《高等数学(A)I》期末试卷及答案五

《高等数学(A)I》期末试卷及答案五

一、在各题的下划线处填上正确的答案(每小题3分,共36分)

1.下面各式中下片馥的是

(A)lim(1+x)t=e(B)lim(l-2x)t=e-2

X-»+O0x->0

(r\sin2x

15hrm--------=2(D)limxsin—=1

A->0xX->-KOX

2.当x.o时，下面四个中正确的是

(A)1-cos2x〜X2(B)1-e-x-x

(C)+tanx--71+sinx〜%3(D)ln(l-2x)〜2x

3.函数f(x)=_L_的间断点个数

1—0X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

4.设/(%)为可导函数，且y=/(ex)lnx+「e.r2公，则办=

(A)ex\nxff(ex)+"(B)[e^Inx/"(ex)+J

xx

(C)exInxf'©)+,、')+e/(D)9Inx/(e*)+'""+e"]dx

xx

5.设/(x)的一个原函数为Inx,则＜(x)=

(A)1(B)xlnx(0z!(D)

XX2

6.下列广义积分收敛的是

⑻+x

(B)1dx(C)J+°°sin"r\e2.dx

0yfxo0

sinax

x<0

x

7.已知y—<1x=0是连续函数,则(a,b)=

〃ln(l-4x)

x>0

2x

8.设y=/(无)由方程ey+xy=e确定，贝U/"(0)=

9.曲线y=ox3+0x2+1有拐点(1,3),则(a,b)二

10・定积分12°/K"1-COS2xdx=

0

11.定积分土+3COS3J公二

F11+冗2）

2

12.悬链线y=£*上介于x=-l与x=l的一段弧的长度

2--------------

二、解答下列各题（每小题6分，共36分）

fAInsintdt

1.求极限limU__

工（71—2%）3

A->

2

2.设函数y=/（x）由参数方程卜=皿标确定，/为参数，求土匕

[y=arctantdm

3.求不定积分J一小

J1+X2

4.求定积分/小三公

tX2

5.已知e"为了"）的一个原函数，求Jx2/（x）dx

6.已知y=J*__!___dt，求y（n）

of2+5f+6

三、解答下列各题（每小题9分，共18分）

1.列表给出函数y=l+Ql二的单调区间，极值，凹凸区间及拐点.

（X+3）2

2.（1）求抛物线x=y2与直线x=），+2所围成图形的面积；

（2）^ty=sinx,（0<x<7i）-^X轴围成图形绕y=i旋转而成的立体的体积.

四、证明题（每小题5分，共10分）

1.证明：若“X）是连续的奇函数，则①（X）J"⑺力是偶函数.

0

2.证明：当x>4时2d2.

一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分）

1.(A)2.(B)3.(C)4.(B)5.(C)6.(B)

7.(1,-0.5)8.e.29.(T,3)10.402211.412.

二、解答下列各题(每小题6分，共36分)

COSX

1.解：原式=lim一吧吧=]而而吧5=]im咄」

兀—6(71—2X)2笈24(TC—2X)124(TC—2x)工4848

,V—>2.v—>2A—>2A—>2

x=Jn(l+%2)dx------dt

2.解：卜二始后方01+12

=><

arctan]

y=ty-arctantdy=._dt

l+£2

l+t2l+f2

3,解：原式=11J?小Ji，：。1九丫川）

2J1+X22Jl+%2

=J[（X2+l）"x2+l）-山（X2+1）4（X2+1）;（X2+1）；+C

说明：本题用三角函数换元和分部积分都可以做！

4.解：原式句;且cos041Tini%。

区sin201sin20

44

2f_=[-cot0-0]:=1--

区lsin2。）工4

44

说明：本题用分部积分也可以做！

5.解：记尸(1)=ex?=>Fr(x)=f(x)

/x2f(x)dx=[x2F'(x)dx=心/(1)-jF(x)dx2=x2ex2一J0x2公2=工20解一eX2+C

6.解：y=J\__!___dr=>y'=____!____=_____!_____=1-1.

o/2+5，+6"X2+5X+6(x+2)(x4-3)x+2x+3

又㈡⑹…不？

\x+a)(X+Q)〃+I

11

J1^7+2尸；―"(x+(2〃)-.1')!17+(3J一”心(71+(3〃)7T)!

故y(„)=(-1)„-|..(z;-1)!-(-1)„-1ST”

(A-+2)«(X+3)”

三、解答下列各题(每小题9分，共18分)

1.解：y=l+*_=l+工—生3,定义域为x声-3的全体实数

-(x+3)2X+30+3)2

,-3636x636(3-工)”36x236x1872(x-6)

y-------+-------=--------,y--------—-------=--------

(X+3)2(X+3)3(工+3)3(X+3)3(X+3)4(1+3)4

X(-8,一3)(-3.3)3(3.6)6(6,+8)

y'—+0———

y''————0+

y单减凹单增凹极大值4单减凹拐点(6,11/3)单减凸

2.解：(第1小题4分，第2小题5分)

(1)求两曲线交点坐标(1,-1),(4,2),选y为积分变量

S=f2(j+2-y2)dy=—

-i2

149

若选X为积分变量,5=f[7x-(-Vx)]Jj+f[5/x-(%-2)]Jy=.

o12

(2)该旋转体体积可以看成两个体积的差(画图显然)

四、证明下列各题(每小题5分，共10分)

(1)证明：因为J”)是连续的奇函数，所以-f(x)，

①(_x)=J-"Q)力J"(—")d(—M)=J")疝

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