH_LBC于点H,

；.BF=BE,/EBF=90°

.".ZBEF=45°,

VEF/7BC

.\ZBEF=ZEBC=45O

VEHIBC

・・・NEBC=NBEH=45。，

・・・BH=EH,

4EH

・tanC=-=-----,

3HC

・••设EH=4a,HC=3a,

ABH=4a,

:.BC=BH+HC=7a=AB,

VAB1BC,DG±BC,EH±BC

・・・AB〃DG〃EH,且AD〃BC

J四边形ABGD是平行四边形

・・・AB=DG=7a,

■:EHZ/DG

.ECEH4

/.-----=------=——,

CDDG7

.DE3

••一，

CE4

•3

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性

质进行推理是本题的关键.

三、解答题（本大题共7大题，满分78分）

]9计算.tan45°cos?30。

3tan300-2sin45°cot300'

【答案】空+应

4

【解析】

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

tan45°cos230°

【详解】解:

3tan30O-2sin45°cot30°

________t________\/

3x---2x

32

16

=百+四一走，

4

唯+立

4

【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解题的关键.

20.已知二次函数y=以2+bx+c("、b、c为常数，且arO)经过A、B、C、。四个点，其中横坐

标x与纵坐标y的对应值如下表：

ABcD

X-i013

y-i353

(1)求二次函数解折式；

(2)求出此二次函数图象对称轴及△ABO的面积.

【答案】(1)y=-/+3x+3

3,

(2)对称轴X=—,SABO=6

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)将解析式y=—f+3x+3化为顶点式为：丫=一卜一目+日，即二次函数的对称轴为：x=|，画

出函数图象，结合B(0,3),0(3,3),可得30〃x轴，即有80=无一/=3,再根据

+即可求解.

【小问1详解】

根据表格数据，结合二次函数＞=以2+汝+。(。、鼠c为常数，且〃工0)经过A、B、C、。四个

点，

a-b+c=-l

可得：＜a+b+c=5,

c=3

a=-1

解得：＜b=3,

c=3

即二次函数的解析式为：＞=一/+3%+3；

【小问2详解】

将解析式y=-f+3x+3化为顶点式为：丫=-卜-|)+日，

3

即二次函数的对称轴为：x=-,

2

V5(0,3),0(3,3),

・•・5£)〃x轴，

:.BD=X。一%打=3,

又A(—1,—1),

•••SABO=；X8OX(帆|+|%|)=gx3x(3+l)=6.

【点睛】本题主要考查了采用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象与性质等知识，掌握待定

系数法求解二次函数解析式是解答本题的关键.

21.如图，DCPEFPGHPAB,AB=12,CD=6,DE:EG:GA=3:4:5.求痔和GH的长.

【答案】E尸=7.5,GH=9.5.

【解析】

【分析】过C作CQ〃AD,交GH于N,交EF于M,交AB于Q,则可判断四边形AQCD为平行四边形，

所以AQ=CD=6,同理可得EM=EM=CD=6,则BQ=AB-AQ=6,再利用平行线分线段成比例定理得到DE：

EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5,然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相

交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：12,NH：BQ=CH：

CB=7：12,则可计算出MF和NH,从而得到GH和EF的长

【详解】解：过。作CQPAD,交G”于点N,交EF于点、M,交AB于。，如图,

•.­CDAB,

/.四边形AQCD为平行四边形.

AQ=CD=6,

同理可得GN==CD=6.

BQ=AB-AQ=6.

•；DCPEFPGHPAB,

：.DE:EG:GA=CF:HF:HB=3:4:5.

,/MFPNHPBQ,

：.MF:BQ=CF:CB=3:[3+4+5）,NH:BQ=CH:CB=（3+4）:（3+4+5）.

37

A/F='x6=1.5,N〃=—x6=3.5.

1212

/.EF=EM+MF=6+1.5=75，HG=GN+NH=6+35=95.

故答案为所=7.5,GH=95.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行于

三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三

边对应成比例.

22.如图1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯A8的坡度为1：2.4,

AB的长度是13米，MV是二楼楼顶，MN//PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端8点正上方的一点,

BCLMN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42。，求二楼的层高5c（精确到0.1米）.

(参考数据：sin42°~0.67,cos42°M.74,

（答案］二楼的层高BC约为5.8米

【解析】

【详解】试题分析：首先延长CB交PQ于点D,根据坡比求出BD和AD的长度，根据/CAB的正切值求

出CD的长度，然后根据BC=CD-BD进行计算.

试题解析：延长CB交PQ于点D,VBD：AD=1：2.4AB=13米；.BD=5米AD=12米

VZCAD=42°AD=12米.•.CD=12xtan42°=12xO.9=10.8米

，BC=CD-BD=10.8-5=5.8（米）

考点：三角函数的应用.

