山东省青岛2中2023-2024学年数学九年级上册期末学业水平测试试题含解析

山东省青岛2中2023-2024学年数学九上期末学业水平测试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.sin600+tan450的值等于（）

A.72B.8+2C.0D.1

2

2.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）

A.支+2-=0B.x2+3=0C.X2+2X-17=0D.X2+X+5=0

3.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA=20cm,OA，=50cm,则这个三角尺的周长与它在墙上

形成的影子的周长的比是（）

A.5：2B.2：5C.4：25D.25：4

k

4.如图，面积为1的矩形ABCD在第二象限，8C与x轴平行，反比例函数y=一一（AxO）经过反。两点，直线

X

所在直线丁二丘+人与1轴、轴交于区尸两点，且反。为线段政的三等分点，贝玲的值为（）

A-2A/2B.2石

C.3V2D.373

5.如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的

两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.下列说法正确的是（）

A.25人中至少有3人的出生月份相同

B.任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上

C.天气预报说明天降雨的概率为10%,则明天一定是晴天

D.任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是:

7.如图，矩形A8CD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、”8分别交于点尸、。、K、M、N,设△EPQ、

4GKM、ABNC的面积依次为5i、52>若Sj+Si=10,则S2的值为（）.

A.6B.8

C.10D.12

8.如图，直线AB、BC、8分别与。。相切于£、尸、G,且AB〃CO,连接03、OC、OE、OG,若

OB=6,OC=S,则梯形BEGC的面积等于（）

C.36D.24

A.2a+5b=10abB.(-ab)2=a2bC.2a64-a3=2a3D.a2»a4=a8

10.一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红

球的概率是（）

1223

A.—B・—C・—D.一

2355

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）,

则所得的扇形ABD的面积为.

12.如图，在A6。与血＞中，——=—,要使A6。与血）相似，还需添加一个条件，这个条件可以是

AEED

（只需填一个条件）

13.如图，若菱形ABCD的边长为2c7〃，Z4=120°,将菱形45。折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点。处,

折痕为EF,则EF=cm,

14.若一三角形的三边长分别为5、12、13,则此三角形的内切圆半径为

15.。的半径是2,弦A8=2,点C为。上的一点（不与点A、8重合），则/ACB的度数为.

16.已知一组数据：12,10,1,15,6,1.则这组数据的中位数是_.

17.分解因式：a2-b2=

18.已知反比例函数y=匸（xwO）的图象经过点（2,3）,若点（-3,〃）在此反比例函数的图象上，则〃=.

X

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别是A（2,2）,B（4,0）,C（4,-4）.

（1）将AABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的丄得到AAIiG，请在图中画出AA181G；

2

（2）求41G的长.

20.（6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（-2,0）,与反比例函数在第一象限内

的图象交于点B（2,n）,连接BO,若S》°8=4.

（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（2）若直线AB与y轴的交点为C,求OCB的面积.

（3）在第一象限内，求当一次函数值大于反比例函数值时的反比例函数值取值范围.

（

21.6分）已知关于x的一元二次方程》2一2%+机一1=0有两个实数根玉，x2.

（1）求加的取值范围：

（2）当=6XR时，求加的值.

22.（8分）解方程

（1）79—49x=0;（2）x2-2x—1=0.

23.（8分）如图，抛物线^=0X2+匕龙+3经过点A（1,0）,B（4,0）与）'轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长

的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且

△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由.

24.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线L：）=gx与直线厶，交点A的横坐标为2,将直线4,沿）‘轴向下平

移4个单位长度，得到直线4,直线4,与y轴交于点3,与直线风交于点。，点。的纵坐标为-2,直线厶；与丁

轴交于点。.

（1）求直线4的解析式；

（2）求的面积

25.（10分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑

龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航

显示车辆应沿北偏东60。方向行驶至B地，再沿北偏西37。方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参

,434

考数据：sin53°~y,cos53°s—,tan530=：y）

60：

26.（10分）如图，已知一次函数y=x-8与反比例函数y=：的图象交于A（-5,-l）、8（1,5）两点.

（1）求一次函数与反比例函数的表达式;

（2）求AAQ8的面积；

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.

【详解】sin60°=且，tan450=L所以sin600+tan45°=无匚.故选B.

22

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

2、C

【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可.

【详解】解：选项A：△=（）,方程有两个相等的实数根；

选项B、△=0-12=-12<0,方程没有实数根；

选项c、△=4-4x1X(-17)=4+68=72>0,方程有两个不相等的实数根；

选项D、△=l-4X5=-19<0,方程没有实数根.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△=b2-4ac;当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),

方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

3、B

【解析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即

可.

