2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定市部分高中高三(上)开学数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合已={*|设|<3},B={x|2-x>0},则4n8=()

A.(-3,2)B.(2,3)C.(0,3)D.(—8,3)

2.复数Z的虚部为1,且zi=w,则z=()

A.2+iB.—2+iC.1+iD.-1+i

3.若tan。==则COS2J=()

_32

A.B-|c-D.

-5J53

4.函数/(X)=%4一式的图象在点(_1,/(一1))处的切线方程为()

A.y=%4-3氏y=7x+9C.y=—%+1D.y=-7x—5

5.己知抛物线C：V=2px(p>0)的顶点为0,经过点A(xo,2),且F为抛物线C的焦点，若

\AF\=3\OF\,则p=()

A.jB.1C.「D.2

6.已知a>0,且a力1,函数〃>)=[吃在R上单调，则0的取值范围是

^oga{x-1)-l,x>Z

()

A.(l,+8)B.[1,|2]C.冷21)D.[1,1)

7.一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为心，将锥顶倒置，

如图②所示，水面高度为%，已知该封闭的圆锥形容器的高为九，且心+电=九，忽略容器

的厚度，则,=()

①②

A.yTlB.V2C.<3D.V3

8.己知正项等差数列｛aj的前n项和为无,若/耳二-/瓦=2,则为=()

A.1B.2C.3D.4

二、多选题(本大题共4小题，共20・0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.某公司统计了2023年1月至6月的月销售额(单位：万元)，并与2022年比较，得到同比增

长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是()

注：同比增长率=(今年月销售额一去年同期月销售额)+去年同期月销售额x100%.

A.2023年1月至6月的月销售额的极差为8

B.2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为8

C.2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5

D.2022年5月的月销售额为10万元

10.已知函数/(x)的定义域为R,/(x+y)+2xy=/(x)+/(y),/(l)=2,则()

A./(0)=0B./(-2)=-10

C.y=/(x)+/是奇函数D.y=/(x)-/是偶函数

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在侬政全

书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1),假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水

筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为10的圆。，设筒车按逆时针方向每旋转

一周用时120秒，以筒车的中心。为原点，线段。4。8所在的直线分别为x,y轴建立如图所

示的直角坐标系(AB为圆0上的点)，分别用/V),g(t)表示t秒后A,B两点的纵坐标，则下

列叙述正确的是()

A.将函数/(t)的图象向左平移]个单位长度可以得到函数g(t)的图象

B.函数y=f(t)-g(t)的最大值为50

C.函数y=f(t)+g(t)在(60,90)上单调递减

D.当tG[125,145]时，不等式/+g(t)>5<6

12.如图，在正方体ABC。-&B1GD1中，4。=4,点E,F

分别为4Bi，8(7的中点，点「满足初=；1近+〃丽,/16

[0,1],G[0,1],则下列说法正确的是()

A.若;I+〃=1,则四面体PEFDi的体积为定值

B.若;I=：，〃=；，则GP_L平面£72

C.平面EFDi截正方体ABC。所得的截面的周长

为5+4/~2+3K

D.若;I=1,〃=0,则四面体PEFDi外接球的表面积为警

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知向量五=(1,一1)花=(0,2)，若位一mW)，石,则7H=.

14.位于数轴上的粒子a每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长

度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为|,若前一次向右移动一个单位长度，则后一次

向右移动一个单位长度的概率为若粒子a第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子

a第二次向左移动的概率为.

15.已知实数a,b满足b-a=l,a<0<b,则上已一J的最大值为.

16.已知尸1，尸2分别为双曲线E：冒—，=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过原点。的直线［与

E交于4,B两点(点4在第一象限)，延长外交E于点C,若|叫|=|"|,^BF2=p则双

曲线E的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知｛an｝为正项等比数列，bn=1即一1?为奇?'记又为数列｛b｝的前n项和，与=3,S3=7.

1ali+2,n为偶数，

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)求S2n.