23.在ABC中，ABAC=90°,/石4/=9（）°,ABAF=ACAE.

(1)求证：AAGCS_DGB；

(2)若点尸为CG的中点，AB=3AC=4,tanZDBG=-,求。尸的长.

92

【答案】(I)见详解(2)述

5

【解析】

【分析】(1)利用两边的比值相等并且它们的夹角相等的两个三角形相似即可先证明：YEAB3FAC,

由此得到/DBG=ZACF,进而可证明VAGC3DGB；

(2)由(1)可证明：NAGCKDGB,所以NC4G=NGO8=90°,所以是直角三角形，并且

tanZ£)BG=tanZACG=-,由此DG可求，再根据已知条件求出GR的长即可得到。下的长.

2

【小问1详解】

■.■ZBAC=90°,NE4尸=90°,

•••ZEAB+Z.GAF=ZCAF+GAF=90°,

ZEAB=ZCAF,

■■■ABAF=ACAE,

：.-A-B=-A-C-,

AEAF

..NEAB^JFAC

■.ZDBG^ZACF,

ZDGB=ZAGC,

:,VAGC尔DGB；

【小问2详解】

•••在(1)中已证明VAGCsVDGB,

•••ZGDB=ZCAG=90°,DGB是直角三角形，

vtan/DBG——,

2

tanZACG=—,

2

vAC=4,

AG=2,

：・CG=\lAC2+AG2=2也,

・・•点厂为CG的中点,

：.GF=-GC=y/5,

2

v/W=3,

・•.BG=AB—AG=1,

vtanZDBG=—,

2

・•・2DG=BD,

■BG=ylDG2+BD2>

•••DG=叵,

5

+G、=A凤竿.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、解直角三角形的知识，题目的综合性很

强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.

24.如图，己知抛物线y=1+笈+c经过点B(-4,0)与点C(8,0),且交V轴于点A.

(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

(2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移用个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为尸，连

接直线5尸将A3C分割成面积相等的两个三角形，求加的值.

【答案】(1)y=-x2-x-8,(2,-9)

4

(2)m=4

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出顶点坐标；

(2)利用三角形中线平分面积进而得出PB过AC的中点，进而得出解析式，求出P点坐标即可得出

答案.

【小问1详解】

解：将点8(-4,0)与点C(8,0),代入解析式得:

0=-X(-4)2-4Z?+C

4

1,

0=-X82+8/?+C

4

h=-l

解得：〈

c=—8,

••.该抛物线的表达式为：y=-x2-x-S,

4

111

y=-x27-x-8=-(x72-4x)-8=-(x-2)?2-9

444

・•・顶点坐标为：(2,-9);

【小问2详解】

解：丁二：工2一工一8交y轴于点A,

4

A(0,-8),

1

根据题意得出：平移后解析式为：y=：(x—2—m)92—5,

4

直线叱将分割成面积相等的两个三角形，

.・•设3P与AC交于点M,M为AC中点，

A(0-8),C(8,0),

/.AC的中点M坐标为：(4,-4),

设BM的解析式为：y^ax+h,

4a+A=-4

-4a+〃=0'

解得：

h=—2

的解析式为：y=-gx-2,

当直线眄过点P(2+m,—5),

-5=-^(2+m)-2

解得：m=4.

【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数图

象的平移等知识，利用三角形中线平分三角形的面积求解是解题关键.

25.如图，RtA4BC中，ZACB=90°,4C=6,BC=8.点。为斜边45的中点，ED±AB，交边BC

于点E.点P为射线AC上的动点,点。为边8C上的动点，且运动过程中始终保持PDA.QD.

（2）设AP=x,BQ=y.求＞关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

（3）联结产。，交线段于点尸，当△PZ方为等腰三角形时，求线段AP的长.

253(“，25、

(2)V-------x0<x<—

【答案】（1）见详解44(3)

、251、5

(3)—或一

63

【解析】

【分析】(1)证NA=NDEQ,NEDQ=ZADP,即可得出VADPKEDQ；

15osAPAD

(2)证VEL坦sVACS,求出EB=—,由(1)得：NADPEEDQ,得==解

44EQED

得：EQ=>x,进而得出结论；

4

(3)证tanNQPO=^=^=®=tanB,得NQPD=NB,再证VPDPsVBOQ,得△P£>/为

DPADBD

等腰三角形时，△BOQ也为等腰三角形，再分三种情况：①DQ=BQ,②BQ=BD,③DQ=DB,分

别求解即可.

【小问1详解】

证明：vZACB=90°,

••.ZA+ZB=90°，

■ED±