.ABOA202

=OA1=50=5

•.•三角尺与影子是相似三角形，

...三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=工=2:5.

AB

故选B

4、C

【分析】延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H,根据矩形面积求出BC。的面积，通过平行可证明

一BCDs...BHF,FBHsFEO,_EBG<^/\EFO,然后利用相似的性质及三等分点可求出BHF、FEO、

—E8G的面积，再求出四边形BGOH的面积，然后通过反比例函数比例系数的几何意义求出厶值，再利用FEO的

面积求出。值即可.

【详解】延长AB交x轴于点G,延长BC交y轴于点H,如图：

SBCD=2S矩形ABC。=5X1=5,

；B、D为线段EF的三等分点，

.BD_1FB2EB1

**BF-2r~FE~3f而一§，

■:DC//FH,

：./BDC=ZBFH,ZBCD=NBHF,

"BCDsaBHF,

•q-?

••2BHF-厶，

VBHUEO,

：.ZFBH=/FEO,ZFHB=/FOE,

FBHs-FEO,

'：BG//FO,

:./EBG=ZEFO,NEGB=ZEOF,

:._EBGsAEFO,

丄

,•0EBG

2

—

,,S四边形BGOH=SFEO_SFBH~SEBC——2——=2,

I•四边形ABCD是矩形，

工=90°,

VABHOF,BC//GO,

：.ZBGO=ZABH=90°,ZBHO=ZABH=90°,

又•••/GOH=90°,

，四边形BGOH是矩形，

根据反比例函数的比例系数的几何意义可知：S矩形BGOH=1一%1，

；.\-k\=2,

:.女=±2

又・・•一左<0,即"0,

:.%=2,

・•・直线EF的解析式为y=2x+〃，

令x=0,得y=b,

b

令y=0,即0=2x+〃，解得x=—,

2

A£[-p0]>/（°力），

；F点在r轴的上方，

b

:.OE=—,OF=h,

2

19\b9

'：sOEF=-OEOF=-,即XJ皿=5，

:'b=3五.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，一次函数与面积的结合，综合性较强，需熟

练掌握各性质定理及做题技巧.

5、C

【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可.

【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性.

6、A

【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；

B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这

个选项不符合题意；

C、天气预报说明天的降水概率为10%,则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；

D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是g,原说法错误，故这个选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生,

机会小也有可能发生.

7、D

【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出△AQEs/kAMGs/kACB,得到

OEAE1BCAB3

MG='AG=2,~MG=~AG=2,再通过证明得到△PQESAKMGS^NCB,利用面积比等于相似比的平方'得到

Si、S2、的关系，进而可得到答案.

【详解】解：•••矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，

AAE>EG=GB=DF=FH=HC,ZAEQ=ZAGM=ZABC=90°,AB〃CD,AD〃EF〃GH〃BC

:.NAQE=NAMG=ZACB,

:.AAQEs△AMGS△ACB,

.QEAE_1BCAB_3

VEG=DF=GB=FHAB〃CD,（已证）

，四边形DEGF,四边形FGBH是平行四边形，

：•DE〃FG〃HB

:.NQPE=ZMKG=ZCNB,

/.△PQEs△KMGS△NCB

19

・・・S1=WS2,$3=^02

VS1+S1=1O,

***Sz=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题的关键.

8、B

【分析】先根据切线长定理得出AE=8RCE=CG,然后利用一Q3C面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最

后利用梯形的面积公式S=1(a+b)/2即可求出梯形的面积.

【详解】连接OF,

•.•直线A3、BC、8分别与。。相切于E、F、G,

；.BE=BF,CF=CG,OF±BC,OE±AB,(9G±DC.

OE=OF

在m_0叫和中，〈八°A。

OB=OB

；.RtOEB=RtOFB(HL),

：.ZEOB=ZBOF.

\OG=OF

在RQOGC和Rt^OFC中，〈八八八〃

OC-oc

RtOGC=RtOFC(HL),

ZGOC=ZFOC.

VAEOB+ZBOF+Z.FOC+ZGOC=180。，

ZBOC=ZBOF+ZFOC=90°.

VOB=6,OC=8,

:.BC=>]OB2+OC2=10•

-OB^OC^-BC-OF,

22

24

OF=—,

5

24

,-.OE=OG=—,

5

...梯形3EGC的面积为

L(EB+GC)>(OE+OG)=丄(E8+GC)・(OE+OG)=L.BC.(OE+OG)=48.

222

故选：B.

【点睛】

本题主要考查切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键.

9^C

【分析】分别对选项的式子进行运算得到：2a+5b不能合并同类项，(-ab)?=a2b2,a2・a4=a6即可求解.