18.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=

⑴求△ABC外接圆的面积；

(2)记△力BC内切圆的半径为r,若B=^,b=2/lr,求△ABC的面积.

19.(本小题12.0分)

“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红

球、2个白球的4袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随

机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与

获得的积分对应如下表.

所取球的情况三球同色三球均不同色其他情况

所获得的积分100600

(1)设一次摸奖中所获得的积分为X,求X的分布列和期望；

(2)记甲在这次游戏获得0枳分为事件M,甲在8袋中摸到黑球为事件N,判断事件M,N是否

相互独立，并说明理由.

20.(本小题12.0分)

如图，在正四棱台力BCD-AiBiQDi中，AB=2A1B1=4.

(1)证明：ACIBDr.

(2)若正四棱台ABC。-4/165的高为3,过的平面a与CCi平行，求平面a与平面BC^Bi

夹角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：胃+，=l(a>b>0)的右顶点为M(2,0),点P在圆D：(%-3a)24-y2=2d2±

运动，且|MP|的最大值为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点M的直线I与C交于4,8两点，且直线MA和MB的斜率之积为1,求直线/被圆。截

得的弦长.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=笺，(0,71],尸(x)是f(x)的导函数.

(1)证明：/(X)存在唯一零点；

(2)若关于久的不等式/'(x)+《+a<0有解，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4=(-3,3),8=(-8,2),则AnB=(-3,2).

故选：A.

分别解不等式，确定集合4B,再找其公共部分即可.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：设2=。+(。6/?),

则z=a-3

zi=z，

则(a+i)i=a-i,化简可得一1+ai=a-i,

所以a=-l,则z=-l+i.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轨复数的定义，即可求解.

本题考查复数的有关概念，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：tan。=

cos20—sin20_l-tan20_1-5

cos29—cos20—sin26—2

cos20+sin20l+tan201+53

故选：B.

根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可看求解.

本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：「f(X)=X’—炉，...f，(x)=4炉—3—,

•••/(-1)=2,f(-1)=-7,

•••所求的切线方程为y-2=-7(%+1),即y=-7x-5.

故选：D.

求出原函数的导函数，得到函数在％=-1处的导数值，再求出然后利用直线方程的点斜

式得答案.

本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由|4F|=3|。/

可得出+州咨，

所以X。p，

则4=2p2,

解得p=V-2.

故选：C.

根据题意可得々)=p,进而得到4=2p2,由此得解.

本题考查抛物线，考查直观想象的核心素养，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：显然y=/(x)在R上单调递增不符合题意，

故y=/(x)在R上单调递减，

^a-2>logal-r解得*…

故选：D.

由已知结合分段函数的性质及一次函数，对数函数单调性即可求解.

本题考查函数的单调性，考查数学抽象的核心素养，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由已知可得生+电=无，

又图①和②内所装水的体积相等，

・••图②中水的体积是整个圆锥体积的一半，

・•・根据相似可知冷尸=1,即t=V2.

故选:B.

由已知可得力1+坛=九，图②中水的体积是整个圆锥体积的一半，结合相似比得答案.

本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：设等差数列｛5｝的公差为d,

2

则％=^n+(ax-今n,

又/^二一隔=2,则｛/X｝是公差为2的等差数列，

所以设JSn=2n+m,即S；,=4n2+4nm+m2,

所以m=0,则％=4?12,

所以=S]=4.

故选：D.

利用等差数列的前n项和公式能求出首项.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：对于4,2023年1月至6月的月销售额的极差为8,故4正确；

对于B,因为6X60%=3.6,所以2023年1月至6月的月销售额的第60百分位数为11,故8错误;

对于C,2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5,故C正确；

对于0,设2022年5月的月销售额为x万元，则二二x100%=10%,解得x=10,故。正确.

X

故选:ACD.

利用条形统计图和折线图进行判断求解.