【详解】解：2a+5b不能合并同类项，故A不正确；

(-ab)2=a2b2,故B不正确；

2a6-i-aJ=2a3,正确

a2*a4=:a6>故D不正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查了塞的运算，解题的关键是掌握裏的运算法则.

10、C

【解析】；2个红球、3个白球，一共是5个，

从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是|.

故选C.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、25

【解析】试题解析：由题意D3=CO+BC=10

S^ABD=^BD-AB=^QX5=25

12、NB=NE

【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：ZB=ZE.

【详解】添加条件：ZB=ZE;

..ABBC..

.—=—，NB=NE,

AEED

/.△ABC^AAED,

故答案为：/B=/E（答案不唯一）.

【点睛】

此题考査相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定定理.

13、邪）

【分析】连接AC、BD,根据题意得出E、尸分别为A3、4）的中点，EF是厶厶亜的中位线，得出后尸=丄亜，再

由已知条件根据三角函数求出0B,即可求出EF.

【详解】解：连接AC、BD,如图所示：

•.•四边形48。是菱形，

:.ACLBD,

:将菱形48。折叠，使点4恰好落在菱形对角线的交点。处，折痕为E凡

：.AE=EO,AF=OF,

：.E,尸分别为AS、AD的中点，

是△ABO的中位线，

:.EF=—BD,

2

••,菱形A5C。的边长为2cm,ZA=120°,

AB=2ctn9NA5c=60°,

AOB=—BD,NABO=30°，

2

n

：.OB=AB»COS3Q°=2X—=G，

2

:.EF=；BD=0B=百；

故答案为：6

【点睛】

此题考查菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，三角形中位线的判定及性质，由折叠得到EF是△450的中位线,

由此利用锐角三角函数求出OB的长度达到解决问题的目的.

14、1.

【解析】•.•52+122=132,

由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，

它的内切圆半径r=5+=2,

15、30。或150°；

【分析】证出△ABO是等边三角形得出NAOB=60°.再分两种情况：点C在优弧ACB上，则NBCA=30°;点

C在劣弧上，则NBCA=；(360°-ZAOB)=150°;即可得出结果.

【详解】如图，连接OA,OB.

VAO=BO=2,AB=2,

.'.△ABO是等边三角形，

AZAOB=60".

若点C在优弧上，则/BCA=30°;

若点C在劣弧AB上，则NBCA=；(360°-ZAOB)=150°;

综上所述：NBCA的度数为30°或150°.

故答案为30°或150°.

【点睛】

此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式.熟练掌握垂径定理，证明^OAB是等边三角

形是解决问题的关键.

16、2

【解析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可

【详解】解：将数据从小到大重新排列为：6、1、1、10、12、15,

所以这组数据的中位数为风2=9,

2

故答案为：2.

【点睛】

此题考査了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平

均数）即可

17>（a+b）（a-b）

【解析】分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案.

解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b）.

故答案为（a+b）（a-b）.

18、-2

Z-+1

【分析】将点（1,3）代入y=——即可求出厶+1的值，再根据A+l=xy解答即可.

x

【详解】•.•反比例函数的图象上有一点（1,3）,

k+l=lX3=6,

又点（一3,〃）在反比例函数的图象上，

•*.6=-3Xn,

解得：n=-1.

故答案为：一1.

【点睛】

本题考査了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式.反之，只要满足函

数解析式就一定在函数的图象上.

三、解答题（共66分）

19、（1）作图见解析；（2）回

【解析】（1）直接利用位似图形的性质求解即可；（2）根据题意利用勾股定理解答即可.

【详解】（1）如图所示：△ABC,ZkAzB2cz,都是符合题意的图形；

(2)AC的长为：Vio.

>'A

【点睛】

本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.

Q

20、（1）反比例函数的解析式为〉=一，直线AB的解析式为y=x+2；（2）2;（3）0<J<4.

x

【分析】（1）先根据S4AOB=4可求出点B的坐标，再利用待定系数法即可得；

（2）先根据直线AB的解析式求出点C的坐标，从而可得OC的长，再根据点B的坐标可得OC边上的高，然后根据

三角形的面积公式即可；

（3）结合点B的坐标，利用函数图象法即可得.

【详解】（1）厶（一2,0）,8（2,〃），且点B位于第一象限，

二=2,AOB的OA边上的高为|〃|=〃，

.'.S"OB=gx2〃=4,

解得〃=4,

B（2,4）,

k

设反比例函数的解析式为y=一,

x

k

将点8（2,4）代入得：-=4,解得4=8,

2

Q

则反比例函数的解析式为y=一，

x

设直线AB的解析式为y=ax+〃，

c-,-2a+Z?=0[a-\

将点4一2,。）,8（2,4）代入得：\，，解得，.，

2a+b=4b=2

则直线AB的解析式为y=x+2；

（2）对于y=x+2,

当％=0时，y=2,

即点C的坐标为C（0,2）,

则0C=2,

1.8（2,4）,

.=OCB的OC边上的高为2,

则_OC3的面积为丄x2x2=2；

2

（3）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，

则由函数图象得：此时反比例函数值取值范围为0<y<4.

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合等知识点，熟练掌握待

定系数法是解题关键.

3

21、（1）m<2；（2）-

【分析】（1）由条件可知该方程的判别式大于或等于0,可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；

（2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值.

【详解】解：（1）原方程有两个实数根，

.•.A=（-2）2-4（m-l）>0

整理，得：

4-4m+42（）

解得：m<2

（2）x1+x2=29x1x2=m-\,X；+E=6X]%2

（玉+工2）—2%]%2=6玉

即4=8（m-l）

3

解得：m=2

又•/m<2

3

二机的值为一.

2

【点睛】

本题考査了根据一元二次方程的根与判别式的关系来确定未知系数的取值范围，以及根据根与系数的关系来确定未知

系数的值.

22、（1）X1=0,X2=7;（2）占=1+a,x2=1-V2

【解析】（1）用因式分解法求解即可；

（2）用配方法求解即可.

【详解】（1）V7X2-49X=0,

.\x2—7x=0,

:.x（x-7）=0.

解得Xj=O>必=7

（2）移项，得x2-2x=l,

配方，得（尤-1）2=2,

开平方，得

%—1=±>/2.

解得々=1+近,x,=1—>72

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的

方法是解答本题的关键.

3153151212

23、（1）y=^x2-—x+3；（2）9；（3）存在点M的坐标为（万,手）或（亍,亍）使△CQM为等腰三角形且△BQM

为直角三角形

【分析】（1）根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得“、力的值.

（2）根据PA=PB,要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.

（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况丄8c和。M丄5。，再结合△QBMsZXCBO,根据相似

比例便可求解.

【详解】解：（1）将点A（1,0）,B（4,0）代入抛物线,=如2+法+3中，得：

3

a=—

a+Z?+3=0

解得：\4

16a+4Z?+3=0,15

4

3,15

所以抛物线的解析式为y=—/-一x+3.

（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线工="!.连接BC,交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小,

最小值为OA+OC+BC=l+3+5=9.

QMBM

(3)当QW丄8c时，易证△QBMs/kCBO所以-

C/COB

又因为△CQM为等腰三角形，所以QM=CM•设CM=x,贝！IBM=5-x

,x5-x~,15~,1520”，

所以7=3一所以*=亍.所以QM=CM=T^,BM=5-X=^-,所以BM:CM=4:3.

NMBMBN

过点M作NM丄08于N,则MN//OC,所以7^7=不？==,

OCCBOB

mNM4BN……12…16…八”212

!卩----=—=----,所以MN=—,BN=—,ON=OB-BN=—

374777

所以点M的坐标为(—)

77

当0M丄80时，则MQ//OC,所以器=豐，即塁=學

C/COD34

设QM=3f,则BQ=〃，又因为△CQM为等腰三角形，所以QM=CM=3t,BM=5-3t

又因为QM2+QB2=BM2,所以（3t）2+（4t）2=（5-3tR解得/

O

153315

MQ=3t=-,OQ=OB-BQ^~,所以点M的坐标为（不,胃）.

822o

3151212

综上所述，存在点M的坐标为（万，不）或（亍亍）使^CQIU为等腰三角形且△BQM为直角三角形

【点睛】

本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想,

这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.

3

24、（1）y=——x+4;（2）1

）2

【分析】（1）把x=2代入y=；x,得y=L求出A（2,1）.根据平移规律得出直线b的解析式为y=；x-4,求出B

（0,-4）、C（4,-2）.设直线L的解析式为y=kx+b,将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线L

的解析式；

（2）根据直线12的解析式求出D（0,4）,得出BD=8,再利用三角形的面积公式即可求出^BDC的面积.

【详解】解：如图：

（1）把x=2代入ynbx,得y=l,

二A的坐标为（2,1）.

•.•将直线h沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线L，

二直线b的解析式为y=yx-4,

:.x=0时，y=-4,

.♦.B（0,-4）.

将y=-2代入y=;yx-4,得x=4,

.•.点C的坐标为（4,-2）.

设直线L的解析式为y=kx+b,

,直线L过A（2.1）、C（4