本题考查统计、数据分析等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确；

令x=y=1,可得f(2)=2,令％=-2,y=2,可得f(0)-8=/(2)+/(-2),则f(-2)=-10,

故B正确；

由f(x+y)+2xy=/(x)+f(y)>可得fQ+y)+(%+y)2=f(x)+x2+f(y)+y2,

令g(x)=+x2.贝+y)=g(x)+g(y)，

令x=y=0,可得g(0)=0,令、=-x,则g(0)=g(x)+g(—x)=0,

所以g(x)是奇函数，即旷=/(为+/是奇函数，故C正确；

因为/(2)-222)-(—2T，所以y=不是偶函数，故。错误.

故选:ABC.

根据抽象函数的性质，利用赋值法求解即可.

本题考查抽象函数，考查逻辑推理的核心素养.

11.【答案】BD

【解析】解：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，

所以啬=120,且3>0,解得3=^(rad/s),

所以/(t)=10si端,g(t)=lOsing+给=lOcos^,

对于A,将〃t)的图象向左平移5个单位长度后，所得图象对应的函数为y=lOsin(器+卷)*g(t),

即4错误；

对于8,y=/«)•g(t)=50sin恭其最大值为50,即8正确；

对于C,y=f(t)+g(t)=lOCsin喘+》,

当x6(60,90)时,强+襄笆，%,

因为函数y=sin%在室,条上不单调，

所以y=/(£)+g(t)在(60,90)上不是单调函数，即c错误;

对于O,^/(t)+g(t)>5<6,则sin喘+92号，

所以卷+3eg+2卜兀,与+2knJ(kGZ),

解得tG[5+120/c,25+120fc](fc€Z),

当k=l时，te[125,145],即。正确.

故选：BD.

根据三角函数模型，可得;■⑴和g(t)的解析式，由函数图象的平移法则，可判断4利用二倍角公

式化简函数y=/(1)•g(t),可判断B；利用辅助角公式化简y=/(t)+g(t),再根据正弦函数的

图象与性质，可判断C；结合正弦函数的性质，解不等式，可判断D.

本题主要考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数模型，正弦函数的图象与性质是解题的

关键，考查数学建模的核心素养，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：对于4因为方=4而+〃再,/1+〃=1，

所以P,D,4三点共线，所以点P在上，因为&D与平面EFDi不平行，所以四面体PEED1的

体积不为定值，A错误.

对于B,如图1,以4为原点，分别以4B,AD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),力式0,0,4),D(0,4,0),G(4,4,4),。式0,4,4),F(2,0,4),F(4,2,0),

AP=^AD+^AA^=(0,2,1),C^P=C^A+AP=(一4,-2,—3),庠=(2,-4,0),EF=(2,2,-4).

则于•庠=0，C^P-~EF=0,

所以CJ_L平面EFDi，故B正确.

对于C,如图2,取4B的中点G,连接DG,易得D1E//DG,取CD的中点H,连接BH,易得B”〃DG,

再取CH的中点M,连接FM,DrM,贝所以FM〃/E,贝是平面£72与正方体底面

ABCD的交线，

延长MF,与力B的延长线交于N,连接EN,交BBi于P,则BB】=3BP,且五边形£\EPFM即平面EFC1

交正方体4BCD—4/GDi的截面，

可得ED】=2CD1M=5,MF=口曰=学,PF=亚＞

所以平面EFD］截正方体ABC。-&B1GD1所得的截面的周长为与+耳+3门，故C错误.

图2

对于。，若；1=1,〃=0,则点P即点D.易知1。道，则四面体PEFD］的外接球与四棱锥尸一

EDiOG的外接球相同，在AGFO中，GF=2，％GD=2，石,FZ）=2，石，则AG尸。外接圆的半径

为遥x：=¥，所以四面体PEFCi外接球的半径R=I（巫）2+22=①即四面体PEFCi

~lo~733

外接球的表面积为警，。正确.

y

故选：BD.

对于4,说明P,D,4三点共线，推出&D与平面EFD］不平行，推出四面体PEFQ的体积不为定

值,判断A.

对于8,以4为原点，分别以48,40,44］所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，通过可・瓦万=

0,C^P-EF=Q,说明GPL平面EFCi，判断B.

对于C,取AB的中点G,连接DG,取CD的中点H,连接BH,再取C”的中点M,连接FM,DrM,

延长MF,与4B的延长线交于N,连接EN,交于P,结合已知条件求解平面EF/截正方体

力BCD-4勺口劣所得的截面的周长，判断C.

对于D,通过求解四面体PEFDi外接球的表面积，判断D.

本题考查正方体以及点、线、面的位置关系，考查直观想象和数学建模的核心素养.

13.【答案】一

【解析】解：因为五=（1,一1）1=（0,2），

所以记,b=1x0-1x2=-2,b=4，

因为0-mK)1K>

所以(五—mb')-=a-—m^>2=0>

则—2—4m-0.解得m=-

故答案为：-

由条件可求得为小和丁，再由0一血刃！石可得Q—4=o,计算即可求得zn的值.

本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

14.【答案吗

【解析】解：根据题意，设事件4="粒子4第一次向右移动"，事件B="粒子4第二次向左移

动”，

则P(4)=芯1—=1=2

若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为5即P(臼4)=%则

P(B⑶号2,

若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为|,即P(而)=|,则

P(B|A)=2，

故P(B)=P(4)P(B|A)+P(1)P(B|1)=|x|+|x|=^.

故答案为：I

根据题意，设事件4="粒子4第一次向右移动"，事件B="粒子4第二次向左移动”,分析P(A)、

P。)和P(BM)、P(B|1)的值，由全概率公式计算可得答案.

本题考查全概率公式，涉及事件的性质，属于基础题.

15.【答案】-3

【解析】解：由匕一。=1,a<0<b,可知bw(0,l),aG(-1,0),

则色tl—i=--=-+^—1<—2—1=—3,当且仅当a=—b时，取得最大值.

ababab

故答案为：-3.

由已知先求出a,b的范围，然后结合基本不等式即可求解.

本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题.

16.【答案】O

【解析】解：结合双曲线的对称性可知，小伤=9|4川=|4C|,所以△力C0为等边三角形，

则=|CFi|,则4C1居&，由双曲线的定义，得|4居|一|加引=2a,

所以=4a,|4Fz|=2a,则用号='=tan'=

故答案为：V-3.

由双曲线的对称性可得△4C0为等边三角形，可得|4&|=|C0|,贝IJ4CJ.片尸2,由双曲线的定义，

可得=4a,\AF2\=2a,从而可得离心率.

本题考查双曲线的离心率，考查直观想象的核心素养.

17.【答案】解:(1)设等比数列｛an｝的公比为q(q>0),

...为奇数_

•b—〈bq—31S"3—7,

nlan+2,n为偶数，

Z?3=Q3—1=3,

-a3=4,S3=瓦+与+岳=-1+。2+2+%-1=+。2+。3=7,

44,?

^2+-+4=7,解得q=2或q=—§(不合题意，舍去)，

・•.数列｛斯｝的通项公式是Qn=4-2时3=2n-1；

_72n

n2n

(2)S2n=瓦+与+…+b2n=(ax+a2+…+a2n)+=+n=2+n-1-

【解析】(1)设等比数列｛%J的公比为q(q>0),结合题意可得=4,S3=瓦+反+坛=%-1+

。2+2+。3—1=。1+。2+。3=7,求出q,即可得出答案；

(2)由(1)得加=2n~1)则s2n=瓦+/?2+…+b2n=(%+。2+…+a2n)+n，即可得出答案.

本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

18.【答案】解：(1)设A4BC外接圆的半径为R,

因为bcosC+ccosB=2y/~3sinA<

所以2R(sinBcosC+sinCcosB)=2V~^sinA，

所以2Rsin(B+C)=2yTlsinA，

2RsinA=2，3si7iA，又因为sinA丰0,

解得R=「，

所以△4BC外接圆的面积为37r.

(2)因为=2/?,所以b=3,故「=—.

'/stnB2

由余弦定理可得M+c2-ac=h2=9,则(a4-c)2=9+3ac.

又S>ABC-\ctcsinB=g(Q+b+c).r,QC=a+c+3,

则^_^=a+c+3,所以&+。-3=3,即a+c=6.

所以△ABC的面积SMBC=g(a+b+c)・r=gx9x3.

【解析】(1)根据边角互化得出三角形外接圆半径，进而求出AaBC外接圆的面积；(2)再根据正

余弦定理即可求出△4BC的面积.

本题考查正余弦定理的综合知识，属于中档题.

19.【答案】解：(1)X的可能取值有100,60,0,

P(X=100)=^2xj1=1i,

P(X=60)=^x|=|,

2

p(x=0)=1-P(X=100)-P(X=60)=j,

所以X的分布列为：

X100600

122

p

993

所以E(X)

(2)由⑴可知P(M)号,

XP(/V)=11,P(MJV)=2^x1i=1l

则P(MN)#P(M)P(N),所以事件M,N不相互独立.

【解析】(1)分析得X的可能取值为100,60,0,进而求解即可;

(2)根据相互独立事件的定义验证即可.

本题主要考查离散型随机变量及其分布列，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：连接BD,BR,设正四棱台的上、下底面

的中心分别为01，0,

则。「。分别为Bi%,BD的中点，连接。01.

x

•••ABCD-AiBiGDi是正四棱台，••・01。1_平面48—CD,又ACu平面ABCD,••.0］。1AC.

"ABCD^JjE^^,.-.AC1BD,

又BDC00]=0,AC1平面CBB/i，

vBDru平面。88也，AC1BDr.

(2)解：设BC,4B的中点分别为F,G,连接OF,OG,易知OG,OF,。。1两两垂直，

则以。为坐标原点，分别以OG,OF,0。1所在直线为，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则。(0,0,0),5(2,2,0),。1(-1,一1,3),C(一2,2,0),^(-1,1,3)，

•••西=(-3,—3,3),团=(-4,0,0),=(一1,-1,3),鬲=(1,-1,3).

设平面BCQBi的法向量为元=(Xi，%*1)，

则4/=0,取Z]=l,则元=(0,3,1).

设平面。的法向量为沆=。2，、2,22)，

则隹匹=-3X2-3y2+3Z2=0,取,2="则记=Q-T).

设平面a与平面BCG4的夹角为。，

则COS9=IcosG，沆>|=辐=焉丁g=等'

・•・平面a与平面8CGa夹角的余弦值为富.

【解析】(1)连接BD,BR,设正四棱台的上、下底面的中心分别为01，0,推出4C，平面DBB14，

利用线面垂直的性质定理即可得证；

(2)通过建立适当的空间直角坐标系，分别求出平面a与平面8CC1B1的法向量，利用向量夹角公式

即可求解.

本题主要考查线线垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力,

属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为椭圆C的右顶点为M(2,0),

所以a=2,

而圆D：(x-3a)2+y2=2〃的圆心为D(3a,0),半径r=，2b，

此时|MP|7n以=\MD\+r=2a+>J~2b=6，

解得b=<2.

所以椭圆C的方程为W+《=i；

42

(2)当直线，的斜率不存在时，显然不符合题意,

不妨设A(%i，yi),B(x2,y2),直线AB的方程为、=k%+m,

x2y2_

联立T+T=1,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,

y=kx-\-m

此时4=32k2+16-87n2>o,

4km2m2-4

由韦达定理得%1+%2=-由，*1孙=节干

因为々MA，=1,

所以4•刍:1,

X\—L切一/

即(上2—1)%1%2+(km+2)(%1+%2)+/-4=0,

所以(必_1).+(fcm+2).(-^^2)+m2-4=0,

整理得(m+2k)(m+6k)=0,

若m=-2k,

此时y=kx-2k.=k(x—2),

则直线l过定点M(2,0